年中考數學真題完全解讀（江蘇連云港卷）本套試卷屬于2025年江蘇省連云港市的中考數學試題，整體結構與往年相比既保持了穩定性，又有所創新。全卷分為三個大題，分別為選擇題8題、填空題8題、解答題11題，共計27題，總分150分，考試時間為120分鐘。題型涵蓋了基礎知識運用、綜合能力考查以及實踐與探索等多種層次，符合《義務教育數學課程標準》中對初中畢業生數學素養與能力的綜合要求。本卷在題型設置和題量安排上，與連云港市以往中考試題大體一致：第Ⅰ大題選擇題數量適中，考查范圍包括數與代數、函數與方程、圖形與幾何基礎知識；第Ⅱ大題填空題強調對關鍵概念和運算技能的掌握，比如涉及到合并同類項、因式分解的簡單應用、反比例函數和二次函數的實際應用、勾股定理的實際應用、圓中弧長問題、幾何的最值問題等，第Ⅲ解答題主要涉及到實數的綜合計算、不等式組的計算與實際應用、概率與統計綜合，函數的圖像與性質、幾何（如三角形、四邊形、圓等）的核心內容，并與實際生活場景相結合，充分體現數學應用價值。從難度分布來看，本卷遵循“易、中、難”相結合的原則，約30%的試題難度較低，適合基礎水平學生掌握；約50%的試題難度為中等，要求學生對基礎知識靈活運用；剩余約20%結合本地區學情與教情，該試卷在考查形式上側重基礎知識夠用與數學思維拓展并舉，針對重點概念（如三角形判定、二次函數開口方向、正方形與矩形性質等）反復考量，注重學生運算能力與邏輯推理能力的培養；同時，透過統計與概率、實際應用題等試題形式，引導學生關注數學生活化與實踐性，契合課程改革中“基于真實情境，提高綜合素養”的理念。總體而言，本卷緊扣課程標準對“知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀”的要求，覆蓋面廣而重點突出，難度梯度合理，能有效檢驗學生對初中數學知識的掌握與思維品。對于今后教學而言，該試卷既能為教師診斷學情、調整教學策略提供參考，也能為學生查漏補缺、全面提升數學素養指明方向。與2024年相比，2025年整體題型（選擇、填空、解答三大類）與題量均保持不變：選擇題8題、填空題8題、解答題11題。表面上題型結構未變，但在出題側重與命題方式上有所調整。命題更注重將數學知識與現實情境、學科前沿融合，材料選自科技探索如“嫦娥5號”、古代數學典籍等，題目背景更豐富，考查學生運用數學方法解決實際問題的能力。多個解答題綜合數形結合、函數思想及幾何圖形性質，知識點覆蓋的深度與廣度更高，鼓勵學生多角度思考。在保留基礎運算、幾何推理等傳統穩定考點的同時，新增對數據信息抽象、科學記數法應用、函數模型構建等能力的考查。對學生的閱讀理解、邏輯推理及語言表達能力提出更高要求，如需要充分運用“相似”“對稱”“函數”等多種數學思想完成解題。通過上述變化可見，2025年的題目在保持原有題型與數量基礎上，打破簡單知識點分割，強調知識綜合與思想方法運用；學生需在高效掌握基礎的同時，更注重多元信息整合與靈活應用，提升綜合思維與深入探究的學習能力。本套試卷滿分共150分，分為三大題：?選擇題（第1～8題），共8小題，每題3分，總計24分；?填空題（第9～16題），共8小題，每題3分，總計24分；?解答題（第17～27題），共11小題，總計102分。整體來看，試卷覆蓋初中數學中的數與代數、函數與方程、空間與圖形、統計與概率等核心板塊，題目形式包括選擇、填空與綜合解答，注重對學生基礎運算、幾何推理、函數應用、數據分析等綜合能力的考查。下面的表格按照題號順序，列出每道題的分值、題型、考查內容以及難易分析。請注意，表中“難度”劃分為“容易”“中等”“較難”“難”四個層次，以便更直觀地了解試題的分布。