期中考前滿分沖刺之解答題覆蓋訓練思維導圖思維導圖 覆蓋訓練01:平移作圖1．如圖，由小正方形組成的網格中點，，，均在網格線的交點處．(1)將三角形向下平移2格后得到三角形，請在網格中畫出三角形．(2)將三角形平移后得到三角形，點移動到處，請補全三角形．(3)在（2）的基礎上，連接和，則與的位置關系為______，數量關系為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)平行，相等【分析】本題考查圖形的平移，熟練掌握平移規律是解題的關鍵，（1）根據題中平移規律，平移后即可得到答案；（2）點移動到處，平移規律為：從右平移4個單位，再向下平多1個單位，再將點，點，都按照此平移規律平移，得到，依次連接，即可得到三角形；（3）連接和，根據平移的性質可得答案．【詳解】（1）解：將三角形向下平移2格后得到三角形，如圖所示：（2）解：∵點移動到，平移規律為：向右平移4個單位，再向下平多1個單位，∴將點，點，都按照此平移規律平移，得到，依次連接，得到三角形，如圖所示：（3）解：∵一個圖形和它經過平移所得的圖形中，兩組對應點的連線平行且相等，∴，，故答案為：平行，相等．2．在正方形網格中，每個小正方形的邊長均為1個單位長度，三角形的三個頂點均為格點，位置如圖所示，將三角形先向右平移4個單位長度得到三角形，再向上平移3個單位長度得到三角形．(1)畫出平移后的三角形及三角形；(2)平移過程中，線段掃過的面積是___________．【答案】(1)見解析(2)28【分析】本題考查作圖-平移變換，平行四邊形的面積等知識．（1）利用平移變換的性質，先分別作出A，B，C的對應點，，，順次連接，再作出對應點，，并順次連接即可．（2）平移中線段掃過部分的面積是兩個平行四邊形的面積之和．【詳解】（1）解：如圖，三角形和三角形即為所求；（2）解：平移中線段掃過部分的面積是．故答案為：28．3．如圖，在的方格紙中，每個小正方形的邊長都為1，將按照某方向經過一次平移后得到，圖中標出了點C的對應點C．(1)畫出平移以后的；(2)連接，，則這兩條線段的關系是；(3)求線段在平移過程中掃過區域的面積？【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)32【分析】本題考查作圖平移變換，平移的性質，圖形的面積，熟練掌握平移的性質是解答本題的關鍵．（1）根據平移的性質作圖即可；（2）根據平移的性質可得答案；（3）利用割補法求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：由平移的性質得，，∴這兩條線段的關系是平行且相等．故答案為：平行且相等．（3）解：如圖所示，連接∴線段在平移過程中掃過區域的面積為．覆蓋訓練02:平行的性質與判定4．如圖，點O在直線上，平分，平分，F是上一點，連結．(1)求證：；(2)若與互余，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查與角平分線有關的計算，互余，平行線的判定：（1）根據角平分線的定義和平角的定義，即可得證；（2）根據同角的余角相等，得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵平分，平分，∴，∵，∴，即：，∴；（2）證明：∵，∴，又∵，∴，∴．5．（1）如圖，直線與相交于點，平分，若，求的度數．

（2）如圖，已知，，求證：．

【答案】（1）；（2）見解析．【分析】本題主要考查了對頂角的性質，角平分線的性質，平行線的性質及判定定理，解題的關鍵是數量掌握并運用各個性質進行求解．（1）利用對頂角的性質和角平分線的性質即可求解；（2）利用平行線的性質定理和判定定理即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴．∵平分．∴．（2）證明：∵．∴．∵，∴，∴．6．如圖，在中，過點作直線為上一點，連接交于點，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質．解題的關鍵是熟練掌握平行線的判定和性質定理．（1）根據得到，結合，得到即可．（2）先求得，結合，可得，根據即得．【詳解】（1）證明：，，，，．（2）解：，，，，，，，．覆蓋訓練03:尺規作圖7．如圖，在一條直線上：(1)尺規作圖，以為頂點，以射線為一邊，作（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，判斷與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)或，理由見解析【分析】此題主要考查了基本作圖，關鍵是注意理解題意，分類討論畫出圖形．（1）根據作一個角等于已知角的方法作圖即可；（2）如圖1，根據同位角相等兩直線平行可得；如圖2，根據三角形內角和為可推出．【詳解】（1）如1圖所示：（2）如圖1，，，；如圖2，，反向延長交于點，，，．8．如圖，點，在直線外，于點，于點，連接，平分．(1)依據題意，補充完整圖形．（注：畫出正確圖形即可，不需要尺規作圖）(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質，關鍵是掌握平行線的性質．（1）作到的垂線，垂足為，作到的垂線，垂足為，連接，過作射線平分；（2）因為，，可得，因為同位角相等兩直線平行，所以，因為兩直線平行同旁內角互補，所以，已知，可得，因為射線平分，所以，等量代換，得，因為內錯角相等兩直線平行，即證．【詳解】（1）補充完整圖形，如圖所示．（2）證明：∵，，∴，∴，∴，∵BP平分∠DBF，∴，∵，∴，∴，∴9．如圖，、分別平分、，，．(1)尺規作圖：在射線上作，并連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，求證：．證明：平分（已知）①（角平分線的定義）（已知）②（兩直線平行，內錯角相等）又平分（已知）③（角平分線的定義）又（已知）④（等量代換）（⑤）【答案】(1)見解析(2)①；②；③；④；⑤內錯角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定與性質；（1）以為圓心，為半徑畫圓，與交點即為點；（2）先由角平分線得到，再由得到，繼續由角平分線得到，進而由得到，最后得到．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）平分（已知）（角平分線的定義）（已知）（兩直線平行，內錯角相等）又平分（已知）（角平分線的定義）又（已知）（等量代換）（內錯角相等，兩直線平行）故答案為：①；②；③；④；⑤內錯角相等，兩直線平行．覆蓋訓練04:折疊問題10．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點，沿折疊，點落在點的位置．

