PAGEPAGE1第96練高考大題突破練—概率與統計[基礎保分練]1．本著健康、低碳的生活理念，租自行車騎游的人越來越多．某自行車租車點的收費標準是每車每次租的時間不超過兩小時免費，超過兩個小時的部分每小時收費2元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次)．設甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,2)；兩小時以上且不超過三小時還車的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,4)；兩人租車時間都不會超過四小時．(1)求甲、乙都在三到四小時內還車的概率和甲、乙兩人所付租車費相同的概率；(2)設甲、乙兩人所付的租車費用之和為隨機變量ξ，求ξ的概率分布與均值E(ξ)．2．某地區以“綠色出行”為宗旨開展“共享單車”業務．該地區某高級中學一愛好小組由20名高二年級學生和15名高一年級學生組成，現采納分層抽樣的方法抽取7人，組成一個體驗小組去市場體驗“共享單車”的運用．問：(1)應從該愛好小組中抽取高一年級和高二年級的學生各多少人；(2)已知該地區有X，Y兩種型號的“共享單車”，在市場體驗中，該體驗小組的高二年級學生都租X型車，高一年級學生都租Y型車．①假如從組內隨機抽取3人，求抽取的3人中至少有2人在市場體驗過程中租X型車的概率；②已知該地區X型車每小時的租金為1元，Y型車每小時的租金為1.2元，設ξ為從體驗小組內隨機抽取3人得到的每小時租金之和，求ξ的均值．3．(2024·南京調研)某同學在上學路上要經過A，B，C三個帶有紅綠燈的路口，已知他在A，B，C三個路口遇到紅燈的概率依次是eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(3,4)，遇到紅燈時停留的時間依次是40秒、20秒、80秒，且在各個路口是否遇到紅燈是相互獨立的．(1)求這名同學在上學路上在第三個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)記這名同學在上學路上因遇到紅燈停留的總時間為隨機事務X，求X的概率分布與均值E(X)．[實力提升練]4．(2024·南通模擬)已知正六棱錐S－ABCDEF的底面邊長為2，高為1.現從該棱錐的7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，設隨機變量X表示所得三角形的面積．(1)求概率P(X＝eq\r(3))的值；(2)求X的概率分布，并求其均值E(X)．

答案精析1．解(1)由題意得，甲、乙在三小時以上且不超過四小時還車的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,4).記甲、乙兩人所付的租車費用相同為事務A，則P(A)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16).所以甲、乙兩人所付的租車費用相同的概率為eq\f(5,16).(2)ξ的可能取值為0,2,4,6,8.P(ξ＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,8)，P(ξ＝2)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,16)，P(ξ＝6)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,4)＝eq\f(3,16)，P(ξ＝8)＝eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,16)，故ξ的概率分布為ξ02468Peq\f(1,8)eq\f(5,16)eq\f(5,16)eq\f(3,16)eq\f(1,16)E(ξ)＝0×eq\f(1,8)＋2×eq\f(5,16)＋4×eq\f(5,16)＋6×eq\f(3,16)＋8×eq\f(1,16)＝eq\f(7,2).2．解(1)依題意知，應從該愛好小組中抽取的高一學生人數為eq\f(15,20＋15)×7＝3，高二學生的人數為eq\f(20,20＋15)×7＝4.(2)①方法一所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(22,35).方法二所求概率P＝1－eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(22,35).②從小組內隨機抽取3人，得到的ξ的可能取值為3，3.2，3.4,3.6.因為P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(ξ＝3.2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝3.4)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝3.6)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，故ξ的均值E(ξ)＝3×eq\f(4,35)＋3.2×eq\f(18,35)＋3.4×eq\f(12,35)＋3.6×eq\f(1,35)＝3eq\f(9,35).3．解(1)設這名同學在上學路上在第三個路口時首次遇到紅燈為事務A，因為事務A等于事務“這名同學在第一和其次個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈”，所以P(A)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8).答這名同學在上學路上在第三個路口時首次遇到紅燈的概率為eq\f(3,8).(2)X的全部可能取值為0,40,20,80,60,100,120,140(單位：秒)．P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,8)；P(X＝40)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,16)；P(X＝20)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,24)；P(X＝80)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\f(3,4)＝eq\f(3,8)；P(X＝60)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＝eq\f(1,48)；P(X＝100)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,8)；P(X＝120)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))×eq\f(3,4)＝eq\f(3,16)；P(ξ＝140)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,16).所以X的概率分布為X040208060100120140Peq\f(1,8)eq\f(1,16)eq\f(1,24)eq\f(3,8)eq\f(1,48)eq\f(1,8)eq\f(3,16)eq\f(1,16)所以E(X)＝40×eq\f(1,16)＋20×eq\f(1,24)＋80×eq\f(3,8)＋60×eq\f(1,48)＋100×eq\f(1,8)＋120×eq\f(3,16)＋140×eq\f(1,16)＝eq\f(235,3).4．解(1)從7個頂點中隨機選取3個點構成三角形，共有Ceq\o\al(3,7)＝35(種)取法，其中X＝eq\r(3)的三角形如△ABF，這類三角形共有6個，因此P(X＝eq\r(3))＝eq\f(6,C\o\al(3,7))＝eq\f(6,35).(2)由題意，X的可能取值為eq\r(3)，2，eq\r(6)，2eq\r(3)，3eq\r(3)，其中X＝eq\r(3)的三角形如△ABF，這類三角形共有6個；其中X＝2的三角形有兩類，如△SAD(3個)，△SAB(6個)，共有9個；其中X＝eq\r(6)的三角形如△SBD，這類三角形共有6個；其中X＝2eq\r(3)的三角形如△CDF，這類三角形共有12個；其中X＝3eq\r(3)的三角形如△BDF，這類三角形共有2個．因此P(X＝eq\r(3))＝eq\f(6,35)，P(X＝2)＝eq\f(9,35)，P(X＝eq\r(6))＝eq\f(6,35)，P(X＝2eq\r(3))＝eq\f(12,35)，P(X＝3eq\r(3))＝eq\f(2,35)，所以隨機變量的概率分布為Xeq\r(3)2eq\