PAGEPAGE5曲線運動一、曲線運動的位移及速度┄┄┄┄┄┄┄┄①1．曲線運動：運動軌跡是曲線的運動。2．曲線運動的位移(1)坐標系的選擇：在探討做曲線運動的物體的位移時，經常選擇平面直角坐標系。(2)位移的描述：曲線運動中位移矢量的方向不斷發生變更，描述位移時，可盡量用它在坐標軸方向的分矢量來表示，而分矢量可用該點的坐標表示。如圖所示，物體從O點運動到A點，位移大小為l，與x軸夾角為α，則在x方向的分位移為xA＝lcosα，在y方向的分位移為yA＝lsin_α。3．曲線運動的速度(1)速度的方向：質點在某一點的速度方向，沿曲線在這一點的切線方向。(2)運動的性質：質點做曲線運動，速度的方向時刻發生變更，因此曲線運動肯定是變速運動。(3)速度的描述：曲線運動的速度可用相互垂直的兩個方向的分矢量表示，這兩個分矢量叫做分速度。如圖所示，兩個分速度vx、vy與速度v的關系為：vx＝vcos_θ，vy＝vsin_θ。[說明]速度是矢量，速度的變更有三種狀況(1)速度方向不變，只有大小變更，物體做變速直線運動。(2)速度大小不變，只有方向變更，物體做速率不變的曲線運動。(3)速度的大小和方向同時變更，物體做曲線運動。①[選一選]如圖所示，物體沿曲線由a點運動至b點，關于物體在ab段的運動，下列說法正確的是()A．物體的速度可能不變B．物體的速度不行能勻稱變更C．a點的速度方向由a指向bD．ab段的位移大小肯定小于路程解析：選D做曲線運動的物體速度方向時刻變更，即使速度大小不變，速度方向也在不斷發生變更，故A錯誤；做曲線運動的物體必定受到力的作用，當物體所受的力為恒力時，物體的加速度恒定，速度勻稱變更，故B錯誤；a點的速度沿a點的切線方向，故C錯誤；做曲線運動的物體的位移大小必小于路程，故D正確。二、運動描述的實例┄┄┄┄┄┄┄┄②1．蠟塊的運動(1)蠟塊的位置：如圖所示，蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設為vy，玻璃管向右勻速移動的速度設為vx。從蠟塊起先運動的時刻計時，在時刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個坐標表示：x＝vxt，y＝vyt。(2)蠟塊的速度：大小為v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，速度的方向滿意tanθ＝eq\f(vy,vx)。(3)蠟塊的運動軌跡：y＝eq\f(vy,vx)x，是一條過原點的直線。2．運動的合成與分解(1)合運動與分運動假如物體同時參加了幾個運動，那么物體實際發生的運動就是合運動，那幾個運動就是分運動。物體的實際運動肯定是合運動，實際運動的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分運動的位移、速度、加速度是它的分位移、分速度、分加速度。(2)運動的合成與分解由分運動求合運動的過程叫做運動的合成；反之，由合運動求分運動的過程叫做運動的分解。(3)運動的合成與分解包括位移、速度和加速度的合成與分解，這些描述運動狀態的物理量都是矢量，對它們進行合成與分解時都可運用平行四邊形定則。[留意]理論上講，一個合運動可以分解成多數組分運動，但在解決實際問題時，常須要考慮運動的效果和實際狀況進行分解，分解時須要留意以下幾個問題：(1)確認合運動就是物體實際表現出來的運動。(2)明的確際運動引起了哪些分運動的效果，找到參加的分運動。(3)正交分解法是運動分解最常用的方法，選擇哪兩個相互垂直的方向進行分解是求解問題的關鍵。②[判一判]1．