2024-2025學年浙教版七年級數學下冊期末階段復習解答壓軸題專題訓練（附答案）1．閱讀材料：因式分解：x+y2解：將“x+y”看成整體，令x+y=A，則原式=A2+2A+1=A+12上述解題過程用到的“整體思想”，是數學解題中常用的一種思想方法．請利用“整體思想”解答下列問題：(1)因式分解：1+6x?y(2)因式分解：a22．閱讀并解決問題：分解因式(a+b)2解：設a+b=x，則原式=x這樣的解題方法叫做“換元法”，即當復雜的多項式中，某一部分重復出現時，我們用字母將其替換，從而簡化這個多項式換元法是一個重要的數學方法，不少問題能用換元法解決．請用“換元法”對下列多項式進行因式分解：(1)(m+n)2(2)(x3．19世紀的法國數學家蘇菲·熱門給出了一種分解因式x4+4的方法：他抓住了該式只有兩項，而且屬于平方和x22+22（1）利用“熱門定理”把m4熱門定理的本質是構造完全平方，用的是“添項”的方法，對于超過兩項的多項式，也可以采取“添項”的方法，先添項再減去這項，構造完全平方進行分解．例如對于二次三項式x2+2xa?3a2，可以先加上一項a2，使它與x（2）請利用“配方法”分解因式：a44．【項目學習】“我們把多項式a2+2ab+b2及a2解：a2因為a+32≥0，所以因此，當a=?3時，代數式a2+6a+8有最小值，最小值是【問題解決】利用配方法解決下列問題：（1）代數式x2?2x?1的最小值為，?2x【拓展提高】（2）當x，y何值時，代數式5x（3）如圖所示的第一個長方形邊長分別是2a+5、3a+2，面積為S1；如圖所示的第二個長方形邊長分別是5a、a+5，面積為S2．試比較S15．數學活動課上，老師準備了若干個如圖1的三種紙片（其中A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是邊長分別為a、b的長方形），并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．(1)觀察圖2，請你寫出下列三個代數式：(a+b)2，a2+(2)若要拼出一個面積為(a+3b)(2a+b)的長方形，則需要A號卡片_____張，B號卡片_____

張，C號卡片_____張；(3)解答問題：若2m+3n=10，mn=4，則2m?3n的值為_____；(4)根據（1）中得出的等量關系，解決如下問題，已知(2025?m)(m?2023)=?1010，求(2025?m)2(5)兩個正方形ABCD，AEFG如圖3擺放，邊長分別為x，y．若x2?y6．閱讀：在計算a?ba【觀察】a?ba?ba?b【歸納】a?ba【應用】計算2解：令a=2，b=1，n=2024則2?1∴結合上述材料，完成下列問題：(1)證明等式：a?ba(2)應用（1）中所證明等式，計算320(3)若多項式P，Q滿足a+b?P=a2024?b2024，a+b?Q=a20257．【知識生成】圖形是一種重要的數學語言，我國著名的數學家華羅庚先生曾經說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．在學習整式的乘法時可以發現：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進而可以利用得到的等式解決問題．（1）①如圖1，用不同的代數式表示大正方形的面積，由此得到的等式為_____；（用a、b表示）②根據上面結論，當a+b=5，ab=6時，a2【知識應用】（2）①類比1的探究過程，請用不同的代數式表示圖中大正方形的面積．由此得到的等式為_____；（用a、b、c表示）；②根據上面的結論，已知a+b+c=6，ab+ac+bc=11，則a2【知識遷移】（3）類比上述兩個題目探究過程，請直接寫出a+b+c+d2=_____．（用a、b、c、8．【閱讀理解】題目：若(10?x)(x?5)=2，求(10?x)2解：觀察發現，10?x與x?5中的?x與x互為相反數，所以我們不妨設a=10?x，b=x?5．