高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名和座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以集合，所以元素的個(gè)數(shù)為5個(gè).故選:D.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】，則的虛部為-2.故選：C.3.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若為奇函數(shù)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有，即，即，即，故有，解得，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是，依題意得，，解得，，根據(jù)百分位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即.故選：A5.過坐標(biāo)原點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：由，得，該圓的圓心為，半徑為1，如圖所示，連接，易知，所以，解法二由，得，該圓的圓心為，半徑為1，設(shè)直線的方程為，則，解得：或，所以．故選：B．6.菱形中，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，，B-2,0，，，設(shè)Ex,y，，，則，，，所以.故選：D．7.為了預(yù)測(cè)某地的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1~6月的GDP的數(shù)據(jù)（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中自變量指的是月的編號(hào)，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時(shí)間1月2月3月4月5月6月編號(hào)123456百億元11.1參考數(shù)據(jù)：.則下列說法不正確的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.4百億元D.相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.1【答案】D【解析】選項(xiàng)A：由題意得：，因?yàn)椋裕茫虼嗽摻?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A正確；選項(xiàng)B：由A知，，得，故B正確；選項(xiàng)C：由B得，則當(dāng)時(shí)，，故該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為百億元，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故D錯(cuò)誤，故選：D.8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（某時(shí)刻，陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，為傘沿所在圓的直徑，為橢圓形的左右頂點(diǎn)，由題意可得，則，陽光照射方向與地面的夾角為60°，即，則，，在中，，即，即，解得，而，故,.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的最小值為 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】；對(duì)A：定義域?yàn)椋适瞧婧瘮?shù)，故A正確；對(duì)B：，故的最小正周期為，故B正確；對(duì)C：由，則，故C正確；對(duì)D：令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.半正多面體（）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.傳統(tǒng)的足球，就是根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)而制成，最早用于1970年的世界杯比賽.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.異面直線和所成角為60°C.該二十四等邊體的體積為D.該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，若平面，因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)闉榈冗吶切危裕訟不正確；對(duì)于B中，因?yàn)椋援惷嬷本€和所成角即為直線和所成角設(shè)角，在正六邊形中，可得，所以異面直線和所成角為，所以B正確；對(duì)于C中，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，則該正方體的體積為，其中每個(gè)小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以C正確；對(duì)于D中，取正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為，即為該二十四面體的外接球的球心，其半徑為，所以該二十四面體的外接球的表面積為，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】對(duì)有，令，解得，此時(shí)，即常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13.某中學(xué)1600名學(xué)生參加一分鐘跳繩測(cè)試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知成績(jī)小于130的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)?cè)诖沃g的人數(shù)約為_________.【答案】500【解析】因?yàn)槌煽?jī)服從正態(tài)分布，即正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槌煽?jī)小于130的有300人，所以，所以，人數(shù)約為.故答案為:50014.已知在銳角ΔABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】由正弦定理可轉(zhuǎn)化為，兩邊同時(shí)除以可得，，即則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；故答案為四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，求.解：（1）由正弦定理可得，即有，即，又，故，即，又，故；（2），即，即，即，即，由余弦定理可得，即，故.16.人工智能研究實(shí)驗(yàn)室發(fā)布了一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話.在測(cè)試聊天機(jī)器人模型時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為；如果輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為.（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，聊天機(jī)器人模型的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè).以表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為.