(1)觀察發現：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點落在四邊形的內部，探究，，之間的數量關系，并證明；(3)遷移應用：如圖③，點落在邊的上方，則（2）中的結論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數量關系并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)不成立，數量關系應為：，證明見解析【分析】（1）根據已知條件，結合平行線的性質，算出，再結合折疊、四邊形內角和，算出，最后根據計算即可；（2）過點作，交于點，交于點，由平行線的性質可得，根據平行公理的推論可得，繼而得到，再結合折疊的性質可得數量關系；（3）過點作，由平行線的性質可得，根據平行公理的推論可得，繼而得到得，再結合折疊的性質可得數量關系．【詳解】（1）解：，沿折疊，點落在點的位置，，，，（兩直線平行，同旁內角互補），，，（四邊形內角和為），故答案為：（2）解：如下圖，過點作，交于點，交于點

則，，，，，由折疊的性質得，，（全等三角形對應角相等）（3）解：如下圖，過點作，則，

，，，由折疊的性質得，，（全等三角形對應角相等），即【點睛】本題考查了折疊的性質、平行線的性質、平行公理的推論．掌握折疊的性質和平行線的性質是解題的關鍵．11．如圖，延時課上，梅梅將一張長方形紙條（上、下兩邊平行）沿直線折疊，為折痕．(1)請依據所學知識判斷和的數量關系，并說明理由；(2)若，求的度數．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查了折疊的性質、平行線的性質，熟練掌握折疊的性質是解題關鍵．（1）先根據平行線的性質可得，再根據折疊的性質可得，根據平行線的性質可得，由此即可得；（2）先根據（1）的結論可得，再根據折疊的性質可得，由此即可得．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，∵，∴，由折疊的性質得：，∴，∴．（2）解：∵，，∴，由折疊的性質得：，∴．12．【問題情境】同學們熱愛數學，對數學知識有著自己的理解與表達．學習了平行線后，張明想出了過已知直線外一點畫這條直線的平行線的新方法，張明是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的1—3，虛線部分表示折痕）．(1)張明同學在探究“過直線外一點作已知直線的平行線”的活動中，通過如下的折紙方式找到了符合要求的直線．①如圖1，在紙上畫出一條直線，在外取一點P．過點P折疊紙片，使得點C的對應點落在直線上（如圖2），記折痕與的交點為A，將紙片展開鋪平．則＝_______°；②再過點P將紙片進行折疊，使得點E的對應點落在直線上（如圖3），再將紙片展開鋪平（如圖4）．此時張明說，就是的平行線．張明的說法正確嗎？請寫出過程予以證明；(2)李強同學在張明同學折紙的基礎上，補充了條件：如圖4，連接交于點G，連，并在上找一點H，使得，試判斷線段與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)①②張明的說法正確，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查折疊的性質和平行線的判定及性質，牢記折疊的性質和平行線的判定及性質是解題的關鍵．（1）根據折疊的性質可知，可求得的度數，進而求得的度數，同理可求得的度數，根據角之間的等量關系，可判斷與的位置關系．（2）根據已知條件可知，進而可得，即可判斷與的位置關系．【詳解】（1）解：根據折疊的性質可知，又，∴．∴．故答案為：．張明的說法正確．理由如下：根據折疊的性質可知，又，∴．∴．∴．（2）．理由如下：∵，∴．又，∴．∴．覆蓋訓練05:新定義運算13．對于實數a、b，定義關于“”的一種運算：，例如．(1)求的值；(2)若，，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，求一個數的平方根．新定義題型就按照題目的意思來進行計算即可，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程的解法．（1）利用題目中的新定義進行計算即可；（2）根據新定義，對式子進行化簡后得到二元一次方程，求解該方程組即可得到x，y的值，進而根據平方根的定義求解．【詳解】（1）解：根據題中的新定義得：；（2）解：根據題中的新定義得：，解得，∴，∴的平方根為．14．對有理數a、b、c、d定義新運算“”，規定，請你根據新定義規定解答下列問題：(1)計算；(2)當時，求上式的值．【答案】(1)(2)0【分析】本題考查新定義，整式化簡求值，理解新定義和掌握整式混合運算法則是解題的關鍵.（1）根據新定義，得到原式，再根據整式混合運算法則計算即可；（2）把代入（1）所得的化簡式，計算即可.【詳解】（1）解：原式．（2）解：當時，15．我們定義：一個整數能表示（a，b是整數）的形式，則這個數為“和諧數”，例如：8是“和諧數”，理由：因為，所以8是“和諧數”．(1)請判斷18________“和諧數”（填“是”或“不是”）；(2)當整數m，n滿足時，求“和諧數”的值；(3)若實數x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)是(2)12或14(3)12【分析】（1）根據“和諧數”的定義，即可求解；（2）根據，可得，從而得到，再代入，即可求解；（3）根據，可得，再代入把原式變形為，即可求解．本題主要考查了完全平方公式的應用，熟練掌握完全平方公式，理解“和諧數”的定義是解題的關鍵．【詳解】（1）解：，是“和諧數”；故答案為：是；（2）解：，，，解得：，當時，，當時，，綜上所述，“和諧數”的值為12或14；（3）解：，，，，，即，的最小值為12．覆蓋訓練06:二元一次方程組的應用16．某中學準備去采購A、B兩種實驗器材，下面是銷售人員呈現的兩次銷售記錄（每次銷售這兩種實驗器材的單價都不變），如表：A（件）B（件）金額（元）第一次20101100第二次25201750(1)求A型實驗器材與B型實驗器材的單價分別為多少元？(2)此中學打算同時采購A、B兩種實驗器材，預算為600元，請問共有幾種采購方案？【答案】(1)型實驗器材的單價為30元，型實驗器材的單價為50元(2)共有3種采購方案【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，正確列出二元一次方程．