PAGE3-第三節(jié)直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)[考綱傳真]1.以立體幾何的定義、公理和定理為動(dòng)身點(diǎn)，相識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些有關(guān)空間圖形的平行關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．1．直線(xiàn)與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?α,a?α,l∥a))?l∥α性質(zhì)定理一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a?β,α∩β＝b))?a∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線(xiàn)面平行?面面平行”)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a?α,b?α,a∥β,b∥β,a∩b＝P))?α∥β性質(zhì)定理假如兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))?a∥b[常用結(jié)論]1．垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.2．垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b.3．平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.4．三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化：[基礎(chǔ)自測(cè)]1．(思索辨析)推斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面，則這條直線(xiàn)平行于這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線(xiàn)．()(2)假如一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行．()(3)假如兩個(gè)平面平行，那么分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)平行或異面．()(4)若直線(xiàn)a與平面α內(nèi)多數(shù)條直線(xiàn)平行，則a∥α.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(教材改編)下列命題中正確的是()A．若a，b是兩條直線(xiàn)，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何平面B．若直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)意a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線(xiàn)平行C．平行于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行D．若直線(xiàn)a，b和平面α滿(mǎn)意a∥b，a∥α，b?α，則b∥αD[A錯(cuò)誤，a可能在經(jīng)過(guò)b的平面內(nèi)；B錯(cuò)誤，a與α內(nèi)的直線(xiàn)平行或異面；C錯(cuò)誤，兩個(gè)平面可能相交．]3．平面α與平面β平行的條件可以是()A．α內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)都與β平行B．直線(xiàn)a∥α，a∥β，且直線(xiàn)a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)C．α內(nèi)的任何直線(xiàn)都與β平行D．直線(xiàn)a在α內(nèi)，直線(xiàn)b在β內(nèi)，且a∥β，b∥αC[在選項(xiàng)A中，α內(nèi)有多數(shù)條直線(xiàn)都與β平行，α與β有可能相交，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在選項(xiàng)B中，直線(xiàn)a∥α，a∥β，且直線(xiàn)a不在α內(nèi)，也不在β內(nèi)，則α與β相交或平行，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，α內(nèi)的任何直線(xiàn)都與β平行，由面面平行的判定定理得α∥β，故選項(xiàng)C正確；在選項(xiàng)D中，直線(xiàn)a在α內(nèi)，直線(xiàn)b在β內(nèi)，且a∥β，b∥α，則α與β相交或平行，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C.]4．已知直線(xiàn)l∥平面α，P∈α，則過(guò)點(diǎn)P且平行于直線(xiàn)l的直線(xiàn)()A．只有一條，不在平面α內(nèi)B．只有一條，且在平面α內(nèi)C．有多數(shù)條，不肯定在平面α內(nèi)D．有多數(shù)條，肯定在平面α內(nèi)B[過(guò)直線(xiàn)l和點(diǎn)P作一個(gè)平面β與α相交于m，∵l∥α，∴l(xiāng)∥m，且m?α，若n也是過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線(xiàn)，則m∥n，這與m∩n＝P相沖突，故選B.]5．(教材改編)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是DD1的中點(diǎn)，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為_(kāi)_______．平行[如圖所示，連接BD交AC于F，連接EF，則EF是△BDD1的中位線(xiàn)，∴EF∥BD1，又EF?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.]與線(xiàn)、面平行相關(guān)命題的判定1．平面α∥平面β的一個(gè)充分條件是()A．存在一條直線(xiàn)a，a∥α，a∥βB．存在一條直線(xiàn)a，a?α，a∥βC．存在兩條平行直線(xiàn)a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD．存在兩條異面直線(xiàn)a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥αD[若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，則a∥α，a∥β，故解除A.若α∩β＝l，a?α，a∥l，則a∥β，故解除B.若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，則a∥β，b∥α，故解除C.故選D.]2．下列四個(gè)正方體圖形中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則能得出AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是()①②③④A．①③ B．②③C．①④ D．②④C[對(duì)于圖形①，易得平面MNP與AB所在的對(duì)角面平行，所以AB∥平面MNP；對(duì)于圖形④，易得AB∥PN，又AB?平面MNP，PN?平面MNP，所以AB∥平面MNP；圖形②③無(wú)論用定義還是判定定理都無(wú)法證明線(xiàn)面平行．故選C.][規(guī)律方法]與線(xiàn)、面平行相關(guān)命題的判定，必需熟識(shí)線(xiàn)、面平行關(guān)系的各個(gè)定義、定理，特殊留意定理所要求的條件是否完備，圖形是否有特殊情形.直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì)?