考點13直角三角形

【命題趨勢】

數學中考中，直角三角形一直是一個較為重要的幾何考點，考察難度為中等偏上，常

考考點為：直角三角形的性質定理、判定定理、勾股定理及其逆定理等，特別是含特殊角的

直角三角形，更加是考察的重點。出題類型可以是選擇填空題這類小題，也可以是各類解答

題，以及融合在綜合壓軸題中，作為問題的幾何背景進行拓展延伸。結合以上考察形式，需

要考生在復習這一模塊時，準確掌握有關直角三角形的各種性質與判定方法，以及特殊直角

三角形常考的考察方向等。

【中考考查重點】

一、直角三角形的性質和判定

二、勾股定理及其逆定理

三、勾股定理與弦圖、拼圖

考向一：直角三角形的性質和判定

一.直角三角形的性質后判定

直角三角形的兩個銳角互余

性質直角三角形斜邊上的中線等于斜邊長的一半

在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊

長的一半

判定有一個角是90°的三角形時直角三角形

有兩個角互余的三角形是直角三角形

【方法提煉】

直角三角形攝影定理圖形常見的三個應用方向

1.等積法（求斜邊上的高）

2.同角的余角相等（得NA=NBCD）

3.射影定理

在圓中因為直徑所對圓周角=90°,轉化得此圖形,

進而利用以上3個結論！

【同步練習】

1.直角三角形的斜邊長為10,則斜邊上的中線長為（）

A.2B.3C.4D.5

【分析】根據直角三住形斜邊上的中線等于斜邊的一半，這一性質，即可推出斜邊上的

中線長為5.

【解答】解：???直角三角形斜邊長為10,

???斜邊上的中線長為5.

故選：D.

2.如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,N8=30°,N84C的平分線A。交8c于點DCD

=加，則BD的長是（）

C.3D.3V3

【分析】根據三角形的內角和定理得到NC48=6（）°,根據角平分線的定義得到NC4。

=N84Q=/444=30°,求得NDAB=NB,得到3O=A。，根據直角三角形的性質

即可得到結論.

【解答】解：???/。=90°,ZB=30°,

：.ZCAB=60°,

VZBAC的平分線AD交BC于點D,

：,ZCAD=ZBAD=1-/CAB=30°,

2

：?NDAB=NB,

：,BD=AD,

??。=近，

；?BD=AD=2CD=2近

故選：B.

3.將一個含30°角的直角三角板人8C與一個直尺如圖放置，NACB=90。，點A在直尺

邊MN上,點8在直尺邊PQ上，BC交MN于點0.若NABP=15°,AC=6,則AD

的長為（)

C.65D.6正

【分析】先由平行線的性質可得ND48=/A8P=15°,根據三角形內角和定理得到N

C48=60°,ZCAD=ZCAB-ZDAB=45°,那么也人。。是等腰直角三角形，從而求

山4。的K.

【解答】解：由題意可得，MNHPQ,

：.ZDAB=ZABP=\5°,

VZCA?=180°-NC-NA8C=180°-90°-30°=60°,

???NCAO=NC4B-NO48=60°-15°=45°,

VZACD=90°,

AZADC=45°,

???△ACD是等腰直角三角形，

：,AD=^\C=6A/2-

故選：C

4.如圖，含30°角的RtaOCB的斜邊在y軸上，。。=加，頂點O與原點重合，則點8

【分析】由含30°角的直角三角形的性質可得OB=2BC,即刻求解CB=1,OB=2,再

利用），軸上點的坐標的特征可求解B點坐標.

【解答】解：在RtZ\05C中，NC=90°,NCO8=30°,

：?OB=2BC,

：?CB=1,OB=2,

???點4在），軸上，

???8點坐標為（0,2）,

故答案為：（0,2）.

5.如圖設計一張折疊型方桌子，若AO=8O=50c/〃，CO=DO=30cmt將桌子放平后，要

使人8距離地面的高為40c〃b則兩條桌腿需要叉開的NAO8應為.

【分析】作。￡_LA3于E,根據題意，得在RtAADE+*,AO=50+30=8（kw,DE=40cm,

由此可以推出NA=30‘，接著可以求出N8=NA=30°,再根據三角形的內角和即可

求出/AO8的度數.

