復數數系擴充問題研究 2 2 2 32數域的擴張 42.1數的理論擴充 42.2實數域 2.3實數到復數 3復數 93.1復數的四則運算 93.2復數域 4復數的其它表達形式 4.1復數的三角表達式 14.2復數的指數表達式 15復數的應用舉例 5.1利用復數簡化問題 6四元數 摘要：數的產生方便了我們的生活，古往今來，數不斷的在擴經從整數擴充到了復數.本篇文章就關于復數域的擴張進行研究和論述.采用文獻綜述法與分析法從復數產生的歷史背景，數系擴充的條件，從實數域出發(fā)闡述復數域是如何從實關鍵詞：數域；域的擴張；復數域復數域的擴充是一個漫長而復雜的過程，起初人類為了記錄物體的數量而產生了數，目前數的發(fā)展歷經了自然數，整數，有理數，實數再到復數這幾個過程，而在近代開始慢慢產生數域的理論，目前所學的數域包括有理數域，實數域和復數域.那么本文在參考借鑒他人的經驗基礎上，以及查閱相關文獻資料后詳細闡述復數域的擴充.1.1選題背景角度把實數作為一個整體來考慮也沒有啟用抽象的公里定義它，更沒有形成域的概念.域的具體概念在19世紀末開始形成，歷史上數域的發(fā)展過程對數學這一學科產生了十分重數的產生反駁了萬物公比的理論.然而隨著時代的進步，產生新的數不單單只是為了服務于人類，比如復數的產生.域是在群和環(huán)的基礎上提出來的.對于四則運算封閉的數的集合1.2研究的問題本研究以數系的擴充歷史以及數域的擴張為前提進行復數域史的擴張分析研究.其中主要研究復數域在實數域上的擴張以下介紹的群、環(huán)、域都是滿足運算封閉的.定義非空集合G的代數運算。滿足以下條件：則稱G對這個代數運算作成一個群如果對群G的任意兩個元素a,b均有3、乘法對加法滿足左右分配律則稱R對這兩個代數運算作成一個環(huán).如果環(huán)的乘法滿足交換律，即對任意的元素a,b都有則稱該環(huán)為交換環(huán).定義設R是一個環(huán)，如果|R|>1,又R有單位元且每個非零元都有逆元，則稱R是要弄清楚域的擴張首先我們得搞明白數的擴張.縱觀歷史，我把數系的擴充分為了四有理數數到實數的擴充，引入了無理數，解決了除不盡的問題.第擴充，引入了虛數，解決了在實數域上二次方程沒有根的問題41.每算帶來了新的生機和挑戰(zhàn).那么下面我們一起來討論一下數域是怎么擴張的?2.1數的理論擴充后指出新數系的某一個子集與以前的數系是同構的7.從一個數系A擴充到另一個數系B,應當遵循以下原則：(2)在B上建立各種運算，A的元素間所定義的運算在B中是一致的.(3)B結構和A的結構可能有本質不同.也就是說A中不是所有運算都能運行，但在B中卻可以進行.(4)在A的具有上述三個性質的所有擴充.在同構意義下的是最小唯一擴.數系的每一次擴充解決了原數系的某些矛盾，從而適用范圍擴大了，但每一次擴充也失去了一些性質，如實數域中有順序性在復數域失去了.2.1.2有理數到實數在今天的教學中，負數的引入就是通過算術的方法來引入的，通常是一個較小的數字減去一個較大的數字，就可以得到一個負數.負數的引入解決了不夠減的問題.如今也廣泛得應用到人們的生活中比如溫度，水位，盈虧等等.2.2實數到復數從實數到復數的擴充并不是一蹴而就的，在初中階段學習一元二次方程時就會遇到某些方程如：x2+1=0在實數范圍內無解，此時符合該方程的判別式小于零.為了解決這類特殊方程無解的情形，由此引入了虛數i,并將實數進行擴充到復數，這也是數集的一次巨大飛躍.上面提到的方程x2+1=0的解可以表示為x=±√-1,而在初中階段學習二次根式時，被開方數不能為負數，所以√-1在實數內是不符合條件的.此時必須要引入新的數.接下來科學家們就開始考慮有沒有一個數是的它的平方等于-1,經過長久的發(fā)現，終于找到i,且令i2=-1所以x2+1=0的解就可以表示為x=±i.一些方程的解不能在實數集上表示.就此就引入了虛數單位.把a與i相加就得到a+i,把b與i相乘得到bi,把a和bi相加就得到a+bi,于是所有的復數寫成z=a+bi(詳細證明過程在下文),把所有復數集中在一起，寫作：的解.2.3復數域復數域的定義有異于域的定義.