考法1直線(xiàn)與平面平行的判定【例1】如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝3，F(xiàn)是棱PA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)．(1)證明：OE∥平面PAB；(2)若AF＝1，求證：CE∥平面BDF；(3)若AF＝2，M為△ABC的重心，證明FM∥平面PBC.[證明](1)由已知四邊形ABCD為菱形，又O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以O(shè)E∥PB.又OE?平面PAB，PB?平面PAB，所以O(shè)E∥平面PAB.(2)過(guò)E作EG∥FD交AP于G，連接CG，F(xiàn)O.因?yàn)镋G∥FD，EG?平面BDF，F(xiàn)D?平面BDF，所以EG∥平面BDF，因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，O是AC的中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以G為PF的中點(diǎn)，因?yàn)锳F＝1，PA＝3，所以F為AG的中點(diǎn)，所以O(shè)F∥CG.因?yàn)镃G?平面BDF，OF?平面BDF，所以CG∥平面BDF.又EG∩CG＝G，EG，CG?平面CGE，所以平面CGE∥平面BDF，又CE?平面CGE，所以CE∥平面BDF.(3)連接AM，并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)Q，連接PQ，因?yàn)镸為△ABC的重心，所以Q為BC中點(diǎn)，且eq\f(AM,MQ)＝eq\f(2,1).又AF＝2，所以eq\f(AF,FP)＝eq\f(2,1).所以eq\f(AM,MQ)＝eq\f(AF,FP)，所以MF∥PQ，又MF?平面PBC，PQ?平面PBC，所以FM∥平面PBC.?考法2線(xiàn)面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用【例2】如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形．[證明]∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形，∵CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線(xiàn)CD和AB所成的角．又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形．[規(guī)律方法]1.證明線(xiàn)面平行的常用方法1利用線(xiàn)面平行的定義無(wú)公共點(diǎn).2利用線(xiàn)面平行的判定定理a?α，b?α，a∥b?a∥α.3利用面面平行的性質(zhì)定理α∥β，a?α?a∥β.,4利用面面平行的性質(zhì)α∥β，a?β，a∥α?a∥β.2.利用判定定理判定線(xiàn)面平行，留意三條件缺一不行，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn).常利用三角形的中位線(xiàn)、平行四邊形的對(duì)邊平行或過(guò)已知直線(xiàn)作一平面找其交線(xiàn).如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，E是PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)在PC上求一點(diǎn)G，使FG∥平面AEC，并證明你的結(jié)論．[解](1)證明：連接BD，設(shè)BD交AC于O，連接EO，因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)，又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB.又EO?平面AEC，PB?平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)PC的中點(diǎn)G即為所求的點(diǎn)．證明如下：連接GE，F(xiàn)G，∵E為PD的中點(diǎn)，∴EG綊eq\f(1,2)CD；又F是AB的中點(diǎn)，∴AF綊eq\f(1,2)CD，∴AF綊EG，∴四邊形AFGE為平行四邊形，∴FG∥AE，又FG?平面AEC，AE?平面AEC，∴FG∥平面AEC.平面與平面平行的判定與性質(zhì)【例3】如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.[證明](1)∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，∴GH是△A1B1C1的中位線(xiàn)，GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．(2)在△ABC中，E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點(diǎn)，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，則A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.[母題探究](1)在本例條件下，若點(diǎn)D為BC1的中點(diǎn)，求證：HD∥平面A1B1BA.(2)在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點(diǎn)，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.[證明](1)如圖所示，連接HD，A1B，∵D為BC1的中點(diǎn)，H為A1C1的中點(diǎn)，∴HD∥A1B.又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.(2)如圖所示，連接A1C交AC1于點(diǎn)M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點(diǎn)，連接MD，∵D為BC的中點(diǎn)，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1，又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1.又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.[規(guī)律方法]證明面面平行的常用方法1利用面面平行的定義.2利用面面平行的判定定理：假如一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.3利用“垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行”.4利用“假如兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行”.5利用“線(xiàn)線(xiàn)平行”“線(xiàn)面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.[證明](1)如圖所示，設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過(guò)點(diǎn)O，連接MO，則MO為△ABE的中位線(xiàn)，所以BE∥MO.因?yàn)锽E?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點(diǎn)，所以DE∥GN.因?yàn)镈E?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線(xiàn)，所以BD∥MN.因?yàn)锽D?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因?yàn)镈E∩BD＝D，BD，DE?平面BDE，所以平面BDE∥