【解答】解：作。E_LAB于￡

???AQ=5O+3O=8Oc〃?，DE=40cm,

/.Z4=30°，

'：AO=BO,

???N8=NA=30°,

???NAO8=180°-30°-30°=120°.

故答案為：120°.

6.如圖，已知。是線段BC的延長線上一點，ZACD=ZACB,/COD=/B,求證：△

AOE是直角三角形.

【分析】根據平角的概念求出NAC8=90°,根據對頂角相等、直角三角形的性質證明

結論.

【解答】證明：VZACD+ZACB=\^)°,ZACD=ZACB,

，/4CO=NACB=90°,

VZAOE=ZCOD,/COO=NB,

/.NAOE=NB,

???N8AC+NB=90°,

???N8AC+NAOE=90°,

???NAEO=90°,即AAOE是直角三角形.

7.如圖，在△A8C中，NABC=60°,BC=12,人。是邊上的高，E、尸分別為邊AB、

AC的中點，當人。=6時，BC邊上存在一點Q,使/EQ尸=90°,求此時BQ的長.

【分析】根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半求出EF,再判斷出

E尸到8c的距離等于E尸的一半，取E尸的中點O,過點。作OQJ_BC與Q,根據等腰

直角三角形的性質，點。即為所求的點，過點E作EGJ_BC于G,先求出EG,GQ,再

解直角三角形求出BG,然后根據8Q=8G+G。計算即可得解?.

【解答】解：???￡：、/分別為邊AB、4c的中點,

:.EF//BC,EF=1BC,

2

'：BC=n,

:,EF=6,

取收的中點0,過點O作OQ_L8C與Q,過點E作EGLBC于G,

TAD是BC邊上的高，AO=6,

，OQ=EG=2X6=3,

2

，點。即為所求的使/￡。/=90°的點，

VEF//BC,EG//0(),OE=OQ=3,

工四邊形OEQG是正方形，

：.GQ=OQ=3,

???點E是AB的中點,

，EG是△八的中位線，

???EG=X1O=3,

2

VZABC=60°,

:.BG=&EG!區乂3=孤

33

:?BQ=BG+GQ=3+/.

考向二：勾股定理及其逆定理

勾股定理及其逆定理

勾股定理直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

勾股定理逆定如果三角形中兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形

理是直角三角形

能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數，成為勾股數

勾股數常見的勾股數：3,4,5及其倍數；5,12,13及其倍數；7,24,25及其

倍數；8,15,17及其倍數

【同步練習】

I.已知直角三角形兩邊的長分別為3和4,則此三角形的周長為（）

A.5B.7+V7C.12D.12或7+被

【分析】先設RlZ\A8C的第三邊長為-再分4是斜邊或x為斜邊兩種情況討論即可.

【解答】解：設RtZXABC的第三邊長為工,分兩種情況：

①當4為直角三角形的直角邊時，工為斜邊，

由勾股定理得：X=d§2+42=5，

此時這個三角形的周長=3+4+5=12：

②當4為直角三角形的斜邊時，.1為直角邊，

由勾股定理得：

此時這個三角形的周長=3+4+77=7+幣;

綜上所述：此三角形佗周長為12或7+干，

故選：D.

2.下列各組數中能作為直角三角形的三邊長是（）

A.2,5,6B.加，2,^5C.7,24,25D.13,14,15

【分析】根據勾股定理的逆定理可以判斷各個選項中的條件能否構成直角三角形，從而

可以解答本題.

【解答】解：人、22+52^62,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

8、（V3）2+22^（V5）2,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

C、72+242=252,能構成直角三角形，故此選項符合題意；

D.132+142^152,不能構成直角三角形，故此選項不符合題意；

故選：C.

3.漢代數學家趙爽在注解《周髀算經》時給出的“趙爽弦圖”是我國古代數學的瑰寶，如

圖所示的弦圖中，四個直角三角形都是全等的，它們的斜邊長為5,較短直角邊長為3,

則圖中小正方形（空白區域）的面枳為（）

A.IB.4C.6D.9

【分析】由勾股定理可求解直角三角形的較長的直角邊，進而可求得小正方形的邊長，

即可求解面積.

