3．1回歸分析的基本思想及其初步應用（第1課時）一、教學內(nèi)容與教學對象分析學生將在必修課程學習統(tǒng)計的基礎上，通過對典型案例的討論，了解和使用一些常用的統(tǒng)計方法，進一步體會運用統(tǒng)計方法解決實際問題的基本思想，認識統(tǒng)計方法在決策中的作用。二、學習目標1、知識與技能通過本節(jié)的學習，了解回歸分析的基本思想，會對兩個變量進行回歸分析，明確建立回歸模型的基本步驟，并對具體問題進行回歸分析，解決實際應用問題。2、過程與方法本節(jié)的學習，應該讓學生通過實際問題去理解回歸分析的必要性，明確回歸分析的基本思想，從散點圖中點的分布上我們發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在明顯的不足，從中引導學生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路—進行回歸分析，進而介紹殘差分析的方法和利用R的平方來表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，從中選擇較為合理的回歸方程，最后是建立回歸模型基本步驟。3、情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學習，首先通過實際問題了解回歸分析的必要性和回歸分析的基本思想，明確回歸分析的基本方法和基本步驟，培養(yǎng)我們利用整體的觀點和互相聯(lián)系的觀點，來分析問題，進一步加強數(shù)學的應用意識，培養(yǎng)學生學好數(shù)學、用好數(shù)學的信心。加強與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價兩個變量的相關系。培養(yǎng)學生運用所學知識，解決實際問題的能力。三、教學重點、難點教學重點：熟練掌握回歸分析的步驟；各相關指數(shù)、建立回歸模型的步驟。教學難點：求回歸系數(shù)a,b；相關指數(shù)的計算、殘差分析。四、教學策略：教學方法：誘思探究教學法學習方法：自主探究、觀察發(fā)現(xiàn)、合作交流、歸納總結。教學手段：多媒體輔助教學五、教學過程：（一）、復習引入：回歸分析是對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。對于一組具有線性相關關系的數(shù)據(jù)：（),()，…，()，我們知道其回歸方程的截距和斜率的最小二乘估計公式分別為：（1）（2）其中，（）成為樣本點的中心.回歸分析的基本步驟：(1)畫出兩個變量的散點圖.(2)求回歸直線方程.(3)用回歸直線方程進行預報.下面我們通過案例，進一步學習回歸分析的基本思想及其應用．舉例：例1.從某大學中隨機選取8名女大學生，其身高和體重數(shù)據(jù)如表編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359求根據(jù)女大學生的身高預報體重的回歸方程，并預報一名身高為172cm的女大學生的體重．解：由于問題中要求根據(jù)身高預報體重，因此選取身高為自變量x，體重為因變量y.作散點圖(圖3.1一1)從圖3.1一1中可以看出，樣本點呈條狀分布，身高和體重有比較好的線性相關關系，因此可以用線性回歸方程來近似刻畫它們之間的關系．根據(jù)探究中的公式（1）和（2)，可以得到.于是得到回歸方程.因此，對于身高172cm的女大學生，由回歸方程可以預報其體重為(kg).是斜率的估計值，說明身高x每增加1個單位時，體重y就增加0.849位，這表明體重與身高具有正的線性相關關系．如何描述它們之間線性相關關系的強弱？在必修3中，我們介紹了用相關系數(shù)；來衡量兩個變量之間線性相關關系的方法．本相關系數(shù)的具體計算公式為當r>0時，表明兩個變量正相關；當r<0時，表明兩個變量負相關．r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值接近于0時，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系．通常，當r的絕對值大于0.75時認為兩個變量有很強的線性相關關系．在本例中，可以計算出r=0.798．這表明體重與身高有很強的線性相關關系，從而也表明我們建立的回歸模型是有意義的．顯然，身高172cm的女大學生的體重不一定是60.316kg，但一般可以認為她的體重接近于60.316kg.圖3.1一2中的樣本點和回歸直線的相互位置說明了這一點．由于所有的樣本點不共線，而只是散布在某一條直線的附近，所以身高和體重的關系可用下面的線性回歸模型來表示：,(3)這里a和b為模型的未知參數(shù)，e是y與之間的誤差．通常e為隨機變量，稱為隨機誤差，它的均值E(e）=0，方差D（e）=＞0．這樣線性回歸模型的完整表達式為：(4)在線性回歸模型（4）中，隨機誤差e的方差越小，通過回歸直線(5)預報真實值y的精度越高．隨機誤差是引起預報值與真實值y之間的誤差的原因之一，大小取決于隨機誤差的方差.另一方面，由于公式（1）和（2）中和為截距和斜率的估計值，它們與真實值a和b之間也存在誤差，這種誤差是引起預報值與真實值y之間誤差的另一個原因．思考:產(chǎn)生隨機誤差項e的原因是什么?一個人的體重值除了受身高的影響外，還受許多其他因素的影響。例如飲食習慣、是否喜歡運動、度量誤差等。事實上，我們無法知道身高和體重之間的確切關系是什么，這里只是利用線性回歸方程來近似這種關系。這種近似以及上面提到的影響因素都是產(chǎn)生隨機誤差e的原因。因為隨機誤差是隨機變量，所以可以通過這個隨機變量的數(shù)字特征來刻畫它的一些總體特征。均值是反映隨機變量取值平均水平的數(shù)字特征，方差是反映隨機變量集中于均值程度的數(shù)字特征，而隨機誤差的均值為0，因此可以用方差來衡量隨機誤差的大小。為了衡量預報的精度，需要估計e的值。一個自然的想法是通過樣本方差來估計總體方差。如何得到隨機變量的樣本呢？由于模型（3）或（4）中的隱含在預報變量y中，我們無法精確地把它從y中分離出來，因此也就無法得到隨機變量的樣本。解決問題的途徑是通過樣本的估計值來估計。根據(jù)截距和斜率的估計公式（1）和（2),可以建立回歸方程,因此是（5）中的估計量．由于隨機誤差，所以是的估計量．