正六棱錐題目及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.正六棱錐底面邊長為a，側棱長為2a，則斜高為（）A.$\sqrt{3}a$B.$\sqrt{5}a$C.$\sqrt{7}a$D.2a2.正六棱錐的底面外接圓半徑與高相等，則其側棱與底面所成角為（）A.30°B.45°C.60°D.75°3.一個正六棱錐的底面周長為24，則底面面積為（）A.$12\sqrt{3}$B.$24\sqrt{3}$C.$36\sqrt{3}$D.$48\sqrt{3}$4.正六棱錐相鄰兩側面所成二面角的平面角是（）A.銳角B.直角C.鈍角D.不確定5.正六棱錐的高為h，底面邊長為a，則側棱長為（）A.$\sqrt{h^{2}+a^{2}}$B.$\sqrt{h^{2}+(\sqrt{3}a)^{2}}$C.$\sqrt{h^{2}+(\frac{\sqrt{3}}{2}a)^{2}}$D.$\sqrt{h^{2}+(\frac{2\sqrt{3}}{3}a)^{2}}$6.正六棱錐的側面與底面所成角為60°，底面邊長為2，則其側棱長為（）A.2B.4C.$\frac{4\sqrt{3}}{3}$D.$\frac{2\sqrt{3}}{3}$7.若正六棱錐的側棱長為5，底面邊長為3，則它的高為（）A.4B.$\sqrt{25-9}$C.$\sqrt{25-\frac{9}{4}}$D.$\sqrt{25-\frac{27}{4}}$8.正六棱錐的底面面積為$24\sqrt{3}$，高為4，則其體積為（）A.$32\sqrt{3}$B.$96\sqrt{3}$C.$32$D.969.正六棱錐的側面積是底面積的2倍，底面邊長為a，則斜高為（）A.aB.$\frac{3}{2}a$C.2aD.3a10.正六棱錐的底面邊長與側棱長相等，則其側面與底面所成角的余弦值為（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{1}{3}$多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下關于正六棱錐的說法正確的是（）A.底面是正六邊形B.六個側面全等C.側棱長都相等D.側棱與底面所成角都相等2.正六棱錐中，若底面邊長為a，側棱長為b，則（）A.斜高可以用a、b表示B.高可以用a、b表示C.側面積為$3a\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$D.體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$3.下列條件能確定一個正六棱錐的是（）A.底面邊長和高B.底面邊長和側棱長C.底面外接圓半徑和斜高D.側面與底面所成角和底面邊長4.正六棱錐的性質有（）A.頂點在底面上的射影是底面正六邊形的中心B.相鄰兩側面所成二面角大于側面與底面所成角C.側棱與底面所成角小于側面與底面所成角D.側面積一定大于底面積5.若正六棱錐的底面邊長為a，高為h，則（）A.側棱長為$\sqrt{h^{2}+a^{2}}$B.斜高為$\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$C.側面積為$3a\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$D.體積為$\frac{\sqrt{3}}{2}a^{2}h$6.正六棱錐的下列說法正確的是（）A.側棱與底面所成角的正弦值一定小于1B.側面與底面所成角的余弦值一定大于0C.相鄰兩側面所成二面角的平面角一定是銳角D.側棱長一定大于底面邊長7.正六棱錐中，關于其相關量的關系正確的是（）A.側棱長的平方等于高的平方與底面中心到底面頂點距離的平方和B.斜高的平方等于高的平方與底面中心到邊中點距離的平方和C.側面積等于底面周長與斜高乘積的一半D.體積等于底面積與高乘積的三分之一8.對于正六棱錐，以下說法正確的是（）A.當底面邊長固定時，高越大，側棱長越大B.當高固定時，底面邊長越大，側棱長越大C.當側棱長固定時，底面邊長越大，高越小D.當斜高固定時，底面邊長越大，高越大9.正六棱錐的底面邊長為a，側棱長為b，以下式子正確的是（）A.底面面積為$\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$B.側面積為$6\times\frac{1}{2}a\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$C.高為$\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$D.體積為$\frac{1}{3}\times\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}\sqrt{b^{2}-\frac{3}{4}a^{2}}$10.正六棱錐具有的特征有（）A.是空間幾何體B.有7個面C.有12條棱D.有7個頂點判斷題（每題2分，共10題）1.正六棱錐的所有側棱都平行。（）2.正六棱錐的底面是正六邊形，各側棱長可以不相等。（）3.正六棱錐相鄰兩側面所成二面角一定是鈍角。（）4.正六棱錐的高就是頂點到底面的距離。（）5.若正六棱錐底面邊長與側棱長相等，則其側面與底面所成角為45°。（）6.正六棱錐的側面積一定大于底面積。（）7.正六棱錐頂點在底面上的射影是底面正六邊形的中心。（）8.正六棱錐的斜高一定大于高。（）9.正六棱錐的體積等于底面積乘以高。（）10.正六棱錐的六個側面都是等腰三角形。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述正六棱錐的定義。答案：底面是正六邊形，且頂點在底面的射影是底面正六邊形中心的棱錐叫正六棱錐。2.正六棱錐底面邊長為a，求底面面積。答案：正六棱錐底面是正六邊形，由正六邊形面積公式，其面積$S=\frac{3\sqrt{3}}{2}a^{2}$。3.正六棱錐側棱長為l，底面邊長為a，求高。答案：底面中心到底面頂點距離為a，根據勾股定理，高$h=\sqrt{l^{2}-a^{2}}$。4.說明正六棱錐側棱與底面所成角的特點。答案：正六棱錐側棱與底面所成角都相等，且頂點在底面射影為底面中心，此角的正切值等于高與底面中心到底面頂點距離的比值。討論題（每題5分，共4題）1.討論正六棱錐中側面與底面所成角和側棱與底面所成角的大小關系。答案：設正六棱錐高為h，底面中心到底面頂點距離為r，到底邊中點距離為$r_1$。側棱與底面所成角$\alpha$，$\tan\alpha=\frac{h}{r}$；側面與底面所成角$\beta$，$\tan\beta=\frac{h}{r_1}$，$r_1\ltr$，所以$\tan\beta\gt\tan\alpha$，則$\beta\gt\alpha$。2.若正六棱錐的體積固定，如何改變底面邊長和高來使側面積最小？答案：設底面邊長為a，高為h，體積$V=\frac{\sqrt{3}}{6}a^{2}h$（固定），側面積$S=3a\sqrt{h^{2}+\frac{3}{4}a^{2}}$。由體積公式得$h=\frac{6V}{\sqrt{3}a^{2}}$，代入側面積公式，利用導數等方法求最值，可知當底面邊長與高滿足一定關系（具體關系通過求導計算得出）時側面積最小。3.正六棱錐在生活中有哪些實際應用？舉例并說明原理。答案：比如一些建筑的頂部設計成正六棱錐形狀。原理是正六棱錐形狀規則、美觀，且具有較好的穩定性。像某些宮殿建筑頂部，既展現獨特造型，又能利用其結構特性承載重量，分散壓力。4.討論正六棱錐的對稱性特點。答案：正六棱錐具有軸對稱性，有6條對稱軸，分別是頂點與底面正六邊形對邊中點連線所在直線；具有中心對稱性，對稱中心是頂點在底面的射影，即底面正六邊形中心。其六個側面關于對稱中心和對稱軸具有對稱關系。答案單項選擇題1.C2.B3.B4.C5.D6