運動描述的實例中，蠟塊的水平速度、豎直速度與實際速度三者滿意平行四邊形定則(√)2．合運動的時間肯定比分運動的時間長(×)3．合運動和分運動具有等時性，即同時起先、同時結束(√)4．合運動的位移大小等于兩個分運動位移大小之和(×)三、物體做曲線運動的條件┄┄┄┄┄┄┄┄③[說明]③[判一判]1．物體做曲線運動時，合力肯定是變力(×)2．物體做曲線運動時，加速度肯定不為零(√)3．兩個勻速直線運動的合運動肯定是直線運動(√)4．一個勻速直線運動和一個勻加速直線運動的合運動肯定是勻加速直線運動(×)5．兩個勻加速直線運動的合運動可能是曲線運動(√)1.從力和運動關系的角度理解物體做曲線運動的條件(1)當合力的方向跟物體的速度方向始終垂直時，物體做速度大小不變、方向不斷變更的曲線運動，此時的合力只變更速度的方向，不變更速度的大小。(2)當合力的方向跟速度方向不在同始終線上時，可將合力分解到沿著速度方向和垂直于速度方向這兩個方向，如圖所示，沿著速度方向的分力F1只變更速度的大小，垂直于速度方向的分力F2只變更速度的方向，這時物體做速度大小和方向都變更的曲線運動。(3)若合力和速度之間的夾角為θ，當0≤θ＜90°時，物體速度不斷增大；當90°＜θ≤180°時，物體速度不斷減小。2．曲線運動的軌跡(1)軌跡圖如圖所示(2)軌跡特點及常考的問題[典型例題]例1.(2024·佳木斯高一檢測)如圖所示，一質點從M點到N點做曲線運動，當它通過P點時，其速度v和加速度a的關系可能正確的是()[解析]加速度的方向與合力的方向一樣，由曲線運動中合力與軌跡的關系可知，加速度的方向也肯定指向軌跡的凹側，而速度的方向肯定是軌跡上該點的切線方向，故C正確。[答案]C[點評]曲線運動中速度、軌跡和合力的位置關系(1)速度方向與軌跡相切。(2)合力(加速度)的方向指向軌跡內側。(3)運動軌跡總是在合力(加速度)和速度的方向之間。[即時鞏固]1．[多選]關于曲線運動，下列說法正確的是()A．曲線運動是一種變速運動B．做曲線運動的物體所受合力肯定不為零C．做曲線運動的物體所受合力肯定是變更的D．曲線運動不行能是一種勻變速運動解析：選AB曲線運動中速度方向時刻在變更，故曲線運動是變速運動，A正確；做曲線運動的物體所受合力肯定不為零，當做曲線運動的物體所受合力不變時，物體做勻變速曲線運動，B正確，C、D錯誤。1.合運動與分運動關系的四個特性2．互成角度的兩個直線運動的合成3.運動的分解(1)運動的分解的步驟①依據運動的效果(產生位移)確定運動的分解方向；②應用平行四邊形定則，畫出運動分解圖；③將平行四邊形轉化為三角形，應用數學學問求解。(2)兩點拓展①運動的合成和分解事實上是描述運動的位移、速度、加速度的合成和分解，合成或分解的參量必需是相對于同一參考系的；②運動的分解與力的分解一樣，如無約束條件，一個運動可以分解為多數組分運動。在詳細分解運動時，一般狀況下依據運動的實際效果分解。[典型例題]例2.質量m＝2kg的物體在光滑水平面上運動，其分速度vx和vy隨時間變更的圖線如圖甲、乙所示，求：(1)物體所受的合力；(2)物體的初速度；(3)t＝8s時物體的速度eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tan53°＝\f(4,3)，tan37°＝\f(3,4)))；(4)t＝4s內物體的位移大小；(5)物體運動軌跡的方程。[解析](1)物體在x軸方向上的加速度ax＝0，y軸方向上加速度ay＝eq\f(Δvy,Δt)＝0.5m/s2依據牛頓其次定律知物體所受合力F合＝may＝1N，方向沿y軸正方向。