PAGEPAGE10第4講直線與圓、圓與圓的位置關系[考綱解讀]1.能依據給定直線、圓的方程推斷直線與圓的位置關系；能依據給定兩個圓的方程推斷圓與圓的位置關系．(重點)2.能夠求出圓的切線、弦長、能利用圓系解決相關問題，同時在解題時留意基本運算、等價轉化及數形結合思想的運用．(難點)[考向預料]從近三年高考狀況來看，本講為高考必考內容．預料2024年高考將會考查：①直線與圓位置關系的推斷及應用；②直線與圓相交時弦長問題；③利用直線與圓位置關系求參數的取值范圍問題．試題以客觀題形式呈現，難度一般不大，屬中檔題型．此外也不要忽視在解答題中出現的可能性.1．直線與圓的位置關系設直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.2．圓與圓的位置關系設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．3．必記結論當直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長的一半及半徑構成一個直角三角形．(1)兩圓相交時公共弦的方程設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.(2)兩個圓系方程①過直線Ax＋By＋C＝0與圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；②過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點的圓系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(其中不含圓C2，因此留意檢驗C2是否滿意題意，以防丟解)．(3)弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).1．概念辨析(1)“k＝2”是“直線x＋y＋k＝0與圓x2＋y2＝2相切”的必要不充分條件．()(2)過圓O：x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.()(3)假如兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(4)從兩相交圓的方程中消掉二次項后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．()答案(1)×(2)√(3)×(4)√2．小題熱身(1)直線x－y＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系為()A．相切 B．相交但直線不過圓心C．直線過圓心 D．相離答案B解析圓心(0,0)到直線x－y＋1＝0的距離d＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，而0<eq\f(\r(2),2)<1.故選B.(2)已知直線l：y＝k(x＋eq\r(3))和圓C：x2＋(y－1)2＝1，若直線l與圓C相切，則k＝()A．0 B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3)或0 D．eq\r(3)或0答案D解析因為直線l與圓C相切，所以圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|－1＋\r(3)k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0或k＝eq\r(3).故選D.(3)圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在的直線方程為________．答案x－y＋2＝0解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x2＋y2－4x＋4y－12＝0，))得4x－4y＋8＝0，即x－y＋2＝0.(4)在平面直角坐標系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．答案eq\f(2\r(55),5)解析圓心為(2，－1)，半徑r＝2.圓心到直線的距離d＝eq\f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq\f(3\r(5),5)，所以弦長為2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(5),5)))2)＝eq\f(2\r(55),5).題型eq\a\vs4\al(一)直線與圓的位置關系1．直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0的位置關系為()A．相交或相切或相離 B．相交或相切C．相交 D．相切答案C解析解法一：直線kx－y＋2－k＝0的方程可化為k(x－1)－(y－2)＝0，恒過定點(1,2)，因為12＋22－2×1－8<0，所以點(1,2)在圓x2＋y2－2x－8＝0的內部，所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．解法二：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝32，所以圓的圓心為(1,0)，半徑為3.圓心到直線kx－y＋2－k＝0的距離為eq\f(|k＋2－k|,\r(1＋k2))＝eq\f(2,\r(1＋k2))<2，所以直線與圓相交．解法三：由kx－y＋2－k＝0得y＝kx＋2－k，代入x2＋y2－2x－8＝0，得x2＋(kx＋2－k)2－2x－8＝0，整理得(1＋k2)x2－(2k2－4k＋2)x＋k2－4k－4＝0，Δ＝[－(2k2－4k＋2)]2－4(1＋k2)(k2－4k－4)＝4(k2－2k＋1)2－4(1＋k2)(k2－4k－4)＝4(9k2＋5)>0.所以直線kx－y＋2－k＝0與圓x2＋y2－2x－8＝0相交．2．若直線l：x－y＋m＝0與圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共點，則m的取值范圍是()A．[－eq\r(2)，eq\r(2)] B．[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]C．[－eq\r(2)－1，eq\r(2)－1] D．[－2eq\r(2)－1,2eq\r(2)－1]答案D解析解法一：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋m＝0，,x2＋y2－4x－2y＋1＝0，))消去y整理得2x2＋(2m－6)x＋m2－2m＋1＝0.由Δ＝(2m－6)2－4×2×(m2－2m＋1)＝－4(m2＋2m－7)≥0，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.解法二：圓C的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.圓心坐標為(2,1)，半徑r＝2.由題意得圓心到直線x－y＋m＝0的距離d＝eq\f(|2－1＋m|,\r(12＋－12))≤2，解得－2eq\r(2)－1≤m≤2eq\r(2)－1.3．圓(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直線3x＋4y－11＝0的距離等于2的點有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個答案B解析圓(x－3)2＋(y－3)2＝9的圓心為(3,3)，半徑為3，圓心到直線3x＋4y－11＝0的距離d＝eq\f(|3×3＋4×3－11|,\r(32＋42))＝2，∴圓上到直線3x＋4y－11＝0的距離為2的點有2個．故選B.推斷直線與圓的位置關系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關系．(2)代數法：聯立方程之后利用Δ推斷．見舉例說明．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可推斷直線與圓相交．如舉例說明1解法一．上述方法中最常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題．1．已知△ABC的三邊長為a，b，c，滿意直線ax＋by＋2c＝0與圓x2＋y2＝4相離，則△ABC是()A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形 D．以上狀況都有可能答案C解析∵直線ax＋by＋2c＝0與圓x2＋y2＝4相離，∴圓心到直線的距離eq\f(2c,\r(a2＋b2))>2，即c2>a2＋b2.故△ABC是鈍角三角形．故選C.2．