題號分值題型考查內容難易分析13選擇題絕對值容易23選擇題科學記數法容易33選擇題二次根式中取值范圍容易43選擇題三角形三邊關系容易53選擇題線段垂直平分線性質中等63選擇題相遇問題（一元一次方程應用）容易73選擇題正比例函數與反比例函數的圖像與不等式中等83選擇題含30°中等93填空題整式加減（合并同類項）容易103填空題因式分解（平方差公式）容易113填空題平行線性質、鄰補角容易123填空題直角三角形中的勾股定理容易133填空題圓周角定理與弧長計算中等143填空題反比例函數及其應用中等153填空題二次函數（拋物線）應用中等163填空題菱形與平行四邊形中的最值問題中等176解答題實數運算（混合運算、零指數冪等）容易186解答題分式方程容易196解答題一元一次不等式組容易206解答題樹狀圖法求概率容易218解答題扇形統計圖、樣本估計總體中等2210解答題二元一次方程組與一次函數的應用中等2310解答題解直角三角形（航海方位應用）中等2410解答題二次函數圖像與x軸的交點問題中等2510解答題直角三角形拼接正方形、長方形（幾何綜合）較難2612解答題三角形外接圓、相似三角形、切線性質難2718解答題正方形綜合與實踐，幾何變換、最值問題難從題目數量統計來看，全卷共27小題（包含選擇8題，填空8題，解答11題）。其中難度情況可大致分為：?容易題：約14題（占比約52%）?中等題：約10題（占比約37%）?較難/難題：約3題（占比約11%）從分值上看，容易題大多分散在選擇題和填空題前半部分、以及解答題的前幾道小題上；中等難度題主要集中在幾何性質、函數應用和統計類問題；最后2～3道綜合題（如第26、27題）難度較大，通常作為拉分題。①容易題（如第1題、第6題、或第18題）這類題往往直接考查基礎概念或基本運算技能，涉及到的知識點相對單一，解題過程較為直接。例如，第1題考查絕對值概念，第6題涉及簡單的相遇應用題，學生只要熟練掌握對應公式或性質，就能較快拿分。②中等題（如第5題、第21題、第24題）此類題型通常需要兩步以上的推理或運算，涉及到幾何與代數的結合或函數與統計的綜合。雖然仍屬于常規知識點，但對分析能力和識圖能力有更高要求。例如，第21題需要結合扇形統計圖計算或分析比例，還需要運用樣本推斷總體的思想；第24題則關注二次函數與直線或x軸的交點關系，體現函數思想與一元二次方程聯系。③較難/難題（如第25題、第26題、第27題）這幾道壓軸題往往融合了多個知識板塊，需要學生具備良好的邏輯推理能力與綜合運用能力。比如第27題結合了正方形、幾何變換、作圖及最值問題；第26題則需要將三角形外接圓、切線性質和相似幾何綜合在一起，解題需要較強的空間想象力與多步驟的嚴謹推證。這些題目較好地區分了不同程度的學生。本套試卷整體難易度分配合理，容易題和中等題占據了主要部分，確保大多數學生能在基礎和中檔題目上穩定得分；較難題和難題則設置在后面，拉開中高分差距，具有較強的區分度。學生要想在此類試卷中取得高分，需要既夯實基礎，又注重對綜合題型的思路訓練與方法熟練度。在本次“2025年江蘇省連云港市中考數學試題”中，試卷涵蓋了數與代數、幾何與測量、函數與方程、統計與概率等板塊，并通過多種題型（包括選擇題、填空題、解答題等）全面考查同學們對初中數學知識的綜合理解與運用能力。針對這些特點，結合學生在備考過程中常見的問題，現給出以下復習與備考建議，幫助大家扎實掌握重難點、提升解題技巧并保持良好心態。1.數與代數部分?重點關注整式運算、分式方程以及一元一次不等式組的解與應用。要繼續熟練掌握合并同類項、去分母、檢驗增根等基礎操作。例如，在解分式方程時，要牢牢記得乘去共同分母并檢驗分母不為零。?在學習科學記數法時，著重理解將原數轉化為a×?絕對值與相反數等有關概念，務必將數軸上“距離為非負”這一核心思想內化于心。通過數軸的直觀觀察可以避免錯把負號舍去后出錯。2.函數與方程部分?正比例函數與反比例函數的綜合考查較為常見，例如題目會給出兩個函數圖像相交于A、B兩點，要求比較函數大小或求交點坐標，需熟練掌握“數形結合”的思想。?對于拋物線y=ax?一元一次方程應用題中，“相遇問題”(如七日到、九日到)常見于古典數學背景，要弄清楚“速度×時間=路程”的要領，正確求解。3.幾何與測量部分?直角三角形中的30°、45°、60°特殊值是高頻考點。要熟悉若∠A=30?