/貴州省凱里市第一中學2025屆高三模擬考試數學試卷（Ⅲ）一、單選題1．已知復數z滿足，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則（

）A． B．C． D．3．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．4．在人工智能芯片的性能測試中，若芯片處理數據的錯誤率E與芯片的運算速度v（單位：）滿足函數關系，則當芯片處理數據的運算速度為時，芯片處理數據的錯誤率約為（參考數據：）（

）A． B． C． D．5．已知，則（

）A． B． C． D．6．已知點P是雙曲線上第一象限的點，C的左、右焦點分別為，若是面積為的等邊三角形（O為坐標原點），則直線的方程是（

）A． B．C． D．7．某禮品盒生產廠設計了一款如圖所示的八面體形禮品包裝盒，該八面體是由正四面體在4個頂點處分別截去一個棱長為的小正四面體而得到的．已知該禮品包裝盒的高度為，若不考慮包裝盒材料的厚度，則該禮品包裝盒的體積為（

）A． B．C． D．8．如圖，在梯形中，，P是外接圓上的動點，則的最大值為（

）

A． B． C． D．9．2025年熱播的國產動畫電影《哪吒2之魔童鬧海》自1月29日在國內首映以來連破票房記錄，于3月15日進入全球電影票房榜第五位．它不僅在技術上實現了中國動畫電影的突破，更在主題上蘊含了豐富的社會寓意．影片通過對經典神話故事的重新解讀，探討了命運、偏見與人性的復雜議題，同時也反映了中國當代社會的價值觀念和文化自信，推動了中國傳統文化的傳承與創新．現摘取2月4日至2月7日的統計數據如下：日期2月4日2月5日2月6日2月7日首映日起第x天78910單日觀影人次y（億人次）單日綜合票房z（億元）則下列說法正確的是（

）A．從表中數據看，累計綜合票房增長放緩B．x與y負相關C．y與z負相關D．經計算，這四天中y與z的經驗回歸方程為，則二、多選題10．在銳角中，角所對的邊分別為，已知的角平分線交于點D，，則（

）A．B．若，則C．面積的最大值為D．若，則11．如圖，已知圓錐的頂點為P，底面圓為O，A，B為底面圓周上的點，，M是底面圓周上異于A，B的動點，已知圓錐的母線長為，側面積為，則（

）A．的面積為B．若以O為球心的球與平切，則球的半徑為C．存在點M，使得D．存在點M，使得平面平面三、填空題12．從0,2中選一個數字,從1,3,5中選兩個數字,組成無重復數字的三位數,其中奇數的個數為．13．直線與圓交于兩點，若的最大值為4，則的最小值為．14．已知函數，若對任意且，不等式恒成立，則實數a的最大值為．四、解答題15．已知等差數列的前n項和為，等比數列的首項為2，且，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項的和．16．設函數．（1）若，試求函數的極值；（2）設，討論的單調性．17．春節是中華民族的傳統節日，每逢春節來臨前，各地均舉行豐富多彩的“趕年貨大集”活動．某商戶為了促銷，在活動最后幾天決定對所有未售出商品“八折”銷售，對購買者在付款前還增設了先抽獎后付款獎勵．商戶在抽獎箱中放入質地完全相同的個紅球和個黃球（），規則規定：購買者從箱中1次抽出2個小球，若抽中1個紅球和1個黃球，則給予“折上折”付款獎勵，即再打一次“八折”，否則按原定“八折”付款．每位購買者只抽一次，抽后小球要放回，下一位購買者再抽．（1）當時，若3位購買者中有X位獲得“折上折”付款獎勵，求X的分布列與數學期望；（2）某購買者在抽獎前對商戶說：“你先抽出1個小球后我再按上述規則抽取，如何？”．請你幫商戶分析是否同意購買者的要求，說明你的理由．18．如圖甲所示，在平面四邊形中，為等腰直角三角形，，為正三角形，E，F分別為中點，連接分別交于點O，G．將四邊形沿向上翻折（如圖乙所示），使得平面平面，二面角的大小為．（1）證明：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．19．已知拋物線的焦點為F，且為E上三個不同的點，．（1）求拋物線E的方程；（2）若直線的斜率之積為，證明：直線過定點；（3）若直線的斜率之和為0，且，求面積的最大值．

答案1．【正確答案】A【詳解】已知,則.故選:A.2．【正確答案】C【詳解】由可得，所以，則.故選C.3．【正確答案】D【詳解】由全稱量詞命題的否定可知，命題的否定是，故選D4．【正確答案】B【詳解】當，則.故選B5．【正確答案】C【詳解】因為，可得，化簡可得，同理可得，兩式相加得，計算得.故選C.6．【正確答案】B【詳解】設焦點，，解得，可知，在中，根據勾股定理，所以，，可得直線方程為，化簡得.故選B.7．【正確答案】D【詳解】如圖，將八面體補全為正四面體，設棱長為，底面中心為，則，，因為截下的小正四面體棱長為，所以小正四面體的高為,所以正四面體的高為，即，故，所以正四面體的體積為，小正四面體的體積為，所以包裝盒的體積為.故選D.8．【正確答案】B【詳解】如圖所示，過做,過做,