【解答】解：由勾股定理可得：較長的直角邊的邊長為：-^52_32=4,

???空白小正方形的邊長為4-3=1,

???空白小正方形的面積為I.

故選：A.

4.如圖，在4X4的網格中，每個小正方形的邊長為1,點A,B,C均在格點上，。是

與網格線的交點，則CO的長是（）

A.2B.3C.立D.9

24

【分析】先證明△ABC是直角三角形，求出其面積，再拆成以。。為底邊的兩個三角形,

根據面積來求CD.

【解答】解：根據題意由勾股定理得：

22=5sc=22=

AC=Q22+]2=造,AB=yJ2+4,yJ4+2,

222

：.AB=AC+BCf

：.AC1.BC,

.??SAABC='AC?BC=5，

*.*SMBC=S^BCD+SMCD,

???5MBC=-A-XCDx2+^xCDx2=5'

乙乙

解得：。。=立，

2

故選：C.

5.如圖，在△48。中，AB=4,AC=3,BC=5.將△ABC沿著點A到點C的方向平移到

△OE/的位置，圖中陰影部分面積為4,則平移的距離為（）

A.3-VeB.V6c.3+VeD.2%

【分析】根據勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，求出△ABC的面積，根據平

移的性質得出4C=。尸=3,/\。石尸的面積=/\48。的面積=6,再根據面積比等于相似

比的平方得出即可.

【解答】A？：*：AB=4,AC=3,8C=5,

:.AB2+AC2=BC2,

?'△ABC是直角三角形，ZA=90°,

沿著點A到點C的方向平移到△￡）￡尸的位置,

:?△DE尸的面積=448。的面積=^X3X4=6，DF=AC=3,

???圖中陰影部分面枳為4,

?DC<4

,?而=后

.DC_2

F五’

解得：DC=y/~^,

即平移的距離是C尸=4C-。。=3-泥，

故選：A.

6.如圖，車庫寬AB的長為3米，一輛寬為1.8米（即MN=1.8米）的汽車正直停入車庫

（MN//AB）,車門CO長為1.2米，當左側車門C。接觸到墻壁時，車門與車身的夾角N

CDE為45c,此時右惻車門開至最大的寬度尸G的長為（）

【分析】根據勾股定理和三角函數得出CO,進而解答即可.

【解答】解：如圖所示，過C作CO_LOE于O,

故選：D.

7.將一副直角三角尺按如圖所示放置，NC48=30°,NCZM=45°,BC=2,則A3的長

為?

【分析】過。作。OJ_A8于D,解直角三角形即可得到結論.

【解答】解：過C作CQJ_/W于。，

???/4Z)C=N8DC=9Q°，

VZABC=45°,

???N8CO=NA4C=45°，

???NC48=30°,

：.AC=2CD=2^/2,

?9?AD=JAC?-CD2=Q8-2=,

：.AB=AD+BD=42-h/6.

故/w的長為加+>n，

故答案為：V2W6.

8.如圖，在四邊形ABC/）中，AD=CD,ZADC=120°,NCB4=60°，BC=l,AB=3,

則對角線8。的長是

【分析】把△8C。繞。順時針旋轉120°得到△(；'DB',過。作。“1AB垂足為",

得80=8'D,ZCDB=ZADB,,ZDAB'=NC,再根據四邊形內角和為360°,得

/ZMQ+NOC')一180°,從而得點B、人、B'三點在同一條直線上，再通過等量代

換得/BOB'=120°,進一步得NB'=/OBA=30'，再根據三角函數求出對角線BO

的長.

【解答】解：把△8CQ繞。順時針旋轉120°得到△(?'DB',過。作O"_LA3垂足為

H,

:./XBCD9叢B'CD,

:,BD=B'D,ZCDB=ZADB',/DAB'=NC,

B

???四邊形內角和為360°,

???NC+NC84+NBAZHNCD4=360°,

VZ/\DC=120°,ZCBA=600,

???NC+NB4O=180°.

：.ZBAD+ZDC'B'=180°,

???點氏A、B'三點在同一條直線上，

???ZADC=NADB+NBDC

=/ADB+NADB

=ZBDB,=120°,

?:BD=DB',

：?4B'=NOB4=30°,

?:BB'=BA+AB'=4,DHLAB,BD=DB',

:?DH=2,

在RlABDH中，cosNA8Q=目1,

BD

3

故答案為：生旦.

