2.4.2拋物線的簡單幾何性質（4課時）主備教師：周雷鳳輔備教師：馬能禮一、內容及其解析本次課學的內容是拋物線的一些基本性質，其核心內容是拋物線的離心率及準線，理解它關本節課要鍵是先讓學生理解直觀的圖形，從中抽象出拋物線的性質。學生已經學過拋物線線概念和標準形式，本節課的內容拋物線的基本性質就是在其基礎上的發展。由于它還與橢圓、雙曲線等圓錐曲線有密切的聯系，并有參照對比的作用。是拋物線的核心內容。教學重點是拋物線的性質及范圍，解決重點的關鍵是引導學生動手、動腦，從圖形的直觀得到拋物線性質的準確刻畫。二、目標及其解析1、目標定位（1）了解拋物線的幾何性質；（2）會利用拋物線的性質解決一些簡單的拋物線問題．2、目標解析（1）是指：拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質．（2）是指：能夠根據拋物線中準線與焦點之間的關系能求出拋物線的標準方程及軌跡方程等.三、問題診斷分析在本節拋物線性質的教學中，學生可能遇到的問題是拋物線的一些基本概念會與其它圓錐曲線的概念產生混淆，產生這一問題的原因是學生對各種曲線的概念把握不清。要解決這一問題，就要類比著其它圓錐曲線的概念及性質學習，其中關鍵是借助圖形直觀類比。四、教學支持條件分析在本節課雙曲線的性質教學中，準備使用多媒體輔助教學。因為使用多媒體輔助教學有利于學生對拋物線性質從直觀到具體的把握。五、教學設計過程第一、二課時復習：問題1：拋物線的概念？拋物線標準方程有哪幾種？他們的形式是怎么樣的？（設計意圖：讓學生先回顧拋物線概念和標準方程，為探究拋物線性質做好準備）自學閱讀教材第頁，完成下列問題：拋物線的幾何性質:標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖形性質范圍對稱軸x軸x軸y軸y軸頂點(0,0)離心率e＝1焦點(eq\f(p,2),0)(－eq\f(p,2),0)(0,eq\f(p,2))(0,－eq\f(p,2))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)互學、導學問題一拋物線的幾何性質有哪些？（設計意圖：讓學生充分認識拋物線）（師生活動：結合圖像，各組研討，最好教師歸納小結）問題1：類比橢圓、雙曲線的幾何性質，結合圖象，說出拋物線y2＝2px(p>0)的范圍、對稱性、頂點、離心率．怎樣用方程驗證？問題2：類比拋物線y2＝2px(p>0)，拋物線y2＝－2px(p>0)、x2＝2py(p>0)、x2＝－2py(p>0)的性質如何呢？問題3：通過拋物線的幾何性質，怎樣探求拋物線的標準方程？答：求拋物線的標準方程，主要利用待定系數法，要根據已知的幾何性質先確定方程的形式，再求參數p.例1（教材例3）已知拋物線關于軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經過點，求它的標準方程.【方法歸納】(1)注意拋物線各元素間的關系：拋物線的焦點始終在對稱軸上，拋物線的頂點就是拋物線與對稱軸的交點，拋物線的準線始終與對稱軸垂直，拋物線的準線與對稱軸的交點和焦點關于拋物線的頂點對稱．(2)解決拋物線問題要始終把定義的應用貫徹其中，通過定義的運用，實現兩個距離之間的轉化，簡化解題過程．變式訓練1：若y2＝x上一點P到準線的距離等于它到頂點的距離，則P的坐標為(B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，±\f(\r(2),4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(2),4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，\f(\r(2),4)))解：由知，P到焦點F的距離等于它到頂點O的距離，因此點P在線段OF的垂直平分線上，而Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，0))，所以P點的橫坐標為eq\f(1,8)，代入拋物線方程得y＝±eq\f(\r(2),4)，故點P的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))，問題二拋物線的焦點弦問題（設計意圖：讓學生了解焦點弦的重要性，體現團結合作的智慧）（師生活動：小組討論分析、總結答案，教師歸納結論）問題1：什么是拋物線的焦點弦？過焦點的弦長如何求？解：拋物線y2＝±2px(p>0)的過焦點的弦長|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分別是點A，B橫坐標的絕對值；拋物線x2＝±2py(p>0)的過焦點的弦長|AB|＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分別是點A，B縱坐標的絕對值.問題2：拋物線的通徑是什么？例2已知直線l經過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；（類似教材習題2.4第5題）(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離．解：(1)因為直線l的傾斜角為60°，所以其斜率k＝tan60°＝eq\r(3)，又Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0)).所以直線l的方程為y＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2))).聯立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))))消去y得x2－5x＋eq\f(9,4)＝0.