如果能證明實數是復數的一個子集，實數與復數是同構的，就可以說復數對于加法和乘法做成一個域.②數對的加法(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d);③數對的乘法(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).定義1全體有序實數對的集合C。關于上述加法和乘法構成一個域.分析若需證明集合C。關于上述加法和乘法構成一個域.則需證明①加法的結合律；②加法的交換律；⑤乘法的結合律；⑥乘法的交換律；⑦乘法對加法的分配律；⑧乘法有單位元；⑨對C?的每一個非零元素，都有乘法逆元.證明以上的證明選擇一兩條證明，證明過程如下：②加法的交換律令α?=(a,b),α?=(c,d)……因為a,b,c,d∈R,所以a+c=c+a,b+d=d+b即③加法有零元因為數對證明設φ:R?→R,φ:(a,0)→a即有φ[(a,O)+(b,O)]=φ(a,O所以有R?與R同構.設R?是C?中所有形如(a,0)的實數對作成的集合.所以φ是R?到R上的一個同構映射.所以φ是C。到C的——映射.其中所以是具有兩種代數運算(加法和乘法)的集合7.集合C關于這樣定義的兩種運算與域C同構.所以C是一個域.做復數域.在上文我們提到i2=-1,那么到底是證明得來的呢?下面我們進行詳細的證明.-i=-(0,1)=(0,-1),按照上述法則(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)有；(-i)2=(-i)(-i)=(0,-1)(所以(-i)2=-1.綜上可得在上文提到的方程x2+1=0在C中的解就可以表示為我們C叫做復數域，那C中的數應該怎么表示呢?定理2在復數域C中，任意的一個數α都可以表示為α=a+bi的形式，且a,b∈R證明因為C與C?同構(CC?),所以，C?中的運算法則在C中也同樣適用.(a,b)=(a,O)+(0,b),(0,b即(a,b)=(a,0)+(0,b)=(a,所以i為虛數單位且i2=-1.叫做純虛數.復數x+yi和x-yi稱為互為共軛復數，即x+yi是x-yi的共軛復數，或x-yi是x+yi的共軛復數復數z的共軛復數3,常記為z,于是Z?+Z?=(a+bi)+(c+di)=(a+cZ?+Z?=Z?+Z?;(z1+z2)+z3=(Z?+z?)+Z3.Z?-Z?=(a+bi)-(c+di)=(a-c)乘法類似兩個多項式相乘，展開得：ac+adi+bci+bdi商.即復數最基本的表達式是z=a+bi,也叫做復數的代數式.但是除了最基本的表達式以4.1復數的三角表達式對于復數Z=a+bi有：所以我們定義：叫做復數的三角形式.當r=1時，這種復數稱為單位復數.4.2復數的指數表達式我們熟知的歐拉公式：而且可以驗證利用上一個公式可以改寫成z=rei?也就是說任意一個非零復數z都可以改寫成我們稱它為復數的指數形式，這里的argz不必取主值.5復數的應用舉例復數理論在數學家們的長期探索下，已經得到了發(fā)展.經過許多數學家長期不懈的努力，復數理論得到了深入的探索和發(fā)展，從而揭開了虛數的神秘面紗.虛數已經成為數系的一員，因而實數集已經擴展為復數集31.隨著時代的進步，復數理論變得重要.它不僅對數學本的發(fā)展具有重要意義，而且在簡化許多步驟.5.1利用復數簡化問題復數的發(fā)展已經有著越來越重要的地位，在數學問題，物理問題中都有著十分重要的作用，接下來主要講述一些關于復數簡化數學問題的例子：5.1.1復數在解析幾何中的應用復數在解析幾何中的應用廣泛，在這里僅以高三解析幾何試題的復數解法為例.在數學教學中復數和解何都是較為重要的內容，并且是學生學習數學知識過程中必須攻克的學習難點，對高中階段學生數學學習產生著重要的影響.在數學教學中加強.對復數的應用，能夠幫助學生學習和處理解析幾何方面的問題，為學生更好的學習高中數學知例1M為拋物線y=x2-2x+3上的一點，連接OM,作矩形OMNP,使|OP|=2|OM|,求動點P的軌跡.解設P,M對應的復數分別為x+yi與x'+y'i,則由向量OM與OP或OP′間接的關系有或或者即為動點P的軌跡方程.