3

考向三：勾股定理與弦圖、拼圖

【方法提煉】

勾股定理與弦圖：

牽涉到弦圖時，所用的直角三角形皆是全等直角三角形，證明時■■般依據面枳相等來列式

得結論；

勾股定理與拼圖：

多考察七巧板的變形，注意各個七巧板組成間的等量線段，再結合勾股定理來計算即可。

【同步練習】

1.（2021秋?無錫期末）如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個全等的直角三角形拼

接而成，記圖中正方形/WCQ、正方形EFGH、正方形M/VK7的面積分別為51、52、53.若

Sl+S2+S3=18,則S2的值是（）

D

G

B.6C.5DT

【分析】先設每個直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為人然后根據圖形和S1+S2+S3

=18,可以寫出關于心力的方程，然后整理化簡，即可求得S2的值.

【解答】解：設每個直角三角形的長直角邊為。，短直角邊為從

：Si+S2+S3=18,

:.(a+匕)2+(cr+b1)+(a-b)2=18,

???。2+2曲+廬+。2+廬+。2.2"+戶=18,

A3(a2+/?2)=18,

?\cr+b2=6,

.*.52=a2+/?2=6?

故選：B.

2.(2021?商河縣校級模擬)我國是最早了解勾股定理的國家之一.下面四幅圖中，不能證

明勾股定理的是()

【分析】先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可.

2

【解答】解：4、V-lab+Ac+X/Z?=A(a+b)(a+b),

2222

???整理得：。，力2=。2,即能證明勾股定理，故本選項小符合題意;

B、?.,4X_j_ab+(?2=("+/，)2，

???整理得：a2+b2=c1,即能證明勾股定理，故本選項不符合題意;

C、,.,4X，b+(b?G2=?,

2

.??整理得：/+廬=林，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意;

。、根據圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意;

故選：D.

3.（2021?鹿城區校級一模）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅弦圖，后

人稱其為趙爽弦圖（如圖I）.圖2為小明同學根據弦圖思路設計的.在正方形A3。中,

以點B為圓心，AB為半徑作菽，再以CO為直徑作半圓交菽于點E,若邊長48=10,

則△COE的面積為（）

D.l(h/5

【分析】根據題意，作出合適的輔助線，然后根據相似三角形的判定與性質，可以得到

QE和CE的值，從而可以求得△CDE的面積.

【解答】解：取CO的中點R連接"、BE、EF,

由題意可得，FE=FC,BE=BC,

???BF是EC的垂直平分線，

：,ZFBC^ZBCE=90°,

VZBCD=90°,

；?NDCE+NBCE=90°,

：.ZFBC=ZDCE,

又?：NBCF=NCED=9()0,

:?△BCFs^CED,

?BCCFBF

CE-ED-CD

V5C=10,CD=10,C尸=5,NBC/=90°,

*'?IO2+52~$市，

?10二5二逃

??福二ED=10

解得CE=4泥，ED=2日

??.△CQE的面積為：市=20,

2

故選：A.

4.（2021?諸暨市模擬）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人

稱其為“趙爽弦圖”（婦圖1）.如圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼

接而成.記圖中正方形力BCD,正方形EFG”，正方形MNK7的面積分別為Si,S2-.S3,

若51+52+53=24,則S的值是（）

【分析】根據八個直角三角形全等，四邊形A6CQ,EFGH,MNAT是正方形，得出CG

=NG,CF=DG=NF,再根據5i=（CG+DG）2,S2=GF2,53=（NG-NF）2,S1+S2+S3

=24得出3G產=24,求出G產的值即可.

【解答】解：???八個直角三角形全等，四邊形ABC。，EFGH,MNK7是正方形，

：?CG=NG,CF=DG=NF,

???Si=(CG+DG)2

=CG2+DG2+2CG*DG

=G^+2CG?DG,

S2=GF2,

S3=CNG-NF)2=NG1+NF1-2NG?NH

ASi+S2+S3=GF2+2CG*DG+GF2+/VG2+/VF2-2NG?N尸=3G/=24,

???G產=8,

???S2=8.