（i）求聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率；（ii）若已知聊天機(jī)器人模型的回答被采納，求該輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤的概率.解：（1）易知的所有可能取值為，此時(shí)，，，，所以的分布列為：0123則；（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，記“聊天機(jī)器人模型的回答被采納”為事件C，則，，PC|B=0.5，，；（ii）若聊天機(jī)器人模型的回答被采納，則該問題的輸入沒有語法錯(cuò)誤的概率為：.17.如圖，在正方體中，分別是棱的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，試探究點(diǎn)是否在平面上，請(qǐng)說明理由.解：（1）以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則有，令，則有，，即，則有，故直線與平面所成角的正弦值為；（2）由軸平面，則平面的法向量可為，則有，故平面與平面的夾角的余弦值；（3）由點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，則，則，由，則，又平面，故平面，故點(diǎn)在平面上.18.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，其前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足：.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）試探究數(shù)列中是否存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)求出這三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）由數(shù)列為等差數(shù)列，則其公差，故，故，則，可得相鄰兩項(xiàng)差為常數(shù)3，故數(shù)列bn為等差數(shù)列；（2）假設(shè)存在，且為三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則有，即有，即有，由、、均為整數(shù)，則有，即有，化簡(jiǎn)得，即，其與矛盾，故數(shù)列中不存在三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列.19.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性；（3）若，其中且，求實(shí)數(shù)值．解：（1）由題意，即切點(diǎn)為，，，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即；（2）由，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在0,+∞上單調(diào)遞增，又，所以對(duì)于任意的有g(shù)x>0，即f因此在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，設(shè)，則，所以時(shí)，h'x<0，所以，即，即，時(shí)，h'x>0，hx單調(diào)遞增，即，即，所以是其定義域上的增函數(shù).（3）由（2）可知，時(shí)，，所以，故，令，，，由題意時(shí)，，時(shí)，，若，則當(dāng)時(shí)，，不滿足條件，所以，而，令，則，令，得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞減，此時(shí)，不滿足題意；若，則當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞增，此時(shí)，且當(dāng)時(shí)，，F(xiàn)x單調(diào)遞增，此時(shí)，滿足題意，所以，解得，綜上所述，.廣東省廣州市番禺區(qū)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的學(xué)校?班級(jí)?姓名和座位號(hào)?準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并用2B鉛筆將準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的區(qū)域內(nèi)，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合,,則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，則；當(dāng)時(shí)，，則；所以集合，所以元素的個(gè)數(shù)為5個(gè).故選:D.2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】，則的虛部為-2.故選：C.3.“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若為奇函數(shù)，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，有，即，即，即，故有，解得，故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件.故選：C.4.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為，若該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是極差的，則該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)中位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是，根據(jù)極差的定義，該組數(shù)據(jù)的極差是，依題意得，，解得，，根據(jù)百分位數(shù)的定義，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是從小到大排列的第個(gè)數(shù)，即.故選：A5.過坐標(biāo)原點(diǎn)向圓作兩條切線，切點(diǎn)分別為，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解法一：由，得，該圓的圓心為，半徑為1，如圖所示，連接，易知，所以，解法二由，得，該圓的圓心為，半徑為1，設(shè)直線的方程為，則，解得：或，所以．故選：B．6.菱形中，，點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】建立如圖所示坐標(biāo)系，，B-2,0，，，設(shè)Ex,y，，，則，，，所以.故選：D．7.為了預(yù)測(cè)某地的經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)情況，某經(jīng)濟(jì)學(xué)專家根據(jù)該地2023年1~6月的GDP的數(shù)據(jù)（單位：百億元）建立了線性回歸模型，得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，其中自變量指的是月的編號(hào)，其中部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：時(shí)間1月2月3月4月5月6月編號(hào)123456百億元11.1參考數(shù)據(jù)：.則下列說法不正確的是（）A.經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過點(diǎn)B.C.根據(jù)該模型，該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為14.4百億元D.