.4乘法公式一、平方差公式兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差。即：a2-b2=(a+b)(a-b)二、完全平方公式1、兩數(shù)和的平方等于這兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的兩倍。即：(a+b)2=a2+2ab+b22、兩數(shù)差的平方等于這兩數(shù)的平方和減去這兩數(shù)乘積的兩倍。即：(a-b)2=a2-2ab+b2鞏固課內(nèi)例1:用平方差公式計算1．下列整式的乘法計算中能運用平方差公式計算的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了利用平方差公式進行計算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式判斷解答即可．【詳解】解：A．不符合平方差公式，本選項錯誤；B．不符合平方差公式，本選項錯誤；C．符合平方差公式，本選項正確；D．不符合平方差公式，本選項錯誤；故選：C．2．計算的結(jié)果為．【答案】【分析】本題考查平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)平方差公式進行計算即可【詳解】解：，故答案為：．3．利用平方差公式計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平方差公式進行計算即可．（2）根據(jù)平方差公式進行計算即可；（3）根據(jù)平方差公式進行計算即可；本題主要考查了整式的乘法，解題關(guān)鍵是熟練掌握平方差公式．【詳解】（1）解：原式；（2）解：原式；（3）解：原式．鞏固課內(nèi)例2:用平方差公式簡便計算1．用簡便方法計算：的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用積的乘方的逆用和平方差公式進行計算，即可得到答案．【詳解】解：，故選C．【點睛】本題考查了積的乘方的逆用和平方差公式，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．2．運用乘法公式簡便計算：．【答案】1【分析】本題主要考查了平方差公式，掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：．故答案為：．3．用簡便方法計算：．【答案】【分析】本題主要考查了整式的乘法公式——平方差公式，掌握“”是解題關(guān)鍵．利用平方差公式，將變形為即可求解．【詳解】解：原式．鞏固課內(nèi)例3:用完全平方公式計算1．用完全平方公式計算的值，下列變形最恰當?shù)氖牵?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查利用完全平方公式進行簡便運算，熟練掌握該公式變形是解題關(guān)鍵.把化為即可.【詳解】解：，此時計算最簡便；故選B2．化簡的值是．【答案】/【分析】本題考查了完全平方公式，整式的加減，先根據(jù)完全平方公式化簡，再去括號合并同類項．【詳解】解：．故答案為：．3．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了整式的混合運算、完全平方公式、平方差公式等知識點，掌握相關(guān)運算法則成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)完全平方公式、平方差公式計算，然后再合并同類項即可．【詳解】解：．鞏固課內(nèi)例4:完全平方公式計算中的面積問題1．將一個邊長為米的正方形廣場進行擴建，擴建后的正方形邊長比原來長米，則擴建后廣場面積增大了（

）A．平方米 B．平方米C．平方米 D．平方米【答案】B【分析】本題主要考查了整式的運算，涉及完全平方公式，列代數(shù)式等知識點，讀懂題意，根據(jù)題中的數(shù)量關(guān)系正確列出算式是解題的關(guān)鍵．由題意得，擴建后廣場面積增大了，利用完全平方公式將算式展開，然后去括號、合并同類項即可．【詳解】解：由題意得：擴建后廣場面積增大了：（平方米），故選：．2．已知甲、乙兩位同學(xué)家菜地都是正方形，甲同學(xué)家菜地的周長比乙同學(xué)家菜地的周長長96米，他們兩家的菜地的面積相差960平方米，則甲同學(xué)家菜地的邊長為米．【答案】32【分析】本題考查了運用平方差和完全平方公式的計算，熟練掌握平方差和完全平方公式是解題的關(guān)鍵；設(shè)甲同學(xué)家菜地的邊長分別是x米，則乙同學(xué)家菜地的邊長，列式運用平方差和完全平方公式解答即可．【詳解】解：設(shè)甲同學(xué)家菜地的邊長分別是x米，則乙同學(xué)家菜地的邊長，根據(jù)題意，得故答案為：32．3．《中華人民共和國體育法》規(guī)定：國家優(yōu)先發(fā)展青少年和學(xué)校體育，堅持體育和教育融合，文化學(xué)習(xí)和體育鍛煉協(xié)調(diào)，體魄與人格并重，促進青少年全面發(fā)展．某校計劃在一塊長為，寬為的長方形空地上，修建一塊邊長為的正方形體能訓(xùn)練基地和一塊長為，寬為的長方形羽毛球場地，然后將剩余陰影部分進行綠化．