故選：B.

5.（2020?煙臺）七巧板是我們祖先的一項創造，被譽為“東方魔板”.在一次數學活動課匕

小明用邊長為的正方形紙片制作了如圖所示的七巧板，并設計了下列四幅作品--

“奔跑者”，其中陰影部分的面積為5c//的是（）

【分析】先求出最小的等腰直角三角形的面積=2X2X42=1O/，可得平行四邊形面

82

積為2。/,中等的等腰直角三角形的面枳為2c/,最天的等腰直角三角形的面積為公〃戶,

再根據陰影部分的組成求出相應的面積即可求解.

【解答】解：最小的等腰直角三角形的面積=?lx2X42=|平行四邊形面積為

82

2cm2,中等的等腰直角三角形的面積為2C〃?2,最大的等腰直角三角形的面積為4cm2,則

人、陰影部分的面積為2+2=4(cm2),不符合題意；

B、陰影部分的面積為1+2=3Cem2),不符合題意;

C、陰影部分的面積為4+2=6(cm1),不符合題意；

。、陰影部分的面積為4+1=5(c〃P),符合題意.

故選：D.

6.(2021春?永嘉縣校級期末)已知圖2是由圖1七巧板拼成的數字“0”，已知正方形ABC。

的邊長為4,則六邊形的周長為()

Ar-------/

國

BC

A.

【分析】根據勾股定理得到比)=4亞，求得EF=MH=2a+2,FG=MN=LBD=2點,

2

NE=HG=gD=?于是得到結論.

4

【解答】解：???正方形48C。的邊長為4,

???8。=4加，

：,EF=MH=2^Q+2,FG=MN=LBD=2五NE=HG=，BD=^,

24

，六邊形EPGHMN的周長=2(2V2+2+2V2+V2)=1()J分4,

故選：B.

7.（2020秋?長興縣月考）小慧用圖I中的一副七巧板拼出如圖2所示的“行禮圖”，已知

正方形ABCD的邊長為4,則圖2中h的值為（

D.8

【分析】根據七巧板的特征，依次得到②④⑥⑦的高，再相加即可求解.

【解答】解：???正方形A8CO的邊長為4,

???②的斜邊上的高為2,④的高為1,⑥的斜邊上的高為1,⑦的斜邊上的高為比,

???圖2中h的值為4+亞.

故選：C.

8.（2020?溫州模擬）七巧板被西方人稱為“東方魔板”，下面的兩幅圖是由同一副七巧板拼

成的.若七巧板拼成攸正方形（如圖1）的邊K為2b.則“衣服型”（如圖2）的周長

C.10+4加D.12+2班

【分析】先依次將原七巧板里面的各個圖形的邊長求出來，然后根據構成“衣服型”圖

形的每個圖形的的邊號計算其周長即可.

【解答】解:如圖示，

???七巧板里面的各個三角形均為等腰直角三角形,

,所有銳角都等于45°,

B

???止方形的邊長為2亞，

，根據勾股定理，有：OA=OD=OC=EF=2,AE=BE=BF=CF=Hl=?GA=GE

=EI=OG=OI=OH=HC=1.

如圖示；當七巧板拼成“衣服型”時，

則“衣服型”的周長為：

AB+BC+CD+DE+EF+FG+GH+HI+IJ+JK+KA

=2+2+亞+[+血+1+1+V2+1+V2+2=10+4班.

故選：C.

^跟蹤訓練」

1.如圖，中，NAC8=90°,CO_LA8于點。，則下列結論不一定成立的是（）

C.Z1=Z4D.Zl=30°

【分析】根據垂直得出/從。。=/8。。=90°,再根據直角三角形的性質逐個判斷即可.

【解答】解：4.VZACB=90°,

/.Zl+Z2=90°,故本選項不符合題意;

B.'JCDLAB,

/.ZADC=90°，

/.Zl+Z3=90°,

VZ1+Z2=9O°,

???N2=N3,故本選項不符合題意；

C.*：CDLAB,

.,.ZBDC=90°,

AZ2+Z4=90o,

VZ1+Z2=9O°,

AZ1=Z4,故本選項不符合題意；

。.根據已知條件不能推出Nl=30°,故本選項符合題意:

故選：D.