對線段垂直平分線、菱形與矩形、平行四邊形與三角形的綜合考查往往出現在較高分值的幾何題或壓軸題；要利用“相對運動”與“將軍飲馬”這類思想簡化幾何作圖和證明。?當該題型結合圓時，常使用圓周角定理、切線性質及相似三角形等理論來推導弧長、切線長度或相交點坐標等，須保證輔助線作法的嚴謹性。4.統計與概率部分?樹狀圖法或列表法是解決多次摸球、抽簽或擲硬幣問題的常用手段，關鍵在于把所有等可能結果列全。常見失誤是漏解或把不可能事件當作等可能事件處理。?審題時，先看清楚是“放回”還是“不放回”，概率會隨之發生變化。?對樣本估計總體的試題，要學會利用樣本頻數、頻率及扇形圖對總體進行推斷，這是中考統計題的常規考查方式。1.選擇題?嘗試“排除法”與“特值法”。遇到函數、方程或幾何題時，可選取特殊數值（如x=0、?可通過“估算”來判斷正確選項，如幾何題中邊長或角度若有明顯不等，可先排除范圍不合適的選項。2.填空題?對字母及數學符號，一定要保持準確和完整書寫。例如：若答案是2a，切勿誤寫成2a+?如果題目需要簡化，最后結果務必化到最簡形式，包括約分、展開與合并同類項等操作均不能草率。3.解答題?書寫步驟要符合“先寫已知條件，后寫推理步驟，再作結論”的邏輯順序。幾何證明題中，“邊、角、線段”關鍵定理要標注清楚，如“兩直線平行，內錯角相等”等。?若遇到涉及方程組或不等式組的綜合題，要有條理地給出每步推理，并在最后驗根，確保結論有效。?注意運算細節：對勾股定理、三角函數求值、扇形面積或圓弧長度計算時，千萬不要在數字運算上出差錯。可適度估算檢查是否合理。1.階段性復習規劃?第一階段（夯實基礎）：針對教材上的例題與考試常見考點逐一梳理，包括有理數計算、一次函數與不等式、相似三角形、圓周角定理、概率與統計等，再配合適量基礎題鞏固。?第二階段（綜合提升）：結合歷年的中考真題和本次模擬試卷，整合相似題型做專題訓練，如“函數與幾何融合”“統計與概率”等綜合創新題，提高對信息的提取與多步推理的掌握。?第三階段（模擬實戰）：限定時間做整卷模擬，感受考試節奏，培養緊張環境下完整作答的習慣；然后及時訂正與反思，梳理易錯題并“回爐”再練。2.心理調適與應考策略?在臨近考試前，注意勞逸結合，確保充足的睡眠時間。通過適度的體育鍛煉或興趣活動來釋放壓力；?考試時，先快速瀏覽整卷，合理分配時間：容易題先保證準確率，再處理難題；對一時卡殼的題可先跳過，完成其他題后再回來看。1.命題趨勢?近年中考數學試題更加強調對數學思想方法的考查，如數形結合、方程思想、分類討論和轉化思想等。?結合實際情境（如運動軌跡、生產生活中的數據統計、科學原理等）已成為常態，考題更注重閱讀理解與數學表達能力的融合。2.后續需重點關注的潛在考點?更綜合的幾何題：將平行四邊形、菱形、圓等圖形結合，考查學生的綜合推理與輔助線作圖能力；?統計與概率可能結合更真實的數據場景，涉及樣本估計與方差或極差等更深層次指標的討論。同學們在備考過程中，只要不斷“查漏補缺”，在做題時保持嚴謹推理，及時總結錯題并回顧考點，逐步熟悉各類題型的解題思路，中考數學的攻關就會更加順利。祝大家在接下來的復習中穩步前行、取得理想成績！2025年江蘇省連云港市中考數學試題數學試題一、選擇題（本大題共有8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應位置上）1.的絕對值是（）A.5 B. C. D.【答案】A【分析】本題考查絕對值的概念，根據絕對值的定義直接求解即可．絕對值表示一個數在數軸上到原點的距離，非負性是其核心性質．對于負數，其絕對值等于它的相反數．【詳解】解：，因此，的絕對值為5，故選：A．2.2020年12月17日，“嫦娥五號”返回器攜帶月球樣品順利返回地球，我國科學家通過研究證明了月球在年前仍存在巖漿活動．數據用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查了科學記數法．科學記數法的表示形式為的形式，其中，為整數．