（1）設型實驗器材的單價為元，型實驗器材的單價為元，根據兩次采購A、B兩種實驗器材的金額列出方程組求解即可；（2）設購買種器材臺，種器材臺，根據預算為600元，列出方程，再結合為正整數求解即可．【詳解】（1）解：設型實驗器材的單價為元，型實驗器材的單價為元，依題意，得，解得，答：型實驗器材的單價為30元，型實驗器材的單價為50元；（2）解：設購買種器材臺，種器材臺．由題意，得，為正整數，當時，；當時，；當時，，答：共有3種采購方案．17．某商場用6600元購進A品牌取暖器和B品牌取暖器共100臺，已知A品牌取暖器每臺進價為60元，售價為80元；B品牌取暖器每臺進價為70元，售價為100元．(1)兩種取暖器各購進多少臺？(2)在將兩種取暖器從廠家運往商場的過程中，A品牌取暖器損壞了5臺（損壞后的產品只能為廢品，不能再進行銷售），而B品牌取暖器完好無損，商場決定對這兩種取暖器的售價進行調整，使這次購進的取暖器全部售完后，商場可獲利，已知B品牌取暖器在原售價基礎上提高，問A品牌取暖器調整后的每臺售價比原售價多多少元？【答案】(1)A品牌取暖器購進40臺，B品牌取暖器購進60臺(2)A品牌取暖器調整后的每臺售價比原售價多4元【分析】本題考查了一元一次方程和二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出方程是解題的關鍵．（1）設A品牌取暖器購進x臺，則B品牌取暖器購進y臺，根據“用6600元購進A品牌取暖器和B品牌取暖器共100臺”，列出方程組，解之即可得出結論；（2）設A品牌取暖器調整后的每臺售價比原售價多m元，根據＂這次購進的取暖器全部售完后，商場可獲利＂，即可得出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：設A品牌取暖器購進x臺，則B品牌取暖器購進y臺．由題意得：，解得：答：A品牌取暖器購進40臺，B品牌取暖器購進60臺．（2）解：設A品牌取暖器調整后的每臺售價比原售價多m元，由題意得：解得：答：A品牌取暖器調整后的每臺售價比原售價多4元．18．聞喜花饃是山西省運城市聞喜縣的傳統名點，是第二批國家級非物質文化遺產．春節到來之際，某電商平臺推出，兩種型號的聞喜花饃禮盒，第一天售出禮盒10個、禮盒5個，總計收入1600元，第二天售出禮盒5個、禮盒10個，總計收入2700元；(1)，兩種型號的聞喜花饃禮盒每盒的售價分別是多少元？(2)李叔叔計劃同時購買這兩種禮盒，預算為1300元．請你幫助他設計預算資金恰好用完時的購買方案．（直接回答即可）【答案】(1)型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元(2)型號禮盒購買7個，型號禮盒購買5個或型號禮盒購買1個，型號禮盒購買10個【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解此題的關鍵．（1）設型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可得解；（2）設購買型號禮盒購買個，型號禮盒購買個，根據題意列出二元一次方程，解方程即可得解．【詳解】（1）解：設型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，根據題意，得，解得，答：型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元；（2）解：設購買型號禮盒購買個，型號禮盒購買個，由題意可得：，∵、為非負整數，∴，或，，∴有兩種方案：型號禮盒購買7個，型號禮盒購買5個或型號禮盒購買1個，型號禮盒購買10個．覆蓋訓練07:陰影面積問題19．兩個邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個邊長為b的小正方形（如圖2），兩個邊長為b的小正方形疊合部分（陰影）面積為．(1)用含a，b的代數式分別表示、．(2)若，，求的值．(3)當時，求出圖3中陰影部分的面積S3．【答案】(1)，(2)34(3)20【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應用，解決問題的關鍵是根據圖形之間的面積關系進行推導計算．（1）根據正方形的面積之間的關系，即可用含、的代數式分別表示、；（2）根據，將，代入進行計算即可；（3）根據，，即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）解：由圖可得，，；（2）解：，，，；（3）解：由圖可得，，，．20．請認真觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據圖中條件，用兩種方法表示兩個陰影圖形的面積和：(只需表示，不必化簡)(2)由（1）你能得到怎樣的等量關系？請用等式表示；(3)如果圖中的滿足求的值．【答案】(1)方法一：；方法二：(2)(3)9【分析】（1）根據陰影部分的面積與空白部分的面積關系即可求出結果；（2）根據陰影部分的面積相等即可求出結果；（3）根據與已知條件即可求出對應值．【詳解】（1）解：方法一：∵圖中陰影部分的面積由兩部分組成，第一部分的面積為，第二部分的面積為：；∴陰影部分的面積的第一種表示方法為．方法二：∵大正方形的面積為；空白部分的面積為，∴陰影部分的面積為：；（2）解：由（1）可知陰影部分的面積相等，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴21．如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，且．若圖①中陰影部分的面積為3，圖②中四邊形的面積為5，求圖②中陰影部分的面積．【答案】【分析】本題考查了整式的混合運算與圖形的面積、正方形的性質等知識點，掌握數形結合思想是解題的關鍵．由題意可得、兩式相加得．再根據圖①可得，進而得到，最后根據圖②中四邊形的面積為5列式計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，兩式相加得．∵圖①中陰影部分的面積為3，∴．∵，∴．∵圖②中四邊形的面積為5，∴圖②中陰影部分的面積為．覆蓋訓練08:規律問題22．我國南宋杰出的數學家楊輝在《詳解九章算術》中記載的“楊輝三角”揭示（n為非負整數）的展開式的項數及各項系數的有關規律．如；．…………(1)請你寫出和的展開式；(2)此規律還可以解決實際問題：若今天是星期二，再過7天還是星期二，則再過天是星期________．(3)設．小明發現通過賦值法可求解系數間的關系，例如令則，聰明的你能不能求出的值，若能，請寫出過程；(4)你能在（3）的基礎上求出的值嗎？若能，請寫出過程．