2.如圖，在三角形人BC中，AB=AC,BC=6,三角形力底廠的周長是7,AF±BCTF,

BELACTE,且點。是AB的中點，則A/=()

【分析】根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=DF=1AB,EF=1BC,

22

然后代入數據計算即可得解.

【解答】解：???4￡LBC,BE1AC,。是人8的中點，

：,DE=DF=^AB,

2

'：AB=AC,AF1BC,

???點產是BC的中點，???B尸=尸。=3,

*：HEA.AC,

:.EF=LBC=3,

2

.'.△DEF的周長=。石+。/+七尸=AB+3=7,

???AB=4,

由勾股定理知"={AB2_BF2="

故選：B.

3.如圖，在△ABC中NC=90°,AC=6,8c=8.點。是BC上的中點.點P是邊A8上

的動點，若要使△8PQ為直角三角形，則3P=.

【分析】分兩種情形分別求解即可解決問題.

【解答】解：在RtZXABC中，VZC=90°,AC=6.8C=8,

:.AB=個62+82=10,

???。是BC中點，

???CO=8O=4,

分兩種情形：①當NOPB=90°時，ADPRs△ACB,

?PB=BD

**BC而'

?.*'BP._"4

810

??.8尸=也

5

②當NPO8=90°,易證：DP//AC,

?：CD=DB,

：.AP=PB=5,

綜上所述，滿足條件的p8的值為5或兇.

5

故答案為5或兇

5

4.《九章算術》中的“折竹抵地”問題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問折高者幾

何？意思是一根竹子，原高兩丈(一丈=10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，

抵地處離竹子底部9尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x

尺，則可列方程為()

A./-9=(20-x)2B.?-92=(20-x)2

C.』+9=(20-x)2D.7+92=(20-X)2

【分析】根據題意畫出圖形，設折斷處離地面的高度為工尺，再利用勾股定理列出方程

即可.

【解答】解：如圖，設折斷處離地面的高度為x尺，則A8=(20-x)尺，BC=9天,

在Rt△4BC中,AC2+BC2=AB2,即/+92=(20-x)2.

故選：D.

5.四邊形A8CQ中，△4C。是邊長為10的等邊三角形，△/WC是以AC為斜邊的直角三

角形，則對角線最大值是()

A.10B.10A/3c.5+&V3D.6+573

【分析】由△4BC是以AC為斜邊的宜角三角形可知點8在以4c為直徑的圓上，然后

結合點到圓上點的距離求出對角線的BD長度.

【解答】解：???△ABC是以AC為斜邊的宜角三角形，

:.點8在以AC為直徑的圓上，

如圖，在。0中，連接并延長，交。0于點E和點8,

，當點B在圖中8點時，對角線8。最長，

丁等邊△AC。的邊長為10,

?"。=8七=10,OB=OE=OA=OC=5,ODLAC.

，NCOO=90°，

???0-=也口2_"2={]02_52=5加,

/.BD=OD+OB=5后5,

???對角線BD最大值為5、萬?5,

故選：C.

6.三個頂點都在網格點上，且有一個角為直角的三角形稱為網格直角三角形.在6X6的網

格圖中，若△ABC為網格直角三角形，則滿足條件的。點個數有（）

【分析】根據勾股定理得出AB的長，進而利用勾股定理的逆定理解答即可.

22,

【解答】解：由勾股定理得：^=5/2+4=2V5

如圖所示：

7.將一副直角三角尺按如圖位置擺放在同一平面內，使兩個直角三角尺的斜邊AB//DF,

含30°角的直角三角尺的直角頂點E在含45°角的直角三角尺的斜邊A3上，且點尸在

的延長線上，已知/A=45°,則N1的度數是（）

CB

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據平行線的性質求出N8FQ,進而求出NB在，根據三角形外先定理求出/

BEF,由平角的定義即可求出N1.

【解答】解：由題意知，在RI△。所中，ZEDF=60°,

*：AB//DF,

???N1=N￡Or=60°,

故選：C.

8.一船向東航行，上午9：00到達一座燈塔"的西南68〃〃?說的M處，上午11：00到達

這座燈塔的正南的N處，則船的航行速度為（結果保留根號）.