∵(10?x)(x?5)=2，∴ab=2．∵(10?x)+(x?5)=5，∴a+b=(10?x)+(x?5)=5，∴(10?x)我們把這種方法叫做換元法，利用換元法達到簡化計算的目的，體現了轉化的數學思想．【理解應用】（1）若(8?x)(x?3)=3，則(8?x)2（2）若x滿足(2025?x)2+(x?2024)【拓展應用】如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12，點D是邊BC上的點，在邊AB上取一點E，使AE=CD，設AE=x(x>0)．分別以AB、BD為邊在△ABC外部作正方形ABFG和正方形BDMN，連結AD．若BE=4，△ABD的面積為10，直接寫出正方形ABFG和正方形BDMN的面積和．9．【閱讀理解】在比較兩個數或代數式的大小時，解決策略一般是利用“作差法”，即要比較代數式M，N的大小，只要作出差M?N，若M?N>0，則M>N；若M?N=0，則M=N；若M?N<0，則M<N．【解決問題】(1)例如：若a>0，要比較aa+1、a?1a大小，只需要用所以可得：aa+1______a?1(2)已知A=2x2?1，B=x2?2x+1(3)小王和小張的加油習慣不同，小王每次加300元的油（油箱未加滿），而小張每次都把油箱加滿．現實生活中油價常有變動，現以兩次加油為例來研究，設第一次油價為x元/升，第二次油價為y元/升（x≠y）．①小王兩次加油的平均單價為______元/升，小張兩次加油的平均單價為______元/升（用含x，y的代數式表示，化簡結果）；②請通過計算判斷，小王和小張的兩種加油方式中，哪種平均單價更低？10．為了推進五育并舉，促進學生全面發展，各校積極建設勞動實踐基地．某校有一塊長方形勞動實踐基地，長為2a?2m，寬為am

(1)去年實踐基地收獲500kg(2)該校打算將原勞動基地進行擴建，計劃將長增加14m，寬增加am，若擴建后的長方形基地面積是原來的整數倍，求整數11．閱讀下列解題過程：已知xx2+1解：由xx2+1=13，知∴x4+1以上解法中，是先將已知等式的兩邊“取倒數”，然后求出所求式子倒數的值，我們把此題的這種解法叫做“倒數法”，請你利用“倒數法”解決下面問題：(1)已知xyx+y=2，yzy+z=4(2)已知xx2?x+112．下面的框中有一道應用題，但缺了一個條件．現有兩個條件：①如果買2個籃球和6個足球共需480元；②如果買3個籃球和4個足球共需460元；請你任選一個條件補充在下面的橫線上（填序號），并按你補充的條件解答（1）（2）兩問．注意：如果選擇兩個條件分別作答，按第一個解答計分．某體育用品店售賣一批籃球和足球．如果籃球與足球各買1個共需140元；____________（1）求一個籃球和一個足球的售價各是多少元？（2）營業員在月底結算時發現售賣一個籃球獲得的利潤是售賣一個足球獲得利潤的1.25倍．該店在這個月售賣了40個籃球和52個足球，共獲利816元，求一個籃球和一個足球的進價各是多少元？（利潤=售價?進價）13．閱讀下列解方程組的方法，然后回答問題．解方程組19x+18y=17解：由①?②，得2x+2y=2，即x+y=1③，③×16，得16x+16y=16④，②?④得x=?1，從而可得y=2，∴原方程組的解是x=?1y=2(1)請你仿照上面的解題方法解方程組5x+4y=33x+2y=1(2)請你仿照上面的解題方法解方程組2027x+2026y=20252025x+2024y=2023(3)請大膽猜測關于x，y的方程組a+2x+14．已知關于x，y的方程組nx+(n+1)y=n+2x?2y+mx=?5（n(1)當n=1時，則方程組可化為x+2y=3x?2y+mx=?5①請直接寫出方程x+2y=3的所有非負整數解．②若該方程組的解也滿足方程x+y=2，求m的值．(2)當n=3時，如果方程組有整數解，求整數m的值．15．2025年“五一”假期，我市某景區精心準備，推出了A、B、C、D四種文旅項目，吸引眾多游客紛至沓來．