/廣東省和美聯盟2024?2025學年高一下學期5月聯考數學試題一、單選題1．下列向量中與共線的是（

）A． B．C． D．2．設是虛數單位，則復數在復平面內所對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3．設、是不共線的兩個非零向量，則下列四組向量不能作為基底的是（

）A．和 B．與C．與 D．與4．如圖，是的斜二測直觀圖，其中為正三角形，，則的面積是（）A． B． C．2 D．5．如圖，在△ABC中，，P是線段BN上的一點，若，則實數m等于（

）A． B．C． D．6．已知向量，向量在方向上的投影向量為，則=（

）A． B． C． D．7．一海輪從A處出發，以每小時40海里的速度沿南偏東的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東，那么B，C兩點間的距離是（

）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里8．窗花是貼在窗戶玻璃上的貼紙，它是中國古老的傳統民間藝術之一在2022年虎年新春來臨之際，人們設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如圖1）.已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖2），若為的中點，則（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．圓錐被一個平行于底面的平面截去頂部的小圓錐后，剩余部分是圓臺B．有兩個面互相平行，其余各面是平行四邊形的幾何體是棱柱C．圓柱的母線與它的軸可以不平行D．一個多面體至少有4個側面10．已知函數，下列說法正確的是（）A．B．函數的圖象關于點中心對稱C．將的圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象D．函數在區間上單調遞增11．已知復數，其中為虛數單位，在復平面內對應的點為，則下列說法正確的是（

）A．當時，為純虛數B．滿足的點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓C．的虛部為D．若且復數是方程的一個根，則方程的另一個復數根為三、填空題12．若，，則.13．在斜三棱柱中，連接、與，記三棱錐的體積大小為3，三棱柱的體積大小為．14．已知向量，夾角為，，若對任意，恒有，則函數的最小值為．四、解答題15．已知，，，且.（1）求實數的值；（2）若，求實數的值.16．如圖，在直角梯形中，，，，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周所形成的面圍成一個幾何體.

（1）求該幾何體的表面積；（2）一只螞蟻在形成的幾何體上從點A繞著幾何體的側面爬行一周回到點A，求螞蟻爬行的最短距離.17．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）求角的大小；（2）若，的面積為，求的周長．18．已知函數已知.（1）求函數的周期、對稱軸、對稱中心;（2）求在上的單調區間與最值；（3）若對，不等式恒成立，試求的取值范圍.19．在中，，，對應的邊分別為，，，（1）求；（2）若為線段內一點，且，求線段的長；（3）法國著名科學家柯西在數學領域有非常高的造詣；很多數學的定理和公式都以他的名字來命名，如對于任意的，都有被稱為柯西不等式；在（1）的條件下，若，求：的最小值；

答案1．【正確答案】C【詳解】因為，由共線向量定理可知向量與共線.故選C.2．【正確答案】B【詳解】由題意知，，所以在復平面內所對應的點為，位于第二象限.故選B.3．【正確答案】C【詳解】、是不共線的兩個非零向量，對于A，和中，，和不共線，可作基底，A不是；對于B，與中，，與不共線，可作基底，B不是；對于C，與中，，與共線，不能作基底，C是；對于D，與中，，與不共線，可作基底，D不是.故選C4．【正確答案】D【詳解】在直觀圖中，，在三角形中，過點作⊥于點，則，，故，還原直觀圖得原圖如下，，由得，所以的面積為.故選D5．【正確答案】D【詳解】因為，所以，則，因為P、B、N三點共線，所以，解得.故選D．6．【正確答案】C【詳解】由題意.故選C7．【正確答案】C【詳解】解：如圖，作出，由題意可知，海里，，則，因為，所以海里，即B，C兩點間的距離是海里.故選C.8．【正確答案】B【詳解】依題意得，，，，所以，，所以．故選B．9．【正確答案】BCD【詳解】對于A，圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺，故選項A正確；對于B，滿足條件的幾何體可能是組合體，故B錯誤；對于C：圓柱的母線與它的軸平行，故C錯誤；對于D，三棱錐為多面體，但只有3個側面，所以D錯誤．故選BCD．10．【正確答案】ABC【詳解】對于A，,所以A正確；對于B，因為，所以函數的圖象關于點中心對稱，故B正確；對于C，將的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象，故C正確；對于D中，因為，所以，所以在上不單調，故D錯誤.故選ABC.11．【正確答案】BD【詳解】對于A，當時，則不為純虛數，故A錯誤；對于B，即到原點距離為2的點構成，故點的集合是以原點為圓心，以2為半徑的圓，故B正確；對于C，的虛部為，故C錯誤；對于D，，且復數是方程的一個根，則方程的另一個復數根是其中一個根的共軛復數，為，故D正確.故選BD.12．【正確答案】/【詳解】因為，則，所以，因此．13．【正確答案】9【詳解】設斜三棱柱的高為h，，斜三棱柱的體積為，所以，易知，所以，又三棱錐的體積大小為3，所以，所以，即三棱柱的體積大小為9.14．【正確答案】/【詳解】∵，∴，整理可得，∵對任意，上式恒成立，∴；由題意知，∴，∴．∴．15．【正確答案】（1）；（2）.【詳解】解：因為，，，所以，（1）因為.所以，即，解得；（2）因為，，又，所以，即，解得.16．【正確答案】（1）（2）6.【詳解】（1）如圖所示，滿足題意的直角梯形，以邊所在的直線為軸，其余三邊旋轉一周，形成一個上底面半徑為，下底面半徑，母線長的圓臺，其表面積為.

（2）將圓臺的側面沿母線展開，得到如圖所示的一個扇環，

因為圓臺上下底面半徑的關系為，所以，，又∵，∴，∴，設，則的弧長，解得，連接，為等邊三角形，∴所以螞蟻從點A繞著圓臺的側面爬行一周，回到點A的最短路徑即為線段，所以螞蟻爬行的最短距離為6.17．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，，，．（2）由得，由余弦定理得得，，，的周長為．18．【正確答案】（1）;對稱軸為：;對稱中心為：；（2）上單調遞增，上單調遞減；最大值3，最小值；（3）.【詳解】（1），所以，，所以對稱軸為：，，所以對稱中心為.（2），，所以上單調遞增，上單調遞減，所以上單調遞增，上單調遞減，，，，所以；（3），而恒成立，所以，當取得最大值3時，，所以.19．【正確答案】（1）（2）（3）48【詳解】（1）因為所以，由正弦定理，

所以即：，又，所以；（2）