對于樣本點（),()，…，()而言，相應于它們的隨機誤差為,其估計值為,稱為相應于點的殘差（residual)．類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用作為的估計量，其中和由公式（1)(2）給出，Q（,）稱為殘差平方和（residualsumofsquares)．可以用衡量回歸方程的預報精度．通常，越小，預報精度越高．在研究兩個變量間的關系時，首先要根據(jù)散點圖來粗略判斷它們是否線性相關，是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．然后，可以通過殘差來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)．這方面的分析工作稱為殘差分析．表3一2列出了女大學生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應的殘差數(shù)據(jù)．編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我們可以利用圖形來分析殘差特性作圖時縱坐標為殘差，橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重的估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖．圖3.1一3是以樣本編號為橫坐標的殘差圖．從圖3.1一3中可以看出，第1個樣本點和第6個樣本點的殘差比較大，需要確認在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤．如果數(shù)據(jù)采集有錯誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯誤，則需要尋找其他的原因．另外，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適.這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預報精度越高．另外，我們還可以用相關指數(shù)來刻畫回歸的效果，其計算公式是：顯然，取值越大，意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．在線性回歸模型中，表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率．越接近于1，表示回歸的效果越好（因為越接近于1，表示解釋變量和預報變量的線性相關性越強）．如果對某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同的回歸方程進行回歸分析，也可以通過比較幾個，選擇大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型．在例1中，=0.64，表明“女大學生的身高解釋了64％的體重變化”，或者說“女大學生的體重差異有64％是由身高引起的”.用身高預報體重時，需要注意下列問題：1．回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體．例如，不能用女大學生的身高和體重之間的回歸方程，描述女運動員的身高和體重之間的關系．同樣，不能用生長在南方多雨地區(qū)的樹木的高與直徑之間的回歸方程，描述北方干旱地區(qū)的樹木的高與直徑之間的關系．2．我們所建立的回歸方程一般都有時間性．例如，不能用20世紀80年代的身高體重數(shù)據(jù)所建立的回歸方程，描述現(xiàn)在的身高和體重之間的關系．3．樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍．例如，我們的回歸方程是由女大學生身高和體重數(shù)據(jù)建立的，那么用它來描述一個人幼兒時期的身高和體重之間的關系就不恰當（即在回歸方程中，解釋變量x的樣本的取值范圍為［155cm,170cm〕，而用這個方程計算x-70cm時的y值，顯然不合適．)4．不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值．事實上，它是預報變量的可能取值的平均值．一般地，建立回歸模型的基本步驟為：(1）確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量，哪個變量是預報變量；(2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系（如是否存在線性關系等）;(3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程y=bx+a);(4）按一定規(guī)則估計回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）;(5）得出結果后分析殘差圖是否有異常（個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性等等），若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．3、從上節(jié)課的例1提出的問題引入線性回歸模型：Y=bx+a+e解釋變量x預報變量y隨機誤差e4、（1）相關指數(shù)：相關系數(shù)r(公式),r>0正相關.R<0負相關R絕對值接近于1相關性強接r絕對值近于0相關性幾乎無5、回憶建立模型的基本步驟①例2問題背景分析畫散點圖。②觀察散點圖，分析解釋變量與預報變量更可能是什么函數(shù)關系。③學生討論后建立自己的模型④引導學生探究如果不是線性回歸模型如何估計參數(shù)。能否利用回歸模型通過探究體會有些不是線性的模型通過變換可以轉化為線性模型⑤對數(shù)據(jù)進行變換后，對數(shù)據(jù)（新）建立線性模型⑥轉化為原來的變量模型，并通過計算相關指數(shù)比較幾個不同模型的擬合效果⑦總結建模的思想。鼓勵學生大膽創(chuàng)新。⑧布置課后作業(yè)：習題1.11、6、復習與鞏固：練習1：某班5名學生的數(shù)學和化學成績?nèi)缦卤硭荆瑢與y進行回歸分析，并預報某學生數(shù)學成