確定的值時，要看把原數變成時，小數點移動了多少位，的絕對值大于與小數點移動的位數相同．【詳解】解：故選：C．3.若在實數范圍內有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查的是二次根式有意義的條件，根據二次根式的定義，被開方數必須非負，即，解不等式即可確定x的取值范圍．【詳解】解：在實數范圍內有意義，∴，解得：，故選：D．4.下列長度（單位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（）A.1，2，3 B.2，3，4 C.3，5，8 D.4，5，10【答案】B【分析】本題考查的是三角形的三邊關系的應用，根據三角形三邊關系定理，任意兩邊之和必須大于第三邊．只需驗證每組數中較小的兩數之和是否大于最大數即可．【詳解】A．1、2、3：，不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意；B．2、3、4：，滿足條件，能構成三角形，符合題意；C．3、5、8：，不滿足兩邊之和大于第三邊，不符合題意；D．4、5、10：，不滿足條件，不符合題意；故選：B．5.如圖，在△ABC中，，垂直平分線分別交、于點D、E，的垂直平分線分別交、于點F、G，則的周長為（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質，由線段垂直平分線的性質可得，，再由三角形的周長公式計算即可得解，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解此題的關鍵．【詳解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴的周長為，故選：C．6.《九章算術》中有一個問題：“今有鳧起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今鳧雁俱起，問何日相逢?”（鳧：野鴨．所提問題即“野鴨與大雁從南海和北海同時起飛，經過多少天能夠相遇?”）如果設經過天能夠相遇，根據題意，得（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查的是一元一次方程的應用，屬于相遇問題，需根據兩者相向而行，相遇時路程之和為全程（即1），再建立方程即可.【詳解】解：設相遇時間為天，野鴨從南海到北海需7天，故其速度為（全程/天）；大雁從北海到南海需9天，故其速度為（全程/天），∴方程為，故選：A7.如圖，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像交于A、B兩點，點A的橫坐標為．當時，的取值范圍是（）A.或 B.或C或 D.或【答案】C【分析】本題考查由函數圖像解不等式，熟練掌握不等式與函數圖像的關系是解決問題的關鍵．根據不等式與函數圖像的關系，當時，的取值范圍是指反比例函數在一次函數上方圖像對應的的取值范圍，數形結合即可得到答案．【詳解】解：由圖可知，正比例函數的圖像與反比例函數的圖像相交于兩點，點的橫坐標為，∴點的橫坐標為，當或時，有反比例函數圖像在一次函數圖像上方，即當時，取值范圍是或，故選：C．8.如圖，在△ABC中，，，平分，，E為垂足，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查含30度角的直角三角形的性質，角平分線的性質，解直角三角形，設，根據含30度的直角三角形的性質，得到，根據角平分線的性質，結合同高三角形的面積比等于底邊比，得到，進而求出的長，勾股定理求出的長，等角的正弦值相等，得到，求出的長，進而求出的長即可．【詳解】解：∵，，∴，設，則：，∵平分，，∴點到的距離相等均為的長，，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，即：，∴，∴；故選：A．