以上這題向我們很好的展示了復數在解析幾何中求解動點軌跡方程的作用，中學階段求解動點軌跡類問題都是比較復雜的，屬于難點問題，但是在復數中就能使得這類題型得到簡捷明了的解決.例2設z?,Z?,z?滿足條件z+Z?+Z?=0,|z|=|z?|=|z3|=1試證z,Z?,z?時一個內接于單位圓周的|z|=1的正三角形頂點.證明由題意可知，點z,Z2?,z?在單位圓|z|=1上，要想證z,Z?,Z?是一個內接于單位圓=ZZ?+Z?Z?+Z1Z?+Z?Z?=|212+|z?2+(z?Z?+Z?Z=zZ+Z?Z?-z?z?-Z?Z?=|2|2+|就拿這道題來說，把復數類似于向量來解決問題是非常新穎的方法，同時也使得這種證明題有了更多的解題思路.5.1.2共軛思想在解題中的應用高中階段我們所學的共軛復數是形如a+bi與a-bi這樣的，它對于解決復數的部分題型具有十分簡潔的作用，使得解題步驟得到簡化.以下面這道題為例.證明對于任意的復數z,由|z2=zz可知：z+z?2+|z-z?2=(z?+Z?)(Z?+=(Z?Z+Z?Z?+z?Z?+z?Z)+(z?Z?從這道題中可以明顯看出，共軛思想對于這種題型所起的簡化作用是非常明顯的，從z+z?2+|z-z?l2=2(z?2+lz?2)中簡化了中間的推導過程，學生只需要記住該公式就可以直接運用它來解決其他問題.四元數是一種新型的數，它是復數的推廣.下面介紹四元數的產生與定義.哈密頓認為，復數a+bi視為平面上的一個向量或一個點，那么就可以把復數從二維(平面推廣到三維(空間)或更高維空間，并依然具有復數的基本他考慮了形如的數，其中a,b,c為實數，i為復數中的單位虛數，而J為個與i不同的數，但同樣有(a?+b?i+c?j)±(a?+b?i+c?j)=(a?±a?)使得無法實現除法，即不能確定兩個數的商.于是哈密頓放棄了有關“三維復數”的研究，而轉為考慮“四維復數”a+bi+cj+dk定義這種數的加法與減法是容易的，與復數或前面三維情況類似接下來定義乘法.要定義乘法，首先就需要對數i,j,k相乘的積作出規(guī)定：為了解釋四元數的定義，先來解釋哈密頓的乘法公式①②在②式的左右兩邊各乘以一個k,則得到但另一方面于是得到對此兩端各乘以J有再對兩端各乘以i,可以的得到這是哈密頓為了把復數推廣到四維空間而不得不做出的“犧牲”,事實上，如果仍然j=-ji=kjk=-kj=i,ki=-ik=j③這樣由①式和②式推導出了③式.現在用乘法法則①式和③式來定義四元數的乘法=aa-bb′-cc'-dd'+(ab'+a'b+cd'-c'd)i+(ac+a'c+b'd-bd'這就是說，兩個這樣的數相乘的乘積仍然式一個這樣的數了規(guī)則①式和③式進行轉換.四元數加減的定義與向量完全相似=(a?±a?)+(b?±b?)i+(c?±c?)j+可以看出，四元數對加法交換律成立：對加法與乘法成立結合律：四元數滿足分配律：在這些規(guī)律中，四元數與實數和復數的情況是一致的，但是在乘法中，四元數失去了交換律，在兩個四元數相乘時一定要注意左右順序：一般來說9192,9?91不相等，兩個相等需要滿足一定的條件.四元數的發(fā)現具有重要意義.四元數是歷史上發(fā)現的第一個乘法不能交換而除法可以做的數系.在現代數學語言中，四元數在實數域上形成一個四維線性空間的代數，是第一個被發(fā)現的非交換可除代數.[5]徐傳勝周厚春.《數學史講義概要》.[6]楊子胥.《近世代數》第三版.[9]韓嘯.若干重要定理在復數域中的推廣[J].科學大眾(科學教育),2016(12):152.[10]胡江，王玉.復數域上微分中值定理新證[J].高等數學研究，2008(04):71-73.[11]張彬.APOS理論下的“數系的擴充與復數的引入”教學研究[D].揚州大學，2019.[12]鄒慧群.《把實數擴充到復數以后》的兩點補充[J].天津教育，1981(07):24-26.[13]沈伯英.復數域之結構及其擴張[J].中學教研，1989(08):32-36.[14]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