【答案】(1)；(2)三(3)(4)【分析】本題考查了數字類變化規律，讀懂題意并根據所給的式子找到規律是解題的關鍵．（1）根據規律即可求解；（2）通過變形得到，根據規律即可得解；（3）由題意可得，即可解答；（4）令則，與（3）中所給的式子相加可得，即可解答．【詳解】（1）解：；；（2）解：，故除以余1，則今天是星期二，再過7天還是星期二，則再過天是星期三，故答案為：三；（3）解：令則，令則，；（4）解：令則，，23．“字母表示數”被后人稱為從“算術”到“代數”的一次飛躍，用字母表示數可以從特殊到一般的表達數學規律．請觀察下列關于正整數的平方拆分的等式：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；(1)請用此方法拆分．(2)請你用上面的方法歸納一般結論，列出第n個等式（n為正整數），并借助運算證明這個結論是正確的．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了數字規律型問題，還考查了整式的混合運算和乘法公式．熟練掌握等式所反映的規律，是解題的關鍵．（1）依據材料中等式的規律解答即可；（2）根據依據材料中發現等式的規律寫出含n的等式證明成立即可．【詳解】（1）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；∴第2024個等式：（2）解：第1個等式：；第2個等式：；第3個等式：；第4個等式：；則含n的等式是．理由：∵右邊，左邊，∴左邊右邊，∴成立．24．觀察下列各式：；；……根據你發現的規律解答下列問題：(1)直接寫出結果：(2)若n是正整數，且，則(3)根據你發現的規律，計算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查整式乘除綜合，熟練掌握整式乘除相關規律是解題的關鍵，（1）根據題意找整式運算的規律，即可得到答案；（2）根據題意找整式運算的規律，即可得到答案；（3）根據（2）中整式運算規律的逆運算計算，即可得到答案；【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：故答案為：；（3）解：．覆蓋訓練09:配方法求最值25．請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法，求代數式的最小值．，∵，∴當時，有最小值．請根據上述方法，解答下列問題：(1)，則________，________；(2)求證：無論x取何值，代數式的值都是負數；(3)若代數式的最小值為3，求k的值．【答案】(1)3，1(2)見解析(3)2或【分析】本題考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知識，熟練掌握完全平方公式是解題關鍵．（1）利用完全平方公式進行配方即可得；（2）先利用完全平方公式進行配方可得，再根據偶次方的非負性即可得證；（3）先利用完全平方公式進行配方可得，再根據最小值可得，利用平方根解方程即可得．【詳解】（1）解：，所以，故答案為：3，1．（2）證明：，∵，∴，∴，即無論取何值，代數式的值都是負數．（3）解：，∵，∴，∴代數式的最小值為，又∵代數式的最小值為3，∴，解得或．26．閱讀理解：我們一起來探究代數式的值，探究一：當時，代數式的值為______，當時，代數式的值為______，可見，代數式的值隨x的改變而改變．探究二：把代數式進行變形，如：，可得：當______時，代數式取得最小值，最小值為______．請回答下列問題：(1)請補充完成探究一、探究二，直接在橫線處填空；(2)當x取何值時，代數式取得最小值，最小值為多少？(3)如圖，某中學準備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個長方形花園（圍墻最長可利用），現在已備足可以砌長的墻的材料，問：當為多少米，長方形花園的面積取得最大值，最大值是多少？【答案】(1)探究一：6，11；探究二：，2；(2)當時，取得最小值，最小值為；(3)當米時，長方形花園的面積取得最大值，最大值是200平方米．【分析】本題考查完全平方公式的應用，解題的關鍵是明確題意，列出關系式．（1）將、的值分別代入計算即可，再根據非負數的性質可得探究二中代數式的最值情況；（2）將代數式配方成，再根據非負數的性質可得答案；（3）設米，根據題意可以得到面積與矩形一邊長的關系式，然后配方即可求得結果，注意求出的邊長要符合題意．【詳解】（1）探究一：當時，代數式，當時，代數式，探究二：∵，∴當時，代數式取得最小值，最小值為2，故答案為：6、11、、2；（2）當時，取得最小值，最小值為；（3）設米，則米長方形花園的面積為∴當米時，長方形花園的面積取得最大值，最大值是200平方米．覆蓋訓練10:探索完成任務27．根據以下素材，探索完成任務．探究平行線在一副三角尺中的運用素材背景親愛的同學們，學習數學要求我們“用數學的眼光觀察現實世界”．一副三角尺為我們觀察世界提供一個小小的窗口，學完平行線性質，可探究三角尺擺放位置不同涉及的數學問題．素材如圖1是一副三角尺，．問題解決任務圖任務1如圖2，將兩個三角尺如圖擺放，使點A與點重合，點在上，與相交于點，則______度．（提示：過點作）任務2如圖3，將三角尺的直角頂點放在直線上，使，三角尺的頂點在直線上，與相交于，則與有怎樣的數量關系？說明理由．任務3將三角尺固定不動，改變三角尺的擺放位置，但始終保持兩個三角尺的頂點重合，當點A在直線的下方時，探究這兩塊三角尺一組邊互相平行的情況，請直接寫出角度所有可能的值（如圖4提供了其中一種情況）．【答案】任務一：；任務二：，理由見解析；任務三：的度數分別為，，，或【分析】任務1：過點G作，根據平行線的性的性質進行求解即可；任務2：過點D作，根據，得出，根據平行線的性質進行求解即可；任務3：分五種情況進行討論：當，當，當，當當，分別畫出圖形求出結果即可．【詳解】任務1：解：過點G作，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；任務2：，理由如下：過點D作，如圖3所示，則，∵，∴，∴，∵，且，∴．任務3：的度數分別為，，，或．詳解：如圖4，∵，，∴，∴；如圖5，∵，，∴，∴；如圖6，∵，，∴如圖7，∵，，∴，∴，∴如圖8，設與交于點T，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，平行公理的應用，三角板中角度的計算，解題的關鍵是數形結合，注意分類討論．28．根據以下素材，探索完成任務.校園實踐基地土地分割方案素材1學校有一塊總面積為的長方形空地，現將這塊空地用于建造實踐基地．