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分．不需要寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應位置上）9.計算：_______．【答案】2a【分析】根據合并同類項原理：系數相加減字母不變即可解題.【詳解】解：.【點睛】本題考查了整式的加減,屬于簡單題,熟悉合并同類項的原理是解題關鍵.10.分解因式：_______．【答案】【分析】本題考查了因式分解，運用平方差公式進行因式分解，即可作答．【詳解】解：，故答案為：．11.如圖，，直線與射線相交于點．若，則_______．【答案】【分析】本題考查平行線的性質，鄰補角的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．利用平行線的性質得出，再利用鄰補角的性質求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．12.如圖，長為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，則梯子頂端的高度h為_______m．【答案】【分析】本題考查了勾股定理，根據長為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，進行列式計算，即可作答．【詳解】解：∵長為的梯子靠在墻上，梯子的底端離墻腳線的距離為，∴，故答案為：．13.如圖，△ABC是的內接三角形，．若的半徑為2，則劣弧的長為_______．【答案】【分析】本題考查了圓周角定理，求弧長，先根據圓周角定理得，再結合弧長公式代入數值計算，即可作答．【詳解】解：連接，如圖所示：∵，，∴，∴劣弧，故答案為：．14.某氣球內充滿了一定質量的氣體，在溫度不變的條件下，氣球內氣體的壓強是氣球體積的反比例函數．當時，．則當時，________Pa．【答案】16000【分析】本題考查了求反比例函數以及反比例函數的應用，先根據題意，設這個反比例函數的解析式為，再代入數值求出，然后把代入，進行求解計算，即可作答．【詳解】解：∵氣球內氣體的壓強是氣球體積的反比例函數．∴設這個反比例函數的解析式為，把時，代入，得，解得，∴，把代入，得，故答案為：．15.如圖，小亮同學擲鉛球時，鉛球沿拋物線運行，其中是鉛球離初始位置的水平距離，是鉛球離地面的高度．若鉛球拋出時離地面的高度為，則鉛球擲出的水平距離為________．【答案】【分析】本題考查待定系數法求拋物線解析式，二次函數與軸的交點坐標，熟練掌握待定系數法和二次函數與一元二次方程的關系是解題的關鍵．由題得，代入，得出拋物線的解析式為，令，求解即可，【詳解】解：由題意，，得，將代入，得：，解得：，∴，令，得，解得：，，∴為，故答案為：．16.如圖，在菱形中，，，為線段上的動點，四邊形為平行四邊形，則的最小值為_______．【答案】【分析】利用四邊形為平行四邊形，得出，，由為線段上的動點，可知、運動方向和距離相等，利用相對運動，可以看作是定線段，菱形在方向上水平運動，過點作的平行線，過點作關于線段的對稱點，由對稱性得，則，當且僅當、、依次共線時，取得最小值，此時，設與交于點，交于點，延長交延長線于點，分別證明四邊形和四邊形是矩形，求出，，再利用勾股定理求出即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，∵為線段上的動點，∴可以看作是定線段，菱形在方向上水平運動，則如圖，過點作的平行線，過點作關于線段的對稱點，由對稱性得，∴，當且僅當、、依次共線時，取得最小值，此時如圖，設與交于點，交于點，延長交延長線于點，∵菱形中，，，∴，，，由題可得，∴由對稱性可得，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，即的最小值為，故答案為：．三、解答題（本大題共11小題，共102分．