(2)由圖可知vx0＝3m/s，vy0＝0則物體的初速度為v0＝3m/s，方向沿x軸正方向。(3)t＝8s時，vx＝3m/s，vy＝4m/s，物體的合速度為v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))＝5m/s，tanθ＝eq\f(4,3)，θ＝53°即速度方向與x軸正方向的夾角為53°。(4)t＝4s內，沿x軸位移x＝vxt＝12m沿y軸位移y＝eq\f(1,2)ayt2＝4m物體的位移大小l＝eq\r(x2＋y2)≈12.6m(5)由x＝vxt，y＝eq\f(1,2)ayt2消去t代入數據得y＝eq\f(x2,36)[答案](1)1N，沿y軸正方向(2)3m/s，沿x軸正方向(3)5m/s，與x軸正方向的夾角為53°(4)12.6m(5)y＝eq\f(x2,36)[點評]求解合運動與分運動的三個留意點(1)合運動與分運動必需是同一個物體的運動。(2)合運動與分運動遵守平行四邊形定則。(3)“等時性”是合運動與分運動的橋梁。[即時鞏固]2．如圖所示，在長約80～100cm、一端封閉的玻璃管中注滿清水，水中放一個用紅蠟做成的小圓柱體(小圓柱體恰能在管中勻速上浮)，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊。然后將玻璃管豎直倒置，在紅蠟塊勻速上浮的同時使玻璃管緊貼黑板面水平向右勻加速移動，你正對黑板面將看到紅蠟塊相對于黑板面的移動軌跡可能是圖中的()解析：選C紅蠟塊的水平分速度越來越大，合速度越來越大，合速度與水平方向的夾角越來越小，由此可知C正確。1.常見問題物體斜拉繩或繩斜拉物體的問題，如圖所示。2．規律由于繩不行伸長，所以繩兩端所連物體的速度沿著繩方向的分速度大小相同。3．速度分解的方法物體的實際運動就是合運動。(1)把物體的實際速度分解為垂直于繩和平行于繩的兩個重量，依據沿繩方向的分速度大小相同列方程求解。(2)以上所說的“速度”沿繩方向的重量指的是“瞬時速度”，而不是“平均速度”。(3)把甲、乙兩圖的速度分解，如圖丙、丁所示。[典型例題]例3.如圖所示，某人用繩通過定滑輪拉小船，設人勻速拉繩的速度為v0，繩某時刻與水平方向夾角為α，則小船的運動性質及此時刻小船水平速度vx為()A．小船做變速運動，vx＝eq\f(v0,cosα)B．小船做變速運動，vx＝v0cosαC．小船做勻速直線運動，vx＝v0cosαD．小船做勻速直線運動，vx＝v0cosα[解析]小船的實際運動是水平向左的運動，它的速度vx可以產生兩個效果：一是使繩子OP段縮短；二是使OP段繩與豎直方向的夾角減小。所以小船的速度vx應有沿OP繩指向O的分速度v0和垂直OP的分速度v1，由運動的分解可求得vx＝eq\f(v0,cosα)，α角漸漸變大，可得vx是漸漸變大的，所以小船做的是變速運動，且vx＝eq\f(v0,cosα)。[答案]A[點評](1)小船的實際運動為合運動，此運動產生兩個效果，一是使繩子沿自身方向向上收縮，二是使與船接觸的繩有沿與繩垂直方向向下搖擺的趨勢。(2)關聯物體的分析思路[即時鞏固]3．(2024·南昌月考)如圖所示，套在豎直細桿上的環A由跨過定滑輪且不行伸長的輕繩與重物B相連，由于B的質量較大，在釋放B后，A將沿桿上升，當運動至與定滑輪的連線處于水平位置時，其上升速度vA≠0，B未落地，這時B的速度為vB＝________。解析：環A沿細桿上升的過程中，任取一位置，此時繩與豎直方向的夾角為α。將A的速度vA沿繩方向和垂直于繩的方向進行分解，如圖所示，則v1＝vAcosα，B下落的速度vB＝v1＝vAcosα，當環A上升至與定滑輪的連線處于水平位置時α＝90°，所以此時B的速度vB＝0。