景區為進一步優化活動項目，提升服務水平，了解游客最喜歡哪一種文旅項目，某天景區工作人員隨機向來訪的游客進行調查，對最喜歡的文旅項目進行了統計，將統計結果繪制成圖1、圖2兩幅統計圖（不完整），請根據圖中的信息解答下列問題：(1)當天共隨機調查了________名游客，圖2中，m=________；(2)補全圖1中的條形統計圖；(3)在圖2中的扇形統計圖中，求“C”所在扇形的圓心角度數；(4)據統計，2025年“五一”假期，約有5萬名游客來該景區游玩，那么根據隨機調查的統計信息，估計最喜歡B項目的游客大約有多少人？16．書法，不僅可以讓青少年認識美、發現美和感受美，而且可以讓青少年培養專注力和耐心．為了解學生每周的練字情況，某校從全體學生中隨機抽取部分學生，調查他們平均每周的練字時間t（單位：h），并對數據進行整理、描述和分析，以下是根據調查結果繪制的不完整的統計圖表．平均每周練字時間頻數統計表平均每周練字時間t頻數頻率1≤t<240.12≤t<314a3≤t<4100.254≤t<5b0.3根據以上信息，回答下列問題．(1)此次調查的樣本容量為______，表格中的a=______，b=_____；(2)補全頻數分布直方圖；(3)①若該校有1600名學生，請估計平均每周練字時間在1≤t<3范圍內的學生人數；②為了加強練字教育，促進學生增加每周練字時間，請你站在學校的角度上，提出一條合理化建議．17．如圖，直線AB∥CD，BEC是一條折線段，BP平分∠ABE．(1)如圖①，若BP∥CE，探究∠BEC和∠DCE的數量關系；(2)CQ平分∠DCE，直線BP,CQ交于點F①如圖②，探究∠E和∠F的數量關系，并說明理由；②當點E在直線AB,CD之間時，若∠BEC=40°，直接寫出∠BFC的度數．18．將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，已知PQ∥MN，∠ACB=∠EDF=90°，∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°．

(1)若三角板如圖1擺放時，則∠α=__________°，∠β=__________°(2)現固定△ABC位置不變，將△DEF沿AC方向平移至點E正好落在PQ上，如圖2所示，作∠PEA和∠MBC的角平分線交于點H，求∠EHB的度數；(3)將（2）中的△DEF固定，在△ABC繞點A以每秒15°的速度順時針旋轉至AB與直線AN首次重合的過程中，請畫出當AC∥DE和AB∥19．太陽光和燈光都是我們生活中的光源，蘊含著很豐富的數學知識．情境：當光線從空氣射入水中時，光線的傳播方向發生變化，這種現象叫做光的折射．（1）如圖1，直線AB與CD相交于點F，一束光線沿CD射入水面，在點F處發生折射，沿FE射入水中，如果∠1=40°，∠2=28°，則∠DFE的度數為______．拓展：（2）光線從空氣射入水產生折射，同時，光線從水射入空氣也發生折射，如圖2，光線EF從空氣射入水中，再從水射入空氣中，形成光線GH，根據光學知識有∠1=∠2，∠3=∠4，請判斷光線EF應用：（3）如圖3，出于安全考慮，在某段鐵路兩旁安置了A、B兩座可旋轉探照燈.假定主道路PQ∥MN，連接AB，且∠ABN=50°．燈A發出的射線AC自AQ順時針旋轉至AP，燈B發出的射線BD自BM順時針旋轉至BN后立即回轉，當射線BD回轉至BM后兩條射線停止運動，兩燈不停交叉照射巡視．燈A轉動的速度是2度/秒，燈B轉動的速度是8度/秒.它們同時開始轉動，設轉動時間為t秒，當AC與BD互相垂直時，求出此時t的值．20．綜合與探究