素材2將長方形空地分割為以下三種類型土地：型土地是的正方形，型土地是的正方形，型土地是的長方形．（，都是正整數）

問題解決任務一學校原計劃將長方形空地分割成1塊型土地、2塊型土地、3塊型土地（如圖），請你用兩種不同的方式表示出長方形空地的面積（用含，的式子表示）．①______；②______．

任務二學?，F決定將長方形空地分割成1塊型土地、6塊型土地、5塊型土地，請你在虛線框中畫出長方形空地的分割示意圖，并寫出一個關于，的等式．等式：______．

任務三根據任務二的分割方案，求出，的值．【答案】任務一：①；②任務二：見詳解，任務三：【分析】本題主要考查了列代數式、整式運算的應用、解二元一次方程組等知識，正確理解題意是解題關鍵．（1）根據長方形的面積公式以及分割后各塊土地面積和，分別列式即可；（2）根據題意對長方形空地進行分割，然后列出等式即可；（3）根據，都是正整數，易知該長方形的長和寬也為正整數，可設長方形的長和寬分別為和，然后列出二元一次方程組并求解即可．【詳解】解：任務一：根據題意，可得列代數式，．故答案為：①；②；任務二：長方形空地的分割示意圖如下圖所示，

根據示意圖，可得等式：．故答案為：；任務三：根據題意，長方形空地的面積為，且，都是正整數，∴該長方形的長和寬也為正整數，則長方形的寬和長只能分別為和，根據任務二中的分割方案，可得，解得．覆蓋訓練11:二元一次方程的新定義應用29．規定；形如與的兩個關于x，y的方程互為“共軛二元一次方程”，其中．由這兩個方程組成的方程組叫作“共軛方程組”，k，b稱為“共軛系數”.(1)方程的“共軛二元一次方程”為________，它們組成的“共軛一方程組”的解為_____．(2)若關于x，y的二元一次方程組為“共軛方程組”，求此“共軛方程組”的共軛系數．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據題中共軛二元一次方程的定義判斷即可，解方程組即可；（2）根據題中共軛二元一次方程的定義判斷即可求出“共軛系數”．本題主要考查了解二元一次方程組，以及二元一次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．【詳解】（1）解：根據定義，得方程的“共軛二元一次方程”為，由題意，得，解得，故答案為：，．（2）解：由二元一次方程組為“共軛方程組”，得，解得，故，故此“共軛方程組”的共軛系數為．30．我們把關于x，y的二元一次方程，叫作數對的“伴隨方程”；若是關于x，y的二元一次方程的一個解，則稱數對是數對的“伴隨數對”．(1)已知數對，在數對中，是數對的“伴隨數對”的是；(2)若數對是數對和數對的“伴隨數對”，求數對的“伴隨方程”；(3)若是n個不同的數對，滿足前一個數對是后面所有數對的“伴隨數對”，且n的最大值是t，如果關于x的不等式組恰好有2024個整數解，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了新定義，方程的解，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，正確理解新定義是解題的關鍵．（1）由題意得“伴隨方程”為：，將分別代入驗證即可；（2）由題意得，，解得：，故數對的“伴隨方程”為：；（3）解不等式組得：，由n的最大值是t，得到，則，則，確定這2024個整數解為，故，解得：．【詳解】（1）解：由題意得：“伴隨方程”為：將點代入得，將點代入得，將點代入得，將點代入得，∴點，是數對的“伴隨數對”，故答案為：；（2）解：由題意得，，解得：，∴數對的“伴隨方程”為：；（3）解：解不等式組，由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為：∵n的最大值是t，∴，則，∴，∵關于x的不等式組恰好有2024個整數解，∴這2024個整數解為，∴，解得：．覆蓋訓練12:光線問題31．【習題再現】（1）蘇科版初中數學教材七上第194第10題：如圖1，，點在，之間．寫出，，之間的數量關系，并說明理由；【遷移思考】（2）小明在完成第10題的探究后，對該頁的第5題又作了探究與變式思考：①如圖2，在長方體盒底部有一面平面鏡，點處有一個光源，光線的入射角等于反射角，法線與平面鏡垂直，即，垂足為，入射光線經過鏡面發射后，恰好經過點．小明認為，圖中，請幫小明說明理由；②如圖3，在長方體盒子里放置4塊平面鏡，其中，若光線從上的處射出，在平面鏡上經點反射后，到達上的點，其傳播路徑為請判斷與的數量關系，并說明理由．【答案】（1），理由見解析（2）①理由見解析；②，理由見解析【分析】此題主要考查了平行的性質，垂線的概念．（1）過點E作，則，由平分線的性質得，，則，據此即可得出，，之間的數量關系；（2）①根據得，則，再根據光線的入射角等于反射角得，據此即可得出結論；②由①的結論得，，則，再由（1）的結論得，，由此即可得出與的數量關系．