廣東省江門市臺山一中、開僑中學兩校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知的展開式共有9項，則的值為（

）A．6 B．7 C．8 D．92．已知函數，記為函數的導函數，則（

）A． B． C． D．3．等差數列的前項和為，若，，則（

）A． B． C．1 D．24．某高校將4名學生分配到3所中學實習，每所中學至少分配名學生，則不同的分配方案共有（

）A．24種 B．36種 C．48種 D．72種5．已知函數的圖象如圖所示，是的導函數，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．6．設直線與軸的交點的橫坐標為，則（

）A． B． C． D．7．已知，，，則（

）A． B． C． D．8．南北朝時期的著作《孫子算經》中，對同余除法有較深的研究.設、、為整數，若和被除得余數相同，則稱和對模同余，記為．已知，若，，則的值可以是（）A． B． C． D．二、多選題9．定義在上的函數的導函數的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）A．函數在上單調遞減B．函數在上單調遞減C．函數在處取得最小值D．函數在處取得極大值10．已知的展開式的第2項與第3項系數的和為3，則（

）A．B．展開式的各項系數的和為C．展開式中奇數項的二項式系數的和為128D．展開式的常數項為第5項11．定義：設為三次函數，是的導函數，是的導函數，若方程有實數解，則稱點為三次函數圖象的“拐點”．經過探究發現：任意三次函數圖象的“拐點”是其對稱中心．已知三次函數的極大值點和極小值點分別為，，且有，則下列說法中正確的是（

）A．，B．方程有三個根C．若關于的方程在區間上有兩解，則或D．函數圖象的對稱中心為三、填空題12．數列滿足，且對任意的都有，則．13．甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有種.（請用數字作答）14．若函數有兩個極值點，則的取值范圍為四、解答題15．已知函數的圖象在點處的切線方程是．(1)求，的值；(2)求函數的單調區間．16．已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)設，，求使成立的最小的正整數的值．17．已知在的展開式中，各二項式系數和為．(1)求展開式中含的項；(2)求展開式中系數絕對值最大的項．（參考數據：）18．設是等差數列，是等比數列，滿足，，且，．(1)求與的通項公式；(2)設，在平面直角坐標系中，依次連接點，，，得到折線，求由該折線與直線，，所圍成的區域的面積．19．已知函數.（1）若函數在定義域內是增函數，求實數的取值范圍；（2）當時，討論方程根的個數.

廣東省江門市臺山一中、開僑中學兩校2024-2025學年高二下學期期中聯考數學試卷參考答案題號12345678910答案CBBBBCDAADACD題號11答案ABD1．C【詳解】因為的展開式共有9項，所以，故選：C．2．B【詳解】因為，則，又，所以，則．故選：B．3．B【詳解】由，則，則等差數列的公差，故.故選：B.4．B【詳解】若某高校將4名學生分配到3所中學實習，每所中學至少分配名學生，則一定有所中學分配的學生有名，首先把名學生安排在同一所中學實習，分配方案有種，再把剩下的學生分配到對應的中學，分配方案有種，由分步乘法計數原理得分配方案有種，故B正確.故選：B5．B【詳解】由題圖知函數是單調遞增的，則函數的圖象上任意一點處的導函數值都大于零．又函數的圖象在處的切線斜率大于在處的切線斜率，所以．如圖，記，連接．直線的斜率．由函數圖象知：，即，故選：B．6．C【詳解】令，可得，所以．故選：C．7．D【詳解】由，構造，，則，所以在上單調遞增，故，即，故．由，構造，，則，所以在上單調遞增，故，即，故．綜上，．故選:D．8．A【詳解】的展開式通項為，又因為，所以，，當為奇數時，；當為偶數時，.令，則，所以，，所以，又，故被除余，而被除余數為，被整除，被除余數為，被除余數為，故選：A.9．AD【詳解】由函數的導函數的圖象可知，當時，，當時，，所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，故選項A正確，選項B和C錯誤，對于D，因為，且根據上面分析得到的函數單調性，由極值的定義知，函數在處取得極大值，所以D正確．故選：AD．10．ACD【詳解】因為的展開式的通項為，，則根據題意可得，即，解得或（舍去），故A正確；由A選項得，，則當，即時，為常數項，故D正確；令，則，則展開式的各項系數的和為，故B錯誤；展開式中奇數項的二項式系數的和為，故C正確．故選：ACD．11．ABD【詳解】對于三次函數，則，若，令，則（，為的兩根，且為三次函數的兩個極值點），令，則，所以．依題意的極大值點和極小值點分別為，，且有，所以的對稱中心為，故D正確．對于A，由，可得，，所以，即，解得，故A正確；對于B，因為，，當或時，當時，所以在，上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值則的圖象如圖所示：由圖可知與有且僅有3個交點，所以方程有三個根，故正確；對于，，若關于的方程在區間上有兩解，即與在區間上有兩個交點，則，故錯誤；故選：ABD．12．21【詳解】因為，所以，當時，，其中滿足，故對任意的，所以數列的通項公式為，所以．故答案為：21.13．24【詳解】先將丙和丁綁在一起有種排列方法，然后將其與乙、戊進行排列有種排列方法，最后將甲插入中間兩空中的一空中有種排列方法，所以不同的排列方式共有種.故答案為：24.14．【詳解】由，得，∵函數有兩個極值點，∴有兩個零點，且在零點的兩側，導函數符號相反，令，，則，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，有極小值也是最小值為，且當時，恒成立，當時，恒成立，畫出的圖象，如下：要使有兩個不等實數根，則，即，經驗證，滿足要求.故的取值范圍為．故答案為：.15．(1)，.(2)單調增區間為和，單調減區間為．【詳解】（1）由題意可知，已知函數圖象在處的切線方程是，所以，，解得，．（2）由（1）可知，的解析式為，則，令，解得或，令，解得或，則函數在和上單調遞增，令，解得，則函數在上單調遞減，綜上所述，的單調增區間為和，單調減區間為．16．(1)(2)【詳解】（1）當時，，由得，當時，由得，兩式相減得，得，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，所以．（2）由（1）知，所以，所以，所以．又因為，所以，解得，故使成立的最小的正整數的值是.17．(1)(2)【詳解】（1）由已知，，所以,，由，解得：所以，含的項為.（2）由（1）知，的展開式的通項為，設第項的系數絕對值最大，則，即，解得：，又因為，所以所以，系數絕對值最大的項為·18．(1)，．(2)．【詳解】（1）設等差數列的公差為，由，得，即，由，得，解得，，故，所以，，從而等比數列的公比，所以是以3為首項，3為公比的等比數列，故，故，．（2）過，，，，向軸作垂線，垂足分別為，，，，，由（1）得，則，記梯形的面積為，則由題意可得，，所以則，兩式相減得，，得．故由折線與直線，，所圍成的區域的面積.19．（1）；（2）.【詳解】（1），定義域為，由