(1)如圖1，AO∥CP，OB∥PD，則∠AOB與∠CPD之間的數量關系為；如圖2，AO∥CP，OB∥(2)在圖3中，AB∥CD，AF∥CE，EF∥CD，∠A=45°，求(3)在圖4中，AD∥CF，DE∥BC，AB∥FG，AD平分∠EDH，試探究參考答案1．（1）解：令x?y=A，∴原式=1+6A+9==1+3x?3y（2）解：令a2∴a=====a?22．（1）解：(m+n)2設m+n=x，則原式=x∴(m+n)2（2）解：(x設x2?4x=m====x?2∴(x3．解：（1）m=m=m=m（2）a===a4．解：（1）x2∵x?12∴x2∴當x=1時，代數式x2?2x?1有最小值，最小值是?2x∵x?22∴?2x?2∴當x=2時，代數式?2x2+8x+12故答案為：?2，20；（2）5=4=2x?y∵2x?y2∴當2x?y=0，x+3=0，即x=?3,y=?6時，代數式5x故答案為：當x=?3,y=?6時，代數式5x（3）S1根據題意，可得S1S2∴S1∵a?32∴a?32+1>0，即∴S15．（1）解：由圖2知，大正方形的面積為(a+b)2，又可以為a∴(a+b)故答案為：(a+b)2（2）解：(a+3b)(2a+b)=2a∵A種紙片的面積為a2，B種紙片的面積為b2，C種紙片的面積為∴需A種紙片2張，B種紙片3張，C種紙片7張，故答案為：2，3，7；（3）解：∵2m+3n=10，mn=4，∴(2m?3n)∴2m?3n=2或2m?3n=?2，故答案為：±2；（4）解：設a=2025?m，b=m?2023，則a+b=2，ab=?1010，∴(a+b)∵a+b2∴a∴2025?m（5）解：由題意和圖形知，DG=BE=1，∴x?y=1，∵x∴x∴x+y=25，∴陰影部分的面積和為S=1故答案為：2526．（1）解：a?ba?ba?b……∴a?b（2）計算3解：令a=3，b=?1，n=21則3+13（3）解：∵a?b∴a?當n=2024時，a?∵a+b∴P=當n=2025時，a?∵a+b?Q=∴Q=∴Q=aP+7．解：1①∵正方形的邊長為a+b，∴正方形的面積為a+b2∵大正方形可以分成1個邊長為a的正方長、1個邊長為b的正方長、2個長為b寬為a的長方形，∴大正方形的面積為a2∴a+b故答案為：a+b2②由①可知a+b2∴a又∵a+b=5，ab=6，∴==25?12=13，故答案為：13；2①類比1可得：a+b+c故答案為：a+b+c2②由①可得：a2∵a+b+c=6，ab+ac+bc=11，∴==36?22=14，故答案為：14；3由2可得：a+b+c+d2故答案為：a28．解：【理解應用】1解：設8?x=a，x?3=b，則ab=3，a+b=8?x+x?3=5，∴(8?x)∴(8?x)故答案為：19；2設2025?x=m，x?2024=n，則m+n=2025?x+x?2024=1，∵(2025?x)∴m∴m∴m+n∴1?2mn=13，解得：mn=?6，∴(2025?x)(x?2024)=?6；【拓展應用】解：∵BC=12，BE=4，AE=CD=x，∴BD=12?x，AB=4+x，∵S∴1∴12?x設12?x=p，4+x=q，則pq=20，p+q=12?x+4?x=16，∵∴S9．解：（1）∵aa+1∴aa+1故答案為：>（2）1BA?=====?1∵x>?1，∴x+1>0，∴?1∴A?1∴A<1（3）小王的平均單價為：300+300300設油箱的容積為V，則小張的平均單價為：Vx+Vy2V則2xy====?∵x≠y,x>0,y>0，∴?∴2xy∴小王的加油方式平均單價更低．10．（1）解：設乙組每分鐘采摘x千克的蔬菜，則甲組每分鐘采摘2x千克的蔬菜，由題意得：500x解得：x=25，經檢驗，x=25是原分式方程的解，且符合題意，∴2x=2×25=50，答：甲組每分鐘采摘50千克的蔬菜，乙組每分鐘采摘25千克的蔬菜；（2）解：設擴建后的長方形基地面積是原來的n倍（n為正整數），由題意得：2a?2+14a+a解得：n=2a+12∵a>6，a為整數，且n為正整數，∴a=8n=4或∴a的值為8或15．11．解：（1）∵xyx+y=2，yzy+z∴1x+1y∴21∴1x∵xyzxy+yz+zx取倒數得：1∴xyzxy+yz+zx（2）∵xx2?x+1∴x即x+1∴x4∴x212．解：選擇條件①解：（1）設一個籃球的售價是x元，一個足球的售價是y元，依題意得：2x+6y=480①解得x=90y=50答：一個籃球的售價是90元，一個足球的售價是50元．