請在答題卡指定區域內作答，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，作圖過程需保留作圖痕跡）17.計算．【答案】6【分析】本題考查實數的混合運算，零指數冪，先進行乘法，開方，零指數冪的運算，再進行加減運算即可，熟練掌握相關運算法則，是解題的關鍵．【詳解】解：原式．18.解方程．【答案】【分析】本題考查解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．利用解分式方程的步驟求解即可，注意驗根．【詳解】解：去分母，得：，解得：，檢驗：當時，，∴是原方程的解．19.解不等式組【答案】【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據口訣：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了，確定不等式組的解集．【詳解】解：解不等式，得，解不等式，得，所以不等式組的解集為．20.一只不透明的袋子中裝有1個紅球和3個白球，這些球除顏色外都相同．（1）攪勻后從中任意摸出1個球，則摸到紅球的概率是_______；（2）攪勻后從中任意摸出1個球，記錄顏色后放回、攪勻，再從中任意摸出1個球．用畫樹狀圖或列表的方法，求2次都摸到白球的概率．【答案】（1）（2）【分析】本題考查樹狀圖法求概率，正確的畫出樹狀圖，是解題的關鍵：（1）直接利用概率公式進行計算即可；（2）畫出樹狀圖，利用概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：由題意，共有個球，攪勻后從中任意摸出1個球，有4種等可能的結果，其中摸到紅球的情況只有1種，∴摸到紅球的概率是；【小問2詳解】根據題意，紅球用A表示，3個白球分別用B，C，D表示，畫出如下的樹狀圖：由圖可知，共有16種等可能結果，其中2次都摸到白球的結果有9種，所以2次都摸到白球的概率為．21.為了解八年級學生的體重情況，某校隨機抽取了八年級部分學生進行測量，收集并整理數據后，繪制了如下尚不完整的統計圖表．體重情況統計表組別體重頻數（人數）類類類類根據以上信息，解答下列問題：（1）_______，________；（2）在扇形統計圖中，類所對應的圓心角度數是_______°；（3）若該校八年級共有名學生，估計體重在及以上的學生有多少人?【答案】（1），（2）（3）人【分析】本題考查扇形統計圖，頻數統計表，樣本估計總體，熟練掌握利用扇形統計圖和頻數統計表得出相關數據是解題的關鍵．（1）利用類的頻數和占總體百分比求出被抽取的總人數，再利用類占總體百分比求出類的頻數，最后即可求出類的頻數；（2）利用類占總體百分比乘以即可；（3）利用樣本估計總體即可求出．【小問1詳解】解：由題意得被抽取的總人數為（人），∴類的頻數為（人），∴類的頻數為（人），故答案為：，；【小問2詳解】解：類所對應的圓心角度數是，故答案為：；【小問3詳解】解：估計體重在及以上的學生有（人）．22.如圖，制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，需用正方形和長方形兩種硬紙片，且長方形的寬與正方形的邊長相等．（1）現用200張正方形硬紙片和400張長方形硬紙片，恰好能制作甲、乙兩種紙盒各多少個?（2）如果需要制作100個長方體紙盒，要求乙種紙盒數量不低于甲種紙盒數量的一半，那么至少需要多少張正方形硬紙片?【答案】（1）恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個（2）至少需要134張正方形硬紙片【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先設恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．結合題意列出方程組，再解得，即可作答．