【分析】證是等腰直角三角形，則MN=PMMN2+PN2=PM2,再由勾股定理得

出方程，解方程，即可解決問題.

【解答】解：由題意得：NMPN=45°,PM=68m川加,

???△PMN是等腰直角三角形，

：,MN=PN,MN2+PN2=PM2,

設MN=PN=xm〃i加,

則,+/=682,

解得：x=3啦,

r.M/V=34V2"mile），

則船的航行速度為:警=17亞（nmile/h）,

故答案為：17.

9.如圖所示，每個小正方形的邊長為1,A、仄C是小正方形的頂點，則NABC的度數

為.

【分析】分別在格點三角形中，根據勾股定理即可得到A4,BC,AC的長度，繼而可得

出NABC的度數.

【解答】解：如圖，連接AC.

根據勾股定理可以得到：AC=BC=m，AB=yflQ,

,/（加）2+（V5>2=（V10）2,gpAC2+BC2=AB~,

.??△A3c是等腰直角三角形.

???N/IBC=45°.

故答案為：45°.

10.（2021?臺州模擬）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，若圖中陰影部分面

積與小正方形的面積框等，則小正方形與大正方形的面積之比為（）

A.AB.Ac.2D.A

9495

【分析】結合圖形利用勾股定理可知Riz^ACb的三邊關系，再通過陰影部分的面積等于

小正方形的面枳推出C4=AQ=QC,進而可以推出即可得出答案.

【解答】解：如圖所示，

???△AC8為直角三角形，

根據勾股定理可列AC1+BC1=AB2,

?：AC=AD+DC,

；?代入上式可得（AO+OC）

，AD2+2AD*DC+DC2+BC2=AB2&,

???陰影部分的面積等于小正方形的面積，

:?S小正方形=4S叨影三角形，

???三角形的高為小正方形邊長的一半，即〃=^CD，

2

：?S陰影三角形總跖/皿?匆+0。，

ACD2=4X4-AD-CD=AD-CE*

4

：.AD=CD,。為AC中點，

:?C為BE中點,0/3=40=00?,

將②代入①得：AD1+2DC2+DC2+DC2=AB2,

：,5DC2=AB2,

.DC21

??-----

AB25

???小正方形與大正方形的面積之比為1,

5

故選：D.

11.（2021?濱州三模）我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人

稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）,圖2由弦圖變化得到，它是由作個全等的直角三角形拼接

而成，記圖中正方形正方形EFGH,正方形MNAT的面積分別為Si、S2、S3,

若Sl+S2+S3=10,則S2的值是（）

【分析】根據圖形的特征得出四邊形MNK7的面積設為筋將其余八個全等的三角形面

積一個設為A從而用-y表示出3,52,S3,得出答案即可.

【解答】解：將四邊形M7XN的面積設為x,將其余八個全等的三角形面積一個設為），,

???正方形45CQ,正方形EFGH,正方形MNK7的面積分別為Si,52,S3,51+52+53=1（）,

???得出Si=8y+x,S2=4y+x,S3=x,

A51+S2+S3=3x+12y=10,故3x+12y=10,

x+4y=苧，

所以S2=x+4y=—,

3

故選：B.

12.（2019?南渭區二模）七巧板是我們祖先的一項卓越倉］造，被西方人譽為“東方魔板”.已

知如圖1所示的“正方形”和如圖2所示的“風車型”都是由同一副七巧板拼成的，若

圖中正方形48co的面積為16,則正方形EFG”的面積為（）

B

圖2

A.22B.24C.26D.28

【分析】設80=4〃，解直角三角形求出8C、EF,再根據正方形4BC。的面積為16,求

出正方形EFGH的面積.

【解答】解：如圖，設BZ）=4a,則CD=BC=8?S加45°=2心

???正方形ABC。的面積為16

:.（2近/）2=16,解得4=加，

???￡F=VEQ2+FQ2=7（3a）2+（2a）2=^26,

:.正方形EFGH的面積為26.

故選：C.

13.（2019秋?奉賢區期中）七巧板是我們民間流傳最廣

的一種古典智力玩具，由正方形分割而成（如圖），圖中6號部分的面積是正方形面積的

46816

【分析】根據正方形的性質和勾股定理計算即可.

