PAGEPAGE1課下實力提升(十三)[學業水平達標練]題組1向量的有關概念1．汽車以120km/h的速度向西走了2h，摩托車以45km/h的速度向東北方向走了2h，則下列命題中正確的是()A．汽車的速度大于摩托車的速度B．汽車的位移大于摩托車的位移C．汽車走的路程大于摩托車走的路程D．以上都不對解析：選C速度和位移是向量，由向量不能比較大小可知A，B錯；汽車走的路程為240km，摩托車走的路程為90km，故C正確．2.如圖，在圓O中，向量，，是()A．有相同起點的向量B．單位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：選C由題圖可知三向量方向不同，但長度相等．3．下列命題：①若a是單位向量，b也是單位向量，則a與b的方向相同或相反；②若向量是單位向量，則向量也是單位向量；③以坐標平面上的定點A為起點，全部單位向量的終點P的集合是以A為圓心的單位圓．其中正確的個數為()A．0B．1C．2D．3解析：選C由單位向量的定義知，凡長度為1的向量均稱為單位向量，對方向沒有任何要求，故①不正確．因為||＝||，所以當是單位向量時，也是單位向量，故②正確．因為向量是單位向量，故||＝1，所以點P是以A為圓心的單位圓上的一點；反過來，若點P是以A為圓心的單位圓上的隨意一點，則因為||＝1，所以向量是單位向量，故③正確．題組2向量的表示4．一個人先向東行進了5千米，而后又向西行進了3千米，那么這個人總共()A．向東行進了8千米B．向東行進了2千米C．向東行進了5千米D．向西行進了3千米解析：選B記向東方向為正，則向東行進了5千米為＋5千米，向西行進了3千米為－3千米，則＋5＋(－3)＝＋2，表示向東行進了2千米．5．如圖，在矩形ABCD中，可以用一條有向線段表示的向量是()A．和B．和C．和D．和解析：選B和方向相同且大小相等，是相等向量，故可以用一條有向線段表示．6.在如圖的方格紙中，畫出下列向量．(1)||＝3，點A在點O的正西方向；(2)||＝3eq\r(2)，點B在點O北偏西45°方向；(3)求出||的值．解：取每個方格的單位長為1，依題意，結合向量的表示可知，(1)(2)的向量如圖所示．(3)由圖知，△AOB是等腰直角三角形，所以||＝eq\r(|OB→|2－|OA→|2)＝3.題組3相等向量與共線向量7．在△ABC中，點D、E分別為邊AB、AC的中點，則如圖所示的向量中，相等向量有()A．一組B．二組C．三組D．四組解析：選A由向量相等的定義可知，只有一組向量相等，即＝.8．如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，則以圖中點A，B，C，D，E，F，O中的隨意一點為起點，與起點不同的另一點為終點的全部向量中，與向量共線的向量共有()A．2個B．3個C．6個D．9個解析：選D與向量共線的向量有，，，，，，，，，共9個．9．如圖，四邊形ABCD為正方形，△BCE為等腰直角三角形，那么以圖中各點為起點或終點的向量中：(1)與共線的向量有_____________________________________________；(2)與相等的向量有_____________________________________________；(3)與模相等的向量有___________________________________________．解析：(1)與已知向量在同始終線上或平行的向量都是它的共線向量，依據題意，與共線的向量有，，，，，，.(2)與已知向量相等的向量與已知向量方向相同、長度相等，于是與相等的向量有，.(3)向量的模相等，只需長度相等，與方向無關，依據正方形和等腰直角三角形的性質，可知與模相等的向量有，，，，，，，，.答案：(1)，，，，，，(2)，(3)，，，，，，，，10．如圖是4×3的矩形(每個小方格的邊長都是1)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，與向量平行且模為eq\r(2)的向量共有幾個？與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有幾個？解：(1)依題意，每個小方格的兩條對角線中，有一條對角線對應的向量及其相反向量都和平行且模為eq\r(2).因為共有12個小方格，所以滿意條件的向量共有24個．(2)易知與向量方向相同且模為3eq\r(2)的向量共有2個．[實力提升綜合練]1．如圖所示，在正三角形ABC中，P、Q、R分別是AB、BC、AC的中點，則與向量相等的向量是()A．與B．與C．與D．與解析：選B向量相等要求模相等，方向相同，因此與都是和相等的向量．2．已知在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，則||＝()A．1B.eq\r(3)C．2D．2eq\r(3)解析：選D易知AC⊥BD，且∠ABD＝30°，設AC與BD交于點O，則AO＝eq\f(1,2)AB＝1.在Rt△ABO中，易得||＝eq\r(3)，則||＝2||＝2eq\r(3).故選D.3．下列說法中正確的是()A．||與線段BA的長度不相等B．對任一向量a，|a|>0總是成立的C．||＝||D．若a∥b，且|a|＝1005，|b|＝1013，則|a＋b|＝2018解析：選C||，||分別與線段AB，BA的長度相等，所以A不正確，C正確；|0|＝0，對任一向量a，|a|≥0總成立，所以B不正確；對于D，當a與b方向相反時，|a＋b|＝8，故D不正確．4．給出下列命題：①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|.其中，正確的命題有()A．0個B．1個C．2個D．3個解析：選A①忽視了0與0的區分，a＝0；②混淆了兩個向量的模相等和兩個實數相等，兩個向量的模相等，只能說明它們的長度相等，它們的方向并不確定；③兩個向量平行，可以得出它們的方向相同或相反，未必得到它們的模相等．5．設a0，b0分別是a，b的單位向量，則下列結論中正確的是________(填序號)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.解析：因為a0，b0是單位向量，|a0|＝1，|b0|＝1，所以|a0|＋|b0|＝2.答案：③6.如圖，四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形．(1)與向量相等的向量有________；(2)若||＝3，則||＝________.解析：(1)依據向量相等的定義以及四邊形ABCD和ABDE都是平行四邊形，可知與向量相等的向量有，.(2)因為||＝3，||＝2||，所以||＝6.答案：(1)，(2)67．有下列說法：①若a≠b，則a肯定不與b共線；②若＝，則A，B，C，D四點是平行四邊形的四個頂點；③在?ABCD中，肯定有＝；④若a＝b，b＝c，則a＝c；⑤共線向量是在一條直線上的向量．其中，正確的說法是________．解析：對于①，兩個向量不相等，可能是長度不相等，方向相同或相反，所以a與b有共線的可能，故①不正確；對于②，A，B，C，D四點可能在同一條直線上，故②不正確；對于③，在?ABCD中，||＝||，與平行且方向相同，所以＝，故③正確；對于④，a＝b，則|a|＝|b|，且a與b方向相同；b＝c，則|b|＝|c|，且b與c方向相同，所以a與c方向相同且模相等，故a＝c，故④正確；對于⑤，共線向量可以是在一條直線上的向量，也可以是所在直線相互平行的向量，故⑤不正確．答案：③④8．如圖所示方格紙由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成，方絡紙中有兩個定點A，B，點C為小正方形的頂點，且||＝eq\r(5).(1)畫出全