相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為0.1【答案】D【解析】選項(xiàng)A：由題意得：，因?yàn)椋裕茫虼嗽摻?jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心，故A正確；選項(xiàng)B：由A知，，得，故B正確；選項(xiàng)C：由B得，則當(dāng)時(shí)，，故該地2023年12月的GDP的預(yù)測(cè)值為百億元，故C正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，相應(yīng)于點(diǎn)的殘差為，故D錯(cuò)誤，故選：D.8.油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品，至今已有1000多年的歷史.將油紙傘撐開后擺放在戶外場(chǎng)地上，如圖所示，該傘的傘沿是一個(gè)半徑為的圓，圓心到傘柄底端距離為，陽光照射油紙傘在地面形成了一個(gè)橢圓形影子（某時(shí)刻，陽光與地面夾角為），若傘柄底端正好位于該橢圓的長(zhǎng)軸上，則該橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，為傘沿所在圓的直徑，為橢圓形的左右頂點(diǎn)，由題意可得，則，陽光照射方向與地面的夾角為60°，即，則，，在中，，即，即，解得，而，故,.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的最小值為 D.在上單調(diào)遞增【答案】ABC【解析】；對(duì)A：定義域?yàn)椋适瞧婧瘮?shù)，故A正確；對(duì)B：，故的最小正周期為，故B正確；對(duì)C：由，則，故C正確；對(duì)D：令，則，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.設(shè)函數(shù)，則（）A.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C.存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D.存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心【答案】AD【解析】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對(duì)稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對(duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)，若存在這樣的，使得為的對(duì)稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對(duì)稱中心，對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對(duì)稱中心為，由題意也是對(duì)稱中心，故，即存在使得是的對(duì)稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD11.半正多面體（）亦稱“阿基米德多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形圍成的多面體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.傳統(tǒng)的足球，就是根據(jù)這一發(fā)現(xiàn)而制成，最早用于1970年的世界杯比賽.二十四等邊體就是一種半正多面體，是由正方體切截而成的，它由八個(gè)正三角形和六個(gè)正方形構(gòu)成（如圖所示），若這個(gè)二十四等邊體的棱長(zhǎng)都為2，則下列結(jié)論正確的是（）A.平面B.異面直線和所成角為60°C.該二十四等邊體的體積為D.該二十四等邊體外接球的表面積為【答案】BCD【解析】對(duì)于A中，若平面，因?yàn)槠矫妫裕忠驗(yàn)闉榈冗吶切危裕訟不正確；對(duì)于B中，因?yàn)椋援惷嬷本€和所成角即為直線和所成角設(shè)角，在正六邊形中，可得，所以異面直線和所成角為，所以B正確；對(duì)于C中，補(bǔ)全八個(gè)角構(gòu)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的一個(gè)正方體，則該正方體的體積為，其中每個(gè)小三棱錐的體積為，所以該二十四面體的體積為，所以C正確；對(duì)于D中，取正方形對(duì)角線的交點(diǎn)為，即為該二十四面體的外接球的球心，其半徑為，所以該二十四面體的外接球的表面積為，所以D正確.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】【解析】對(duì)有，令，解得，此時(shí)，即常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.13.某中學(xué)1600名學(xué)生參加一分鐘跳繩測(cè)試，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，成績(jī)近似服從正態(tài)分布，已知成績(jī)小于130的有300人，則可估計(jì)該校一分鐘跳繩成績(jī)?cè)诖沃g的人數(shù)約為_________.【答案】500【解析】因?yàn)槌煽?jī)服從正態(tài)分布，即正態(tài)曲線關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槌煽?jī)小于130的有300人，所以，所以，人數(shù)約為.故答案為:50014.已知在銳角ΔABC中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值為__________．【答案】【解析】由正弦定理可轉(zhuǎn)化為，兩邊同時(shí)除以可得，，即則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)；故答案為四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角；（2）若的角平分線交于點(diǎn)，求.解：（1）由正弦定理可得，即有，即，又，故，即，又，故；（2），即，即，即，即，由余弦定理可得，即，故.16.人工智能研究實(shí)驗(yàn)室發(fā)布了一款全新聊天機(jī)器人模型，它能夠通過學(xué)習(xí)和理解人類的語言來進(jìn)行對(duì)話.在測(cè)試聊天機(jī)器人模型時(shí)，如果輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為；如果輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤，則聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率為.（1）在某次測(cè)試中輸入了8個(gè)問題，聊天機(jī)器人模型的回答有5個(gè)被采納.現(xiàn)從這8個(gè)問題中抽取3個(gè).以表示抽取的問題中回答被采納的問題個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）已知輸入的問題出現(xiàn)語法錯(cuò)誤的概率為.（i）求聊天機(jī)器人模型的回答被采納的概率；（ii）若已知聊天機(jī)器人模型的回答被采納，求該輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤的概率.解：（1）易知的所有可能取值為，此時(shí)，，，，所以的分布列為：0123則；（2）（i）記“輸入的問題沒有語法錯(cuò)誤”為事件A，記“輸入的問題有語法錯(cuò)誤”為事件B，記“聊天機(jī)器人模型的回答被采納