直線y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內有兩個不同的交點，則m的取值范圍是()A．(eq\r(3)，2) B．(eq\r(3)，3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(3),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3)))答案D解析當直線經過點(0,1)時，直線與圓有兩個不同的交點，此時m＝1；當直線與圓相切時有圓心到直線的距離d＝eq\f(|m|,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))2))＝1，解得m＝eq\f(2\r(3),3)(切點在第一象限)，所以要使直線與圓在第一象限內有兩個不同的交點，則1<m<eq\f(2\r(3),3).故選D.題型eq\a\vs4\al(二)圓與圓的位置關系1．(2024·合肥模擬)已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，則ab的最大值為()A.eq\f(\r(6),2) B．eq\f(3,2)C．eq\f(9,4) D．2eq\r(3)答案C解析由圓C1與圓C2相外切，可得eq\r(a＋b2＋－2＋22)＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝9，依據基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(9,4)，當且僅當a＝b時等號成立．故選C.2．已知圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.(1)求證：圓C1和圓C2相交；(2)求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長．解(1)證明：圓C1的圓心C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，∴|r1－r2|<d<r1＋r2，∴圓C1和C2相交．(2)圓C1和圓C2的方程相減，得4x＋3y－23＝0，∴兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0.圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7).條件探究1將舉例說明1中條件“外切”變為“內切”，求ab的最大值．解由圓C1與圓C2相內切，可得(a＋b)2＝1，依據基本不等式可知ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4)，所以ab的最大值為eq\f(1,4).條件探究2將舉例說明1中條件“相外切”變為“若兩圓有四條公切線”，試推斷直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1的位置關系．解由兩圓存在四條公切線，故兩圓外離，eq\r(a＋b2＋－2＋22)>3，所以(a＋b)2>9，即a＋b>3或a＋b<－3.又圓心(a，b)到直線x＋y－1＝0的距離d＝eq\f(|a＋b－1|,\r(2))>1，所以直線x＋y－1＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝1相離．推斷圓與圓的位置關系的步驟(1)確定兩圓的圓心坐標和半徑長．(2)利用平面內兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結論．1．圓心為(2,0)的圓C與圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0相外切，則C的方程為()A．x2＋y2＋4x＋2＝0 B．x2＋y2－4x＋2＝0C．x2＋y2＋4x＝0 D．x2＋y2－4x＝0答案D解析圓x2＋y2＋4x－6y＋4＝0的圓心為M(－2,3)，半徑r＝3，|CM|＝eq\r(2＋22＋－32)＝5，∴圓C的半徑為5－3＝2，∴圓C的標準方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.2．若圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦長為2eq\r(3)，則a＝________.答案1解析兩圓的方程作差易知公共弦所在的直線方程為y＝eq\f(1,a)，如圖，由已知得|AC|＝eq\r(3)，|OA|＝2，∴|OC|＝eq\f(1,a)＝1，∴a＝1.題型eq\a\vs4\al(三)直線與圓的綜合問題角度1直線與圓的相切問題1．已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿意下列條件的圓的切線方程：(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；(3)過切點A(4，－1)．解(1)設切線方程為x＋y＋b＝0(b≠－4)，則eq\f(|1－2＋b|,\r(2))＝eq\r(10)，∴b＝1±2eq\r(5)，∴切線方程為x＋y＋1±2eq\r(5)＝0.(2)設切線方程為2x＋y＋m＝0，則eq\f(|2－2＋m|,\r(5))＝eq\r(10)，∴m＝±5eq\r(2)，∴切線方程為2x＋y±5eq\r(2)＝0.(3)∵kAC＝eq\f(－2＋1,1－4)＝eq\f(1,3)，∴過切點A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.角度2與圓有關的弦長問題2．(2024·全國卷Ⅲ)已知直線l：mx＋y＋3m－eq\r(3)＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點．若|AB|＝2eq\r(3)，則|CD|＝________.答案4解析由題意可知直線l過定點(－3，eq\r(3))，該定點在圓x2＋y2＝12上，不妨設點A(－3，eq\r(3))，由于|AB|＝2eq\r(3)，r＝2eq\r(3)，所以圓心到直線AB的距離為d＝eq\r(2\r(3)2－\r(3)2)＝3，又由點到直線的距離公式可得d＝eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))，所以eq\f(|3m－\r(3)|,\r(m2＋1))＝3，解得m＝－eq\f(\r(3),3)，所以直線l的斜率k＝－m＝eq\f(\r(3),3)，即直線l的傾斜角為30°.如圖，過點C作CH⊥BD，垂足為H，所以|CH|＝2eq\r(3)，在Rt△CHD中，∠HCD＝30°，所以|CD|＝eq\f(2\r(3),cos30°)＝4.1．求過圓上的一點(x0，y0)的切線方程的方法先求切點與圓心連線的斜率k，若k不存在，則結合圖形可干脆寫出切線方程為y＝y0；若k＝0，則結合圖形可干脆寫出切線方程為x＝x0；若k存在且k≠0，則由垂直關系知切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可寫出切線方程．2．求過圓外一點(x0，y0)的圓的切線方程的兩種方法幾何法當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進而寫出切線方程代數法當斜率存在時，設為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個關于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出3．求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法：直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓C的半徑為r，則|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數法：將直線方程與圓的方程聯立，設直線與圓的交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)．則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．1．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P，Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為原點)，則k的值為()A．－eq\r(3)或eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\r(2)或eq\r(2) D．eq\r(2)答案A解析由題意可得圓心O到直線y＝kx＋1的距離等于eq\f(1,2)，所