（2）先設制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．根據題意列出，結合，得，其中最小整數解為34．運用一次函數的圖象性質進行分析作答即可．【小問1詳解】解：制作甲、乙兩種無蓋的長方體紙盒，甲種需要1個正方形，4個長方形，乙種需要2個正方形，3個長方形，設恰好能制作甲種紙盒x個，乙種紙盒y個．根據題意，得，得，答：恰好能制作甲種紙盒40個，乙種紙盒80個．【小問2詳解】解：設制作乙種紙盒m個，需要w張正方形硬紙片．則．由，知w隨m的增大而增大，∴當m最小時，w有最小值．根據題意，得，解得，其中最小整數解為34．即當時，．答：至少需要134張正方形硬紙片．23.如圖，港口位于島的北偏西方向，燈塔在島的正東方向，，一艘海輪在島的正北方向，且、、三點在一條直線上，．（1）求島與港口之間的距離；（2）求．（參考數據：，，）【答案】（1）（2）【分析】本題考查解直角三角形的應用，相似三角形的判定與性質，比例的性質，能根據作輔助線構造相似三角形是解題的關鍵．（1）過點作，垂足為，證明，得出，結合，，求出，再在中利用三角函數即可求解；（2）在中，利用三角函數求出，利用，得出，則可求出，再在中利用三角函數即可求解．【小問1詳解】解：如圖，過點作，垂足為，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，得：，在中，由，得．答：島與港口之間的距離為；【小問2詳解】解：在中，，∵，∴，∴，在中，．24.已知二次函數，為常數．（1）若該二次函數的圖像與直線有兩個交點，求的取值范圍；（2）若該二次函數的圖像與軸有交點，求的值；（3）求證：該二次函數的圖像不經過原點．【答案】（1）（2）（3）見解析【分析】本題考查二次函數圖像與軸的交點問題，以及二次函數圖像的性質．熟練掌握二次函數的圖像和性質是解題的關鍵．（1）由二次函數的圖像與直線有兩個交點，知函數的最小值小于，列式計算即可；（2）根據圖像與x軸有交點，，列式計算即可；（3）根據當時，，即可證明．【小問1詳解】解：因為二次函數中，，所以二次函數的圖像開口向上，因為二次函數的圖像與直線有兩個交點，所以函數的最小值小于，則，即，解得．【小問2詳解】解：因為二次函數的圖像與軸有交點，所以，所以，又因為，所以，解得．【小問3詳解】證明：當時，，所以二次函數的圖像不經過原點．25.一塊直角三角形木板，它的一條直角邊長，面積為．（1）甲、乙兩人分別按圖1、圖2用它設計一個正方形桌面，請說明哪個正方形面積較大；（2）丙、丁兩人分別按圖3、圖4用它設計一個長方形桌面．請分別求出圖3、圖4中長方形的面積與的長之間的函數表達式，并分別求出面積的最大值．【答案】（1）圖1的正方形面積較大（2）在圖3中，，當時，長方形的面積有最大值為；在圖4中，，當時，長方形的面積有最大值為【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理，正方形的性質，二次函數的應用，正確掌握相關性質內容是解題的關鍵．（1）先運用勾股定理算出，再運用正方形的性質分別證明，，，然后代入數值化簡得，進行計算得，然后進行比較，即可作答．（2）與（1）同理證明，則長方形面積，結合二次函數的圖象性質得當時，長方形的面積有最大值為．，然后證明，，再把數值代入長方形的面積，化簡得，結合二次函數的圖象性質進行作答即可．【小問1詳解】解：∵，面積為，∴，∴．設正方形的邊長為，∵四邊形是正方形∴，，∵∴得，即，解得．∵四邊形是正方形∴，∴∴，得，即，∴．，∵∴，得，即，解得．∵，∴圖1的正方形面積較大．【小問2詳解】解：∵四邊形是長方形∴，，∵∴；得，則，，∴長方形的面積，∵∴開口向下，當時，長方形的面積有最大值為．在圖4中，同理得，得，∴，，同理得，得，則，∴長方形的面積，∵∴開口向下，∴當時，長方形的面積有最大值為．26.已知是△ABC的高，是△ABC的外接圓．（1）請你在圖1中用無刻度的