【詳解】解：（1），，之間的數量關系是：，理由如下：過點E作，如圖所示：∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）①理由如下：∵，∴，∴，∵光線的入射角等于反射角，∴，∴；②與的數量關系是：，理由如下：由①的結論得：，，∴，∵，由（1）的結論得：，，∴．32．【原理探究】如圖①，根據光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光線與法線的夾角等于入射光線與法線的夾角（法線為經過入射點A且與平面鏡l垂直的直線），由此可得，理由為__________．【實際應用】請用【原理探究】獲得的結論解決以下問題：如圖②，平面鏡相對放置，光線經過兩次反射，為反射光線．（1）若平面鏡互相平行，那么入射光線與反射光線平行嗎？為什么？（2）若，調整平面鏡的位置，使得，請在備用圖中畫出相應的平面鏡和反射光線，并求此時的度數．【答案】原理探究：等角的余角相等；實際應用：（1）入射光線與反射光線平行，理由見解答；（2）平面鏡和反射光線見解答；或或或【分析】本題考查了作圖的應用和設計，平行線的性質，掌握平面鏡原理和平行線的性質是解題的關鍵．原理探究：根據互余的性質求解；實際應用：（1）根據平面鏡原理和平行線的判定定理求解；（2）根據平面鏡原理和平行線的性質定理求解．【詳解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，，（等角的余角相等），故答案為：等角的余角相等；實際應用：（1）入射光線與反射光線平行，理由：由平面鏡原理得：，，，，，；（2）平面鏡和反射光線如下圖③和圖④所示：當反射光線向右時：延長到F，，由平面鏡原理得：，，，，當M和N互換位置時，；當反射光線向左時：如下圖④所示：，，由平面鏡原理得：，平分，，，，當M和N互換位置時，．覆蓋訓練13:拼圖問題33．有足夠多的如圖所示的正方形和長方形的卡片．(1)選取1號、2號、3號卡片若干張，拼成一個正方形（不重疊無縫隙），并能運用拼圖前后面積之間的關系，說明，，之間的數量關系成立，請畫出這個正方形．小涵說簡單，他很快的畫出這個正方形．解：如圖1所示，正方形即為所求．設大正方形的面積為S，則面積S有兩種不同的表示法：______，______．利用這一圖形，我們可以發現，，之間的數量關系式是______．(2)小明想用類似（1）的方法解釋多項式乘法，那么用2號卡片______張，3號卡片______張．(3)如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個長方形（不重疊無縫隙）．①請畫出這個長方形的草圖．②并運用拼圖前后面積之間的關系說明這個長方形的代數意義，這個長方形的代數意義是______（寫出一個你認為正確的等式）．(4)根據（1）中的數量關系，解決如下問題：已知，，求的值．【答案】(1)，，(2)3，5(3)①見解析，②(4)【分析】本題考查了代數式，完全平方公式的應用，掌握矩形的面積公式和整式乘法法則是解題的關鍵．（1）根據矩形的面積公式求解；（2）根據矩形的面積公式求解；（3）①根據整式的乘法法則求解；②由①中圖形即可解答；（4）根據完全平方公式變形求解即可．【詳解】（1）解：∵，．∴；（2）解∵，∴用2號卡片3張，3號卡片5張；（3）解：①這個長方形為：②該大長方形的長為，寬為，面積為：，這個長方形的代數意義是：；（4）解：∵，∴，∴，∴．34．數學課上，張老師準備了圖①中、、三種型號的卡片做拼圖游戲，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為、寬為的長方形，型卡片是邊長為的正方形．(1)選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應選取_____張B型卡片，才能用它們拼成一個新的正方形，新的正方形邊長為_____（用含a，b的代數式表示）；(2)選取4張B型卡片，按圖②的方式拼圖，則中間正方形作為第四種D型卡片，由此可驗證的等量關系為_____．(3)現有A，B，C型號卡片各8張，且，從中選取張拼正方形，每種卡片至少選一張，當所拼正方形邊長最大時，的最大值為_____；(4)選取1張圖②中的D型卡片，3張B型卡片，不重疊的放在長方形內（如圖③），當的長度不變，的長度變化時，兩塊陰影部分（均為長方形）的面積差S始終為定值，探索a與b的關系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)21(4)，見解析【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，多項式乘多項式，解決本題的關鍵是掌握完全平方公式．（1）根據多項式與多項式相乘的法則即可進行計算；（2）根據正方形的性質即可解決問題；（3）利用正方形的面積即可解決問題；（4）設，根據題意可得，根據，列出等式，整理后得，進而可以解決問題．．