根據已知條件可知,設,在和中列出勾股定理方程，解出,可得，則，

如圖,作外接圓,圓心為，設,在和中，可得方程，解得,可知圓心就在上，為EF的中點

連接,可知，所以,據題意可知，,,當，即同向時，最大值為.故選B.9．【正確答案】ABD【詳解】根據表格數據A,B正確，C錯誤.，.代入回歸方程得，解得.故選擇:ABD.10．【正確答案】BCD【詳解】已知，則且，所以，所以由正弦定理得，所以且，所以，A選項錯誤；若，則，則，B選項正確；由余弦定理得，即，所以，，當且僅當時等號成立，所以面積的最大值為，C選項正確；若，由余弦定理得，所以，又因為的角平分線交于點D，所以，所以，所以，則，D選項正確.故選BCD.11．【正確答案】ACD【詳解】，∵，∴為等邊三角形，∴，又，所以，故A正確；以O為球心的球與平切，則球的半徑即是點O到平面的距離，，故B錯誤；在圓錐中兩母線所成角最大，，此時為鈍角，故存在點M，使得，即C正確；對于D，如圖，取的中點為，連接，過作，垂足為，因為平面，平面，故，而平面，故平面，而平面，故，而平面，故平面，而平面，故，故為二面角的平面角，而，故，故，故由對稱性可得存在點M，使得平面平面，故D正確.故選ACD.12．【正確答案】18【詳解】試題分析：分類討論：從0、2中選一個數字0，則0只能排在十位；從0、2中選一個數字2，則2排在十位或百位，由此可得結論．解：從0、2中選一個數字0，則0只能排在十位，從1、3、5中選兩個數字排在個位與百位，共有=6種；從0、2中選一個數字2，則2排在十位，從1、3、5中選兩個數字排在個位與百位，共有=6種；2排在百位，從1、3、5中選兩個數字排在個位與十位，共有=6種；故共有3=18種，故答案為18．考點：計數原理點評：本題考查計數原理的運用，考查分類討論的數學思想，正確分類是關鍵13．【正確答案】【詳解】因為直線與圓交于兩點，所以當的值最大時，其為圓的直徑，而的最大值為4，得到，則圓的方程為，設圓心到直線的距離為，如圖，記圓心，直線必過定點，由圓的性質得，當時，最大，此時的值最小，由斜率公式得，此時，由題意得，則，由點到直線的距離公式得，由勾股定理得，解得，綜上可得的最小值為.14．【正確答案】【詳解】不妨令，依題意，，，令，則，，函數在上單調遞增，因此，恒成立，令函數，求導得，當時，；當時，，函數在上單調遞減，在上單調遞增，，因此，所以實數a的最大值為.15．【正確答案】（1）,（2）【詳解】（1）設等差數列公差為,根據題意得,解得所以,可知,設等比數列的公比為,帶入得,解得,可知.（2）有第一問可知,,則.分組得計算,計算則.16．【正確答案】（1）的極大值為，無極小值（2）當時，的單調減區間為，無增區間；當時，的單調增區間為，單調減區間為【詳解】（1）當時，，函數的定義域為，所以，令有，由有，有，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以的極大值為，無極小值；（2）由，所以的定義域為，所以，令，當時，，，所以在單調遞減；當時，令有，，所以，所以由有，，有，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以的單調增區間為，單調減區間為；綜上有：當時，的單調減區間為，無增區間；當時，的單調增區間為，單調減區間為.17．【正確答案】（1）分布列見解析；（2）可以同意購買者的要求；理由見解析【詳解】（1）由題意得當時，共有個球，從個球里抽取個，共有種情況，抽取1個紅球和1個黃球則有種等可能情況，則1次抽獎獲得“折上折”付款獎勵的概率為，若3位購買者中有位獲得“折上折”付款獎勵，則，由二項分布概率公式得，，，，則的分布列為由二項分布的期望公式得.（2）首先，我們設按照原規則獲得“折上折”付款獎勵的概率為，按照新規則獲得“折上折”付款獎勵的概率為，按照原規則，，按照新規則，若先抽出個紅球，則獲得“折上折”付款獎勵的概率如下，為，若先抽出個黃球，則獲得“折上折”付款獎勵的概率如下，為，由古典概型概率公式得抽出個紅球的概率為，同理可得抽出個黃球的概率為，結合全概率公式可得，，，得到，故商戶可以同意購買者的要求.18．【正確答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）證明：在平面四邊形中，因為為正三角形，所以，因為，，所以≌，所以，因為，所以，為的中點，因為E，F分別為中點，所以∥，所以，所以將四邊形沿向上翻折后，，因為∥，所以，因為，平面，所以平面；（2）因為在平面四邊形中，為等腰直角三角形，，所以，因為為正三角形，為的中點，所以，，因為為的中位線，，所以，由（1）知，所以為二面角的平面角，所以，因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，因為平面，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，因為，所以，因為，所以，所以，設平面的法向量為，則，令，可得，則為平面的一個法向量，設平面的法向量為，則，令，則，則為平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，則，所以平面與平面所成角的余弦值為.19．【正確答案】（1）（2