【解答】解：6號部分的平行四邊形是由兩個小等腰直角三角形構成，設正方形的邊長為

2,則

正方形的對角線長為：6互/=近=2比，

所以小等腰直角三角形的直角邊長為2返=返，面積為返X返=2，

422224

所以6號部分的平行匹邊形的面積是」?乂2=2，

42

因為正方形的面積為4,

工

所以圖中6號部分的面積是正方形面積的2=工,

48

故選：C.

I煤真題再現

1.（2021?浙江杭州）已知線段AB,按如下步驟作圖：①作射線AC,使AC_L48；②作/

BAC的平分線4。；③以點4為圓心，AB氏為半徑作弧，交A。于點氏④過點E作EP

_1_44于點夕，則AP：AB=（）

A.I：V5B.I：2C.I：5/3D.I：V2

【分析】直接利用基本作圖方法得出AQ=P及再結合等腰直角三角形的性質表示出AE/尸

的長，即可得出答案.

【解答】解：

???NC48=90°,

?「AD平分Z6AC,

.\ZE/4B=AX90°=45°,

2

VEPlAB.

???NAPE=90°,

：.ZEAP=ZAEP=45i,

，AP=PE,

.?.設

故4￡="=亞K

AAP：A3=x：V^r=l:近.

故選：D.

2.（2021?浙江寧波）如圖，在△ABC中，N8=45°,ZC=60°,AO_LBC于點￡>.BD

=V3.若E,尸分別為A8,8C的中點，則EF的氏為（）

A.返B.返C.1D.返

322

【分析】由直角三角形的性質求出入￡>=8。=M，由銳角三角函數的定義求出OC=I,

由三角形的中位線定理可求出答案.

【解答】解：「人。，?。，

???NAQB=N4QC=9(r,

VZB=45°,BD=近

:.AD=BD=g,

VZC=60°,

.?.DC=—^_=2^=1,

tan60V3

：,AC=2DC=2,

■:E,二分別為A&8c的中點,

/.EF=-1AC=I.

2

故選：C.

3.（2021?浙江麗水）如圖，在RlZVWC'紙片中，NACA=9U°,AC-4,BC=3,點。，

E分別在AB,4。上，連結DE,將△AOE沿DE翻折，使點4的對應點尸落在BC的延

長線上，若FD平分/EFB,則AO的長為（）

1520

~7T

【分析】由翻折得出人。=。RNA=NOFE,再根據平分NEFB,得出//）"/=/

A,然后借助相似列出方程即可.

【解答】解：作。"J_BC于H,

在RtZ\ABC紙片中，NAC3=90°,

C

由勾股定理得："=432+42=5，

???將沿DE翻折得△￡)￡￡

:?AD=DF,NA=NDFE,

?；FD平分NEFB,

/.ZDFE=NDFH,

:,NDFH=NA,

設DH—3x,

在RlA。“/中，sin/D/7/=sin/A=2,

5

：.DF=5xt

ABD=5-5x,

???-B-D=_-D-H--

ABAC

.5-5x3x

54

._4

??Ar——,

7

，AD=5x="

7

故選：。.

4.(2021?浙江嘉興)如圖，在△ABC中，N84C=30°,N4CB=45°,AB=2,點尸從

點4出發沿48方向運動，到達點8時停止運動，連結CP,點A關于直線CP的對稱點

為A',連結儲C.A'P.在運動過程中，點A'到直線A/3距離的最大值是；

點P到達點B時，線段A'P掃過的面積為.

C

【分析】如圖1中，過點B作于從解直隹三角形求出CA,當CA'J_48時,

點A'到直線A8的距離最大，求出CA',CK.可得結論.如圖2中，點P到達點B時,

線段A'P掃過的面積=S期形ACA-2s.”此，由此求解即可.

【解答】解：如圖1中，過點3作出/J_4C于H.

在Rl△48〃中，8〃=A8?sin3()°=】，人H=V^"=M，

圖1

在Rt^BCH中，NBCH=45°,

：,CH=BH=\,

：,AC=CA,=1+加，

當CA'J_/W時，點4,到直線/W的距離最大,

設CA'交AB的延長線于K.

在RtaACK中，CK=AC?sin30°