【詳解】（1）解：；1張型卡片，4張型卡片，則應選取4張型卡片，才能用它們拼成一個新的正方形，新的正方形邊長為，故答案為：；（2）根據題意可知：，故答案為：；（3）1張型卡片的面積為張型卡片的面積為張型卡片的面積為，因此這張卡片的面積為，而，因此可以拼成一個邊長為的正方形，而卡片一共只有，，至少選7張型卡片，要使最大，則8張型卡全用上，，因此的值為，故答案為：21；（4）設，根據題意，得，，∵根據，，，，，，，或，∴與的關系為．覆蓋訓練14:平行線的折線模型35．如圖1，，過點作，可得．利用平行線的性質，可得：與，之間的數量關系是，．利用上面的發現，解決下列問題：（1）如圖2，，點是和平分線的交點，，求的度數；（2）如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數是．【答案】，；（1）；（2）．【分析】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，解答此題的關鍵是準確識圖，熟練掌握平行線的性質，難點是類比思想、方程思想在解題中的應用．（1）由已知得，根據平行線的性質得，，據此可得出與，之間的數量關系；先由得，，據此可得出的度數；（2）設，，則，，由（1）的結論得，，進而得，據此可得的度數；（3）設，則，，，由（1）的結論及得，進而得，再由（1）的結論得，然后根據比大得，據此可求出的度數．【詳解】解：與，之間的數量關系是：．理由如下：，，，，，，即：；，理由如下：，，，，即：，故答案為：，；（2）平分，平分，設，，，，由（1）的結論得：，，又，，，；（3）設，平分，，，，由（1）的結論得：，，，，，，平分，，，比大，，即：，解得：，．故答案為：．36．【感知】（1）如圖①，，求的度數．小樂想到了以下方法，請幫忙完成推理過程．解：如圖①，過點P作，【探究】（2）如圖②，，求的度數；【應用】（3）如圖③，在以上【探究】條件下，的平分線和的平分線交于點G，求的度數．（4）已知直線，點A，B在直線a上，點C，D在直線b上（點C在點D的左側），連接，的平分線與的平分線所在的直線交于點E，設，請畫出圖形并求出的度數（用含的式子表示）．【答案】（1）；推理過程見解析；（2）；（3）；（4）的度數為或或或或．【詳解】本題主要考查了平行線的判定與性質、平行公理及推論，角平分線的性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質．（1）根據平行線的性質與判定可求解；（2）過點P作，根據平行的性質求出，，由即可求解；（3）依據題意，根據的平分線和的平分線交于點G，可得的度數；（4）畫出圖形，分點A在點B左側和點A在點B右側，兩種情況，分別求解．解：（1）如圖①所示，過點P作，（兩直線平行，內錯角相等），，（平行于同一直線的兩條直線平行），（兩直線平行，同旁內角互補），，，，即；（2）如圖②，過點P作，∴，∵，∴，∴．∴；（3）如圖③所示，是的平分線，是的平分線，，，過點G作，（兩直線平行，內錯角相等）．（已知），（平行于同一條直線的兩直線平行），（兩直線平行，內錯角相等），；（4）當點A在B左側時，如圖，過點E作，則，，平分平分，，，．當點A在B右側時，點E在上方時，如圖，過點E作，則，，平分平分，，，．當點A在B右側時，點E在和外時，點E在下方時，同理可求．當點A在B右側時，點E在和內時，過點E作，則，，平分平分，，，，，或，綜上，的度數為或或或或．覆蓋訓練15:三角板旋轉平行求t或角度37．如圖1，將一副三角板按圖中所示位置擺放，點在直線上，且，與相交于點，其中，，，，．(1)求此時的度數；(2)如圖2，若三角板繞點按順時針方向旋轉，當時，求此時的度數；(3)在（2）的條件下，三角板繞點按逆時針方向以每秒的速度旋轉，設旋轉的時間為秒，當時，在這個旋轉過程中，是否還存在三角板的某一條邊與平行的情況？若存在，請求出所有滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的值為15秒或45秒或60秒【分析】本題考查了平行線的性質、一元一次方程的應用，熟練掌握平行線的性質，注意分情況討論是解題的關鍵．（1）過G作，由平行線的性質得出，再由計算即可得出答案；（2）過F作．由平行線的性質得出，再由計算即可得出答案；（3）分三種情況：當時，當時，當時，分別利用平行線的性質建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過G作，，，，，；（2）解：如圖，F作，，，，，；（3）解：分三種情況：當時，如圖：，，，，，解得；當時，如圖：，，，，解得；當時，過F作，，，，，，；，解得；綜上，三角板旋轉的時間為15秒或45秒或60秒時，存在三角板的某一條邊與平行的情況．38．綜合與探究在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“兩條平行線和一副三角板的擺放”為主題展開活動．