（2）設賣一個足球獲得利潤為a元，賣一個籃球獲得的利潤為1.25a元，∴40×1.25a+52a=816∴a=8，即設賣一個足球獲得利潤為8元，賣一個籃球獲得的利潤為1.25a=10元，∴一個籃球的進價為90?10=80元，一個足球的進價為50?8=42元，答：一個籃球的進價為80元，一個足球的進價為42元，選擇條件②解：（1）設一個籃球的售價是x元，一個足球的售價是y元，依題意得：3x+4y=460①解得x=100y=40答：一個籃球的售價是100元，一個足球的售價是40元．（2）設賣一個足球獲得利潤為a元，賣一個籃球獲得的利潤為1.25a元，∴40×1.25a+52a=816∴a=8，即設賣一個足球獲得利潤為8元，賣一個籃球獲得的利潤為1.25a=10元，解得a=72∴一個籃球的進價為100?10=90元，一個足球的進價為40?8=32元，答：一個籃球的進價為90元，一個足球的進價為32元，13．（1）解：5x+4y=3①?②，得∴x+y=1③③×4得4x+4y=4①?④得把x=?1代入②得?3+2y=1，解得：y=2，∴方程組的解是x=?1y=2（2）解：2027x+2026y=2025①①?②得2x+2y=2，即③×2024得2024x+2024y=2024②?④得把x=?1代入③得?1+y=1，解得y=2，∴原方程組的解是x=?1y=2（3）解：猜測方程組a+2x+a+1y=a檢驗：把x=?1y=2代入方程a+2x+a+1y=a得左邊把x=?1y=2代入方程b+2x+b+1y=b，得左邊∴x=?1y=2是關于x，y的方程組a+214．（1）解：①∵x，y為非負整數，∴方程x+2y=3的所有非負整數解為x=1y=1，x=3②∵根據題意可得x+2y=3x+y=2解得x=1y=1將x=1y=1代入x?2y+mx=?5解得m=?4；（2）當n=3時，原方程組可化為3x+4y=5①由①+②×2，可得5x+2mx=?5整理可得x=?5∵方程組由整數解，且m為整數，∴5+2m=±1或5+2m=±5，當5+2m=1時，解得m=?2，此時方程組的解為x=?5y=5當5+2m=?1時，解得m=?3，此時方程組的解為x=5y=?當5+2m=5時，解得m=0，此時方程組的解為x=?1y=2當5+2m=?5時，解得m=?5，此時方程組的解為x=1y=綜上所述，整數m的值為?2或0．15．（1）解：200÷20%∴當天共隨機調查了1000名游客；∴m%∴m=28；（2）解：B文旅項目的人數為1000?280?200?170=350名，補全統計圖如下所示：（3）解：360°×20%∴“C”所在扇形的圓心角度數72°；（4）解：50000×350∴估計最喜歡B項目的游客大約有17500人。16．（1）解：樣本容量：4÷0.1=40；a=14b=40×0.3=12，故答案為：40，0.35，12；（2）補全直方圖如圖：（3）①1600×0.1+0.35答：平均每周練字時間在1≤t<3范圍內的學生人數約為720人；②落實書法課的開展，將書法練習常態化，從而提高書法練習的時間（答案不唯一，合理即可）17．（1）解：如圖，過點E作EF∥CD，∴∠DCE+∠CEF=180°，∵AB∥CD，∴AB∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∵BP平分∠ABE，∴∠PBE=1∴∠PBE=1∵BP∥CE，∴∠BEC=∠PBE，∴∠BEC=12∠BEF又∵∠BEF=∠BEC+∠CEF，∴∠BEC=∠CEF，∴∠BEC+∠DCE=180°．（2）解：①∠BEC+2∠PFQ=180°，理由如下：∵BP平分∠ABE，CQ平分∠DCE，∴∠ABP=12∠ABE如圖，過點E作MN∥CD，過點F作GH∥CD，∴AB∥CD∥MN∥GH，∴∠GFP=∠ABP=12∠ABE∠ABE=∠BEN=∠BEC+∠NEC，∠DCE=∠MEC=∠BEC+∠BEM，∴∠BEC=180°?∠NEC?∠BEM=180°?