若設A(x1，y1)，B(x2，y2)．則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由拋物線定義知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點M的橫坐標是3，又準線方程是x＝－eq\f(3,2)，所以M到準線的距離等于3＋eq\f(3,2)＝eq\f(9,2).【歸納方法】(1)解決拋物線的焦點弦問題時，要注意拋物線定義在其中的應用，通過定義將焦點弦長度轉化為端點的坐標問題，從而可借助根與系數的關系進行求解．(2)設直線方程時要特別注意斜率不存在的直線應單獨討論．變式訓練2：（教材例4）斜率為1的直線經過拋物線的焦點，且與拋物線相交于，兩點，求線段的長.問題三探究和拋物線有關的軌跡方程（設計意圖：讓學生學會簡單軌跡方程的求法）問題1：怎樣判斷一個動點的軌跡是拋物線？（師生互動：小組討論得出結論，教師補充）答：(1)如果動點滿足拋物線的定義，則動點的軌跡是拋物線；(2)如果動點的軌跡方程是拋物線的方程形式，則該動點的軌跡是拋物線．例3已知點A在平行于y軸的直線l上，且l與x軸的交點為(4,0)．動點P滿足eq\o(AP,\s\up14(→))平行于x軸，且eq\o(OA,\s\up14(→))⊥eq\o(OP,\s\up14(→))，求P點的軌跡方程，并說明軌跡的形狀．解：設動點P的坐標為(x，y)，則由已知得A點坐標為(4，y)，所以eq\o(OA,\s\up14(→))＝(4，y)，eq\o(OP,\s\up14(→))＝(x，y)．因為eq\o(OA,\s\up14(→))⊥eq\o(OP,\s\up14(→))，所以eq\o(OA,\s\up14(→))·eq\o(OP,\s\up14(→))＝0，因此4x＋y2＝0，即P的軌跡方程為4x＋y2＝0.軌跡的形狀為拋物線．【方法歸納】求解圓錐曲線的軌跡方程的方法：一是代數法：建立坐標系——設點——找限制條件——代入等量關系——化簡整理，簡稱“建設限代化”；二是幾何法：利用曲線的定義、待定系數．但要特別注意不要忽視題目中的隱含條件，防止重、漏解．變式訓練3：（教材習題2.4B組第1題）從拋物線上各點向軸作垂線段，求垂線段中點的軌跡方程，并說明它是什么曲線？（）六、小結1．討論拋物線的幾何性質，一定要利用拋物線的標準方程；利用幾何性質，也可以根據待定系數法求拋物線的方程．2．解決拋物線的軌跡問題，可以利用拋物線的標準方程，結合拋物線的定義．七、目標檢測（檢學）教材練習第1、2、3題八、配餐作業A組1．拋物線y＝mx2(m<0)的焦點坐標是 (B)A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(m,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4m)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(m,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,4m)))2.(2014·鶴崗高二檢測)拋物線y2=8x上一點P到y軸的距離是4,則點P到該拋物線焦點的距離是()A.4 B.6 C.8 D.12【解析】選B.拋物線y2=8x的準線是x=-2,由條件知P到y軸距離為4,所以點P的橫坐標xP=4.根據焦半徑公式可得|PF|=4+2=6.3.已知拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點O,并且經過點M(2,y0).若點M到該拋物線焦點的距離為3,則|OM|=(B)A.22 B.2 C.4 D.25【解析】選B.由拋物線定義知,p2+2=3,所以p=2,拋物線方程為y2=4x.因為點M(2,y0)在此拋物線上,所以y02=8,于是|OM|=4+yB組4．已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________.解析由y2＝4x，知p＝2，F(1,0)，由拋物線定義，xA＋eq\f(p,2)＝|AF|，∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x軸，F為AB中點，從而|BF|＝|AF|＝2.5.設拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,點A(0,2).若線段FA的中點B在拋物線上,則B到該拋物線準線的距離為.32【解析】由拋物線y2=2px(p>0),得焦點F的坐標為p2,0,則FA的中點B的坐標為p4,1,代入拋物線方程得,2p×p4=1,所以p=2,所以B點到準線的距離為p4+pC組6.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準線上的動點,當△FPM為等邊三角形時,其面積為.43【解析】據題意知,△PMF為等邊三角形時,PF=PM,所以PM垂直拋物線的準線,設Pm24,m,則M(-1,m),等邊三角形邊長為1+所以由PM=FM,得1+m24=(-所以等邊三角形邊長為4,其面積為43.7.（選作）設O為坐標原點,F為拋物線y2=4x的焦點,A為拋物線上一點,若OA→·【解析】由y2=4x,知F(1,0),因為點A在y2=4x上,所以不妨設A(y24,y),則OA→=(y24,y),A代入OA→·AF→=-4中,得y24(1-所以y2=4或y2=-16(舍去),所以y=±2.所以點A的坐標為(1,2)或(1,-2).九、教后反思第三、四課時（習題課）一、復習提問：其中為拋物線上任一點.二、評講配餐作業4—7題三、典例分析題型一拋物線的幾何性質例題1（《學樂時空》第41頁）變式訓練1