第三節函數的奇偶性與周期性命題分析預測學科核心素養以理解函數的奇偶性、會用函數的奇偶性為主，常與函數的單調性、周期性交匯命題，加強函數與方程思想、轉化與化歸思想的應用意識，題型以選擇題、填空題為主，中等偏上難度.本節通過函數奇偶性、周期性的應用考查數形結合思想、等價轉化思想以及學生的邏輯推理和數學運算核心素養.知識點一函數的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)是偶函數關于

對稱奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個x，都有

，那么函數f(x)是奇函數關于

對稱f(－x)＝f(x)y軸f(－x)＝－f(x)原點二級結論1．函數奇偶性的幾個重要結論(1)如果一個奇函數f(x)在原點處有定義，即f(0)有意義，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)＝f(|x|)．(3)既是奇函數又是偶函數的函數只有一種類型，即f(x)＝0，x∈D，其中定義域D是關于原點對稱的非空數集．(4)奇函數在兩個關于原點對稱的區間上具有相同的單調性；偶函數在兩個關于原點對稱的區間上具有相反的單調性．2．有關對稱性的結論(1)若函數y＝f(x＋a)為偶函數，則函數y＝f(x)關于x＝a對稱．若函數y＝f(x＋a)為奇函數，則函數y＝f(x)關于點(a,0)對稱．(2)若f(x)＝f(2a－x)，則函數f(x)關于x＝a對稱；若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數f(x)關于點(a，b)對稱．

必明易錯1．判斷函數的奇偶性時，易忽視判斷函數定義域是否關于原點對稱．定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的一個必要條件．2．判斷函數f(x)的奇偶性時，必須對定義域內的每一個x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)，而不能說存在x0使f(－x0)＝－f(x0)或f(－x0)＝f(x0)．3．判定分段函數的奇偶性時，誤用函數在定義域某一區間上不是奇偶函數去否定函數在整個定義域上的奇偶性．解析：∵f(x)是R上的奇函數，∴f(－1)＝－f(1)．又∵f(1)＝12＋1＝2，∴f(－1)＝－2.AB3．(易錯題)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)＝x2＋4x－3，則函數f(x)的解析式為f(x)＝________________.知識點二函數的周期性(1)周期函數對于函數y＝f(x)，如果存在一個非零常數T，使得當x取定義域內的任何值時，都有

，那么就稱函數y＝f(x)為周期函數，稱T為這個函數的周期．(2)最小正周期如果在周期函數f(x)的所有周期中

的正數，那么這個

就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)存在一個最小最小正數2．對稱性與周期的關系(1)若函數f(x)的圖象關于直線x＝a和直線x＝b對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|a－b|是它的一個周期．(2)若函數f(x)的圖象關于點(a,0)和點(b,0)對稱，則函數f(x)必為周期函數，2|a－b|是它的一個周期．(3)若函數f(x)的圖象關于點(a,0)和直線x＝b對稱，則函數f(x)必為周期函數，4|a－b|是它的一個周期.解析：由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函數f(x)是周期為4的周期函數，所以f(2019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.D答案：1AB1.判斷函數奇偶性的兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱，這是函數具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系．在判斷奇偶性的運算中，可以將問題轉化為f(x)＋f(－x)＝0(奇函數)或f(x)－f(－x)＝0(偶函數)是否成立．2．設定義在R上的函數f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，則f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝________.解析：因為f(x＋2)＝f(x)，所以函數f(x)的周期T＝2，因為當x∈[0,2)時，f(x)＝2x－x2，所以f(0)＝0，f(1)＝1，所以f(0)＝f(2)＝f(4)＝…＝f(2018)＝0，f(1)＝f(3)＝f(5)＝…＝f(2019)＝1.故f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝1010.答案：1010

函數周期性的判定與應用(1)判定：判斷函數的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T.(2)應用：根據函數的周期性，可以由函數局部的性質得到函數的整體性質，在解決具體問題時，要注意結論：若T是函數的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數的周期．函數的奇偶性、周期性以及單調性是函數的三大性質，在高考中常常將它們綜合在一起命題，其中奇偶性多與單調性相結合，而周期性常與抽象函數相結合，并以結合奇偶性求函數值為主．多以選擇題、填空題形式出現．常見的命題角度有：(1)單調性與奇偶性結合；(2)周期性與奇偶性結合；(3)單調性、奇偶性與周期性結合.A法二：同法一得f(x)是奇函數．又f′(x)＝(x3－x－3)′＝3x2＋3x－4＞0，所以f(x)在(0，＋∞)單調遞增．1.利用偶函數在關于原點對稱的區間上單調性相反、奇函數在關于原點對稱的區間上單調性相同，實現不等式的等價轉化．2．注意偶函數的性質f(x)＝f(|x|)的應用．考法(二)周期性與奇偶性的綜合問題[例2]

(2021·龍巖模擬)設函數f(x)是定義在R上的奇函數，滿足f(x＋1)＝－f(x－1)，若f(－1)＞1，f(5)＝a2－2a－4，則實數a的取值范圍是(

)A．(－1,3)

B．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)A[解析]由f(x＋1)＝－f(x－1)，可得f(x＋2)＝－f(x)，則f(x＋4)＝f(x)，故函數f(x)的周期為4，則f(5)＝f(1)＝a2－2a－4，又因為f(x)是定義在R上的奇函數，f(－1)＞1，所以f(1)＜－1，所以a2－2a－4＜－1，解得－1＜a＜3.此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解.對于與函數性質結合的題目，函數的周期性有時需要通過函數的奇偶性得到，函數的奇偶性體現的是一種對稱關系，而函數的單調性體現的是函數值隨自變量變化而變化的規律.因此在解題時，往往需要借助函數的奇偶性和周期性來確定另一區間上的單調性，即實現區間的轉換，再利用單調性解決相關問題.B2．已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函數，則(

)A．f(－25)＜f(11)＜f(80)B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25)D．f(－25)＜f(80)＜f(11)D解析：因為f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函數f(x)是以8為周期的周期函數，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因為f(x)在區間[0,2]上是增函數，f(x)在R上是奇函數，所以f(x)在區間[－2,2]上是增函數，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．3．已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________.解析：法一：因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以函數f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．因為f(x)是奇函數，所以函數f(x)的圖象關于坐標原點(0,0)中心對稱．數形結合可知函數f(x)是以4為周期的周期函數．因為f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數，所以f(0)＝0.因為f(1－x)＝f(1＋x)，所以當x＝1時，f(2)＝f(0)＝0；當x＝2時，f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2；當x＝3時，f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0.綜上，可得f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.答案：2

函數奇偶性、周期性應用中的核心素養(一)邏輯推理、數學運算——奇偶函數的二級結論及應用結論一：若函數f(x)是奇函數，且g(x)＝f(x)＋c，則必有g(－x)＋g(x)＝2c.結論二：若函數f(x)是奇函數，則函數g(x)＝f(x－a)＋h的圖象關于點(a，h)對稱．結論三：若函數f(x)為偶函數，則f(x)＝