(1)如圖1，將兩塊三角板的一直角邊重合，含有角的直角三角板的斜邊與重合，含角的直角三角板的一個頂點在直線上，已知，求的度數．(2)如圖2，在圖1的基礎上，直角三角板固定不動，讓直角三角板繞著點逆時針方向旋轉，使得點恰好在上，邊與交于點，猜想與之間的數量關系，并說明理由．(3)在圖1的基礎上，如圖3，仍然讓直角三角板固定不動，直角三角板繞著點逆時針旋轉（旋轉度數小于），設邊（或的延長線）與相交于點，當斜邊與另一直角三角板的某一邊平行時，直接寫出（即）的度數．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了平行線的性質與判定，三角板中角度的計算；（1）過點作，則，，根據，進而根據平行線的性質，即可求解；（2）過點作，得出，根據，即可求解；（3）分三種情況討論，分別畫出圖形，，，，根據平行線的性質即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作，

∵，∴，，∴，∵，∴∴（2），理由如下，過點作，

∵，∴∴，，∴即，∵，∴，即，∴，∴，（3）解：如圖所示，當時，則

∵∴∴∴；當時，如圖所示，延長交于點，過點作

∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴，當時如圖所示，

此時旋轉度數大于，不合題意綜上所述，或覆蓋訓練16:平方差公式與幾何圖形39．某數學興趣小組在學習了“平方差公式”后，分別構造了以下四種圖形，想用“等面積法”來驗證“平方差公式”：(1)【探究】以上四種方法中能夠驗證“平方差公式”的有___________；（填序號）(2)【應用】利用“平方差公式”計算；(3)【拓展】計算：．【答案】(1)①③(2)1(3)【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，平方差公式的運用，有理數的混合運算，掌握平方差公式的結構特征是正確解答的關鍵．（1）用不同的方法分別用代數式表示各個圖形中左圖、右圖陰影部分面積即可得出等式，再進行判斷即可；（2）利用平方差公式進行計算即可；（3）利用平方差公式將原式化為計算即可．【詳解】（1）解：圖①中，左圖陰影部分可以看作兩個正方形的面積差，即，拼成的右圖是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，因此圖①可以驗證平方差公式；圖②中，左側圖形陰影部分的面積為，右側圖形陰影部分的面積為，不可驗證平方差公式；圖③中，左側陰影部分的面積為，右側陰影部分是2個梯形面積，即，∴，可驗證平方差公式；圖④中，左側陰影部分的面積，右側陰影部分的面積為，無法驗證平方差公式；故答案為：①③（2）；（3）．40．【知識生成】（1）用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到一個等式，圖1是用長為x，寬為y（）的四個完全相同的長方形拼成的一個大正方形，用兩種不同的方法計算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到三者之間的等量關系式：_____