第七章隨機變量及其分布7.4二項分布與超幾何分布7.4.1二項分布教學設計一、教學目標1.通過具體實例，了解伯努利試驗與n重伯努利試驗；2.掌握二項分布及其數字特征，并能解決簡單的實際問題.二、教學重難點1、教學重點n重伯努利試驗模型、二項分布模型，用它們解決一些簡單的實際問題.2、教學難點利用二項分布模型解決實際問題.三、教學過程（一）新課導入問題：觀察以下隨機試驗，它們有什么相同的特征？（1）擲硬幣時正面朝上或反面朝上；（2）檢驗一件產品結果為合格或不合格；（3）飛碟射擊時中靶或脫靶；（4）醫學檢驗結果為陽性或陰性.（二）探索新知探究一伯努利試驗將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.顯然，n重伯努利試驗具有如下共同特征：（1）同一個伯努利試驗重復做n次；（2）各次試驗的結果相互獨立.在伯努利試驗中，我們關注某個事件A是否發生，而在n重伯努利試驗中，我們關注事件A發生的次數X.因為X是一個離散型隨機變量，所以我們實際關心的是它的概率分布列.探究二：二項分布問題：某飛碟運動員每次射擊中靶的概率為0.8.連續3次射擊，中靶次數X的概率分布列是怎樣的？用表示“第i次射擊中靶”，用如圖的樹狀圖表示試驗的可能結果.由分步乘法計數原理，3次獨立重復試驗共有種可能結果，它們兩兩互斥，每個結果都是3個相互獨立事件的積.由概率的加法公式和乘法公式得，，，.為了簡化表示，每次射擊用1表示中靶，用0表示脫靶，那么3次射擊恰好2次中靶的所有可能結果可表示為011，110，101，這三個結果發生的概率都相等，均為，并且與哪兩次中靶無關.因此，3次射擊恰好2次中靶的概率為.同理可求中靶0次、1次、3次的概率.于是，中靶次數X的分布列為.總結：一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p（），用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作.由二項式定理，容易得到.例1將一枚質地均勻的硬幣重復拋擲10次，求：（1）恰好出現5次正面朝上的概率；（2）正面朝上出現的頻率在內的概率.解：設“正面朝上”，則.用X表示事件A發生的次數，則.（1）恰好出現5次正面朝上等價于，于是；（2）正面朝上出現的頻率在內等價于，于是.例2甲、乙兩選手進行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對甲更有利？解析：采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分或，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因為每局比賽的結果是獨立的，甲最終獲勝的概率為.類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分或.因為每局比賽的結果是獨立的，所以甲最終獲勝的概率為.歸納：一般地，確定一個二項分布模型的步驟如下：（1）明確伯努利試驗及事件A的意義，確定事件A發生的概率p；（2）確定重復試驗的次數n，并判斷各次試驗的獨立性；（3）設X為n次獨立重復試驗中事件A發生的次數，則.探究三：二項分布的均值與方差問題：假設隨機變量X服從二項分布，那么X的均值和方差各是什么？我們知道，拋擲一枚質地均勻的硬幣，“正面朝上”的概率為0.5，如果擲100次硬幣，期望有次正面朝上.根據均值的含義，對于服從二項分布的隨機變量X，我們猜想.先考察n較小的情況.（1）當時，X服從兩點分布，分布列為.均值和方差分別為.（2）當時，X的分布列為.均值和方差分別為..一般地，可以證明：如果，那么.下面對均值進行證明.令，由，可得.令，則.二項分布的應用非常廣泛.例如，生產過程中的質量控制和抽樣方案，都是以二項分布為基礎的；參加某保險人群中發生保險事故的人數，試制藥品治愈某種疾病的人數，感染某種病毒的家禽數等，都可以用二項分布來描述.（三）課堂練習1.現有10張分別標有-5，-4，-3，-2，-1,0,1,2,3,4的卡片，它們的大小和顏色完全相同，從中隨機抽取1張，記下數后放回，連續抽取3次，則記下的數中有正有負且沒有0的概率為()

A. B. C. D.答案：B解析：由題意,知每次抽到標有正數的卡片的概率為，抽到標有負數的卡片的概率為,抽到標有0的卡片的概率為，而記下的數中有正有負且沒有0的情況有兩種:2正1負，1正2負,則所求的概率為.故選B.2.有8件產品，其中4件是次品，從中有放回地取3次（每次1件），若X表示取得次品的次數，則()A． B． C． D．答案：D解析：因為是有放回地取產品，所以每次取產品取到次品的概率為．從中取3次，X為取得次品的次數，則,,故選D.3.若隨機變量Y服從二項分布,且,,則此二項分布是()

A. B. C. D.答案：B解析：隨機變量Y服從二項分布，

且，，

②除以①得，即，

代入①解得,此二項分布是，故選B.4.將一個半徑適當的小球放入如圖所示的容器最上方的入口處,小球將自由落下,小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中,已知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率分別為,則小球落入袋中的概率為()A. B. C. D.答案：D解析：記事件為小球落入袋.因為小球遇到障礙物有一次向左和兩次向右或兩次向