=180°?∠ABE?∠DCE+2∠BEC，∴∠ABE+∠DCE=180°+∠BEC，∴∠PFQ=180°?∠GFP?∠HFQ=180°?=180°?=180°?=90°?1∴∠BEC+2∠PFQ=180°．②∵BP平分∠ABE，CQ平分∠DCE，∴∠ABP=12∠ABE（Ⅰ）如圖1，當點E在直線AB,CD之間，且∠ABE為銳角，∠DCE為鈍角時，過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，∵AB∥CD，EM∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠ABE=∠BEM，∠CEM=180°?∠DCE，∵∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°，∴∠ABE+180°?∠DCE=40°，即∠DCE?∠ABE=140°，∵AB∥CD，FN∥CD，∴AB∥CD∥FN，∴∠NFB=∠ABP=12∠ABE∴∠BFC=∠NFC?∠NFB=1（Ⅱ）如圖2，當點E在直線AB,CD之間，且∠ABE和∠DCE均為鈍角時，過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，∵AB∥CD，EM∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM=180°?∠ABE，∠CEM=180°?∠DCE，∵∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°，∴180°?∠ABE+180°?∠DCE=40°，即∠DCE+∠ABE=320°，∵AB∥CD，FN∥CD，∴AB∥CD∥FN，∴∠NFB=∠ABP=12∠ABE∴∠BFC=∠NFC+∠NFB=1（Ⅲ）如圖3，當點E在直線AB,CD之間，且∠ABE和∠DCE均為銳角時，過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，∵AB∥CD，EM∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM=∠ABE，∠CEM=∠DCE，∵∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°，∴∠ABE+∠DCE=40°，∵AB∥CD，FN∥CD，∴AB∥CD∥FN，∴∠NFB=∠ABP=12∠ABE∴∠BFC=∠NFC+∠NFB=1（Ⅳ）如圖4，當點E在直線AB,CD之間，且∠ABE為鈍角，∠DCE為銳角時，過點E作EM∥CD，過點F作FN∥CD，∵AB∥CD，EM∥CD，∴AB∥CD∥EM，∴∠BEM=180°?∠ABE，∠CEM=∠DCE，∵∠BEM+∠CEM=∠BEC=40°，∴180°?∠ABE+∠DCE=40°，即∠ABE?∠DCE=140°，∵AB∥CD，FN∥CD，∴AB∥CD∥FN，∴∠NFB=∠ABP=12∠ABE∴∠BFC=∠NFB?∠NFC=1綜上，∠BFC的度數為70°或20°或160°．18．（1）解：過E作EJ∥PQ，如圖1，

∵PQ∥MN，∴PQ∥EJ∥PQ，∴∠α=∠DEJ,∠AEJ=∠BAE=45°，∵∠DEF=∠DEJ+∠AEJ=∠α+45°=60°，∴∠α=60°?45°=15°，∵∠DFE=30°，∴∠β=180°?∠DFE=180°?30°=150°，故答案為：15；150．（2）利用（1）可證，∠EHB=∠PEH+∠MBH，∵PQ∥MN，∴∠QEA=∠BAC=45°，∴∠AEP=180°?45°=135°，∵∠CBA=45°，∴∠CBM=180°?45°=135°，∵HE,HB分別平分∠PEA和∠MBC，∴∠PEH=1∴∠EHB=∠PEH+∠MBH=135°．（3）當AC∥DE時，如圖2，

延長DF，CA交于點J，∵AC∥DE，∠ACB=∠EDF=90°，∴∠