答案：0小船在有肯定流速的水中過河時，事實上參加了兩個方向的分運動，即隨水流的運動(水沖船的運動速度v水)和船相對水的運動(即船在靜水中的速度v船)，船的實際運動是合運動(v合)。1．渡河最短時間若使小船渡河的時間最短，應使船頭正對河岸行駛，如圖甲所示，此時渡河時間t＝eq\f(d,v船)(d為河寬)，此時小船肯定在對岸下游處靠岸。此種狀況與船的實際速度及水流速度的大小無關，只取決于船相對于水的速度。2．渡河最短位移(1)v船>v水時，若小船垂直于河岸渡河，渡河位移最小，為河寬，應將船頭偏向上游，如圖乙所示，此時渡河時間t＝eq\f(d,v合)＝eq\f(d,v船sinθ)。(2)v船<v水時，要使渡河位移最小，此時小船不能垂直河岸渡河。以水流速度的末端A為圓心，小船在靜水中速度大小為半徑作圓，過O點作該圓的切線，交圓于B點，此時船速與半徑AB平行，如圖丙所示。此時小船運動的速度(合速度)與垂直河岸方向的夾角最小，小船渡河位移最小。由相像三角形可得eq\f(x,d)＝eq\f(v水,v船)，解得x＝eq\f(v水,v船)d。渡河時間仍可以采納上面的方法t＝eq\f(d,v船sinθ)。[典型例題]例4.河寬d＝200m，水流速度v1＝3m/s，船在靜水中的速度v2＝5m/s。求：(1)欲使船渡河時間最短，船應怎樣渡河？最短時間是多少？船經過的位移多大？(2)欲使船航行距離最短，船應怎樣渡河？渡河時間多長？[解析](1)當船頭指向對岸時，渡河時間最短，如圖甲所示。tmin＝eq\f(d,v2)＝40s船經過的位移大小x＝vtmin＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))tmin≈233m(2)欲使船航行距離最短，需使船的實際位移(合位移)與河岸垂直，設此時船的航行速度v2與岸成θ角，如圖乙所示。則cosθ＝eq\f(v1,v2)＝eq\f(3,5)v′＝eq\r(v\o\al(2,2)－v\o\al(2,1))＝4m/s渡河時間t′＝eq\f(d,v′)＝50s[答案](1)船頭指向對岸40s233m(2)船頭指向上游，與岸所成角的余弦值為eq\f(3,5)50s[點評][即時鞏固]4．(2024·長興高一檢測)有一小船正在渡河，如圖所示，在離對岸30m時，其下游40m處有一危急水域，假如水流速度為5m/s，為了使小船在危急水域之前到達對岸，則小船從現在起相對于靜水的最小速度應是多大？解析：設小船相對于靜水的速度為v1，水速為v2，小船的合速度v的方向(渡河方向)與水速度的夾角為α，如圖所示，由幾何關系知，當v1垂直于v時，v1才可能最小，此時v1＝v2sinα，由題意知，sinα的最小值為eq\f(3,5)，所以v1的最小值vmin＝5×eq\f(3,5)m/s＝3m/s故當小船恰好到達危急區邊界與對岸的交點處時，v1最小，為3m/s。答案：3m/s1．(2024·南開區高一檢測)做曲線運動的物體，在運動過程中，肯定發生變更的物理量是()A．速率B．速度C．加速度D．合力解析：選B曲線運動物體的速度方向肯定變更，但大小可能變，也可能不變，B正確，A錯誤；做曲線運動的物體肯定具有加速度，加速度可能不變，也可能變更，故C、D錯誤。2．[多選]關于曲線運動的性質，以下說法中正確的是()A．曲線運動肯定是變速運動B．變速運動不肯定是曲線運動C．曲線運動肯定是加速度變更的運動D．運動物體的速度大小、加速度大小都不變的運動肯定是直線運動解析：選AB做曲線運動的物體其速度方向肯定是時刻變更的，而速度是矢量，速度方向變了，物體的運動就肯定是變速運動，