(1)求綠化部分的面積（用含，的代數(shù)式表示）；(2)當，時，求綠化部分的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式運算的實際應(yīng)用，代數(shù)式求值：（1）用大長方形的面積減去正方形的面積減去小長方形的面積，求解即可；（2）把，代入（1）中的結(jié)果，進行計算即可．【詳解】（1）解：綠化部分面積為：；（2）解：當，時，原式．答：綠化面積為．類型一、平方差公式的簡單運算1．下列各式不能用平方差公式計算的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查平方差公式：，根據(jù)平方差公式逐項分析即可．【詳解】解：A、，故能夠用平方差公式計算；B、不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)，故不能夠用平方差公式計算；C、，故能夠用平方差公式計算；D、，故能夠用平方差公式計算；故選：B．2．若，則．【答案】4【分析】本題主要考查了平方差公式的應(yīng)用，先根據(jù)平方差公式分解，再整體的代入求值即可．【詳解】解：∵，，∴，解得．故答案為：4．3．計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查整式的乘法：（1）利用單項式乘單項式的法則，進行計算即可；（2）利用平方差公式進行計算即可．【詳解】（1）解：原式（2）原式．類型二、完全平方公式的簡單運算1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．利用完全平方公式即可直接得出答案．【詳解】解：，故選：．2．如果，那么．【答案】/【分析】此題考查了完全平方公式．根據(jù)題意得到，利用完全平方公式展開，再合并同類項即可．【詳解】解：∵，∴．故答案為：．3．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查完全平方公式的運用，掌握完全平方公式的計算是解題的關(guān)鍵．（1）運用的方法計算即可；（2）運用的方法計算即可；（3）運用的方法計算即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．類型三、平方差公式與完全平方公式的簡便運算1．【教材隨堂練習(xí)1變式】若用簡便方法計算，應(yīng)當用下列哪個式子（）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題考查了完全平方公式與平方差公式的應(yīng)用．熟記公式是準確求解此題的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式與平方差公式的應(yīng)用，即可求得答案．【詳解】解：A、，符合題意；B、，不符合題意；C、，不符合題意；D、，不符合題意，故選：A．2．用簡便方法計算的結(jié)果是．【答案】1【分析】本題考查了完全平方公式，先根據(jù)完全平方公式進行變形，再求出答案即可．【詳解】解：．故答案為：1．3．簡便計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）把變形解答即可；（2）根據(jù)變形解答即可．本題考查了公式應(yīng)用計算，熟練掌握公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：．（2）解：．類型一、平方差公式列幾何圖形1．在數(shù)學(xué)實踐課上，“智慧小組”將大正方形的陰影部分裁剪下來重新拼成一個圖形，以下4幅拼法中，其中能夠驗證平方差公式的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】C【分析】本題考查了幾何圖形的面積與平方差公式的應(yīng)用，正確計算陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．分別計算原圖陰影部分面積與拼后圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等即可作出判斷，從而確定結(jié)果．【詳解】解：①左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；②左邊陰影圖形面積為，右邊長方形的長為，寬為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；③左邊陰影圖形面積為，右邊平行四邊形的底為，高為，面積為，可得，能夠驗證平方差公式，符合題意；④左邊陰影圖形的面積為，右邊長方形的面積為，不能夠驗證平方差公式，不符合題意；∴能夠驗證平方差公式的有圖①②③，故選：C．2．如圖，在邊長為的正方形中挖掉一個邊長為的小正方形，把余下的部分剪成一個矩形，通過計算兩個圖形（陰影部分）的面積，驗證了一個等式是．【答案】【分析】根據(jù)兩個圖形的特征結(jié)合正方形、長方形的面積公式，即可求解，本題考查了平方差公式的幾何表示，運用不同方法表示陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：左圖中陰影部分的面積，右圖中陰影部分的面積，可以驗證，故答案為：．3．仔細觀察圖①、圖②，回答下列問題：(1)如圖①，可以求出陰影部分的面積是_______（寫成兩數(shù)平方差的形式）；(2)若將陰影部分剪下來，重新拼成一個長方形（如圖②），則它的寬是_______，長是_______，面積是_______；(3)比較圖①、圖②中陰影部分的面積，可以得到的乘法公式是_________（用含的等式表示）．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】本題考查了平方差公式的幾何形式：（1）陰影部分的面積為大正方形減去小正方形的面積，用面積公式求即可；（2）觀察圖形，陰影部分的寬是小長方形的寬，陰影部分的長是兩個小長方形的長之和，再根據(jù)長方形的面積公式即可求；（3）利用面積相等即可得到等式．【詳解】（1）陰影部分的面積大正方形的面積小正方形的面積面積（2）觀察圖形，陰影部分的寬是小長方形的寬：陰影部分的長是兩個小長方形的長之和：所以陰影部分的面積為長方形的面積：（3）兩個陰影部分的面積相同，即．類型二、完全平方公式列幾何圖形1．下列圖形陰影部分的面積能夠直觀地解釋的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，熟練根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)進行列等式是正確解答的關(guān)鍵．根據(jù)完全平方公式的幾何背景，結(jié)合面積之間的和差關(guān)系進行判斷即可．【詳解】解：A中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；B中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；C中，利用陰影部分的面積可得，故不符合題意；D中，利用陰影部分的面積可得，故符合題意；故選：D．2．如圖1所示，大正方形的邊長是，它是由兩個小正方形和兩個長方形組成，所以大正方形的面積等于這四個圖形的面積之和．根據(jù)這樣的等積法，我們可以得出結(jié)論：．請你根據(jù)等積法，利用圖2寫出的計算結(jié)果．【答案】【分析】用代數(shù)式分別表示圖形中各個部分的面積，再根據(jù)各個部分面積之間的關(guān)系進行解答即可．本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．【詳解】解：整體上是邊長為的正方形，因此面積為，拼成大正方形的9個部分的面積和為，∴，故答案為：．3．如圖，某市準備用一塊大正方形土地來建造住宅，廣場和商業(yè)用地，其中住宅區(qū)域是長為，寬為的長方形，廣場區(qū)域是邊長為的正方形，商業(yè)用地是長為，寬為的長方形．(1)用兩種方法表示大正方形土地的面積為：①________，②________，并得出一個等式：________；(2)若，，求商業(yè)用地的面積．【答案】(1)；；(2)600【分析】此題考查了完全平方公式的幾何背景，熟練掌握正方形及長方形面積公式是解本題的關(guān)鍵．（1）大正方形的面積可以用邊長的平方來求，也可以分為兩個小長方形面積與小正方形面積之和來求；（2）利用完全平方公式變形后，把已知等式代入計算即可求出所求．【詳解】（1）解：用兩種方法表示大正方形土地的面積為：①；②，并得出一個等式．故答案為：；；；（2）解：因為，，所以，即，所以，所以商業(yè)用地的面積為600．類型三、完全平方式1．如果是一個完全平方式，那么的值為（

）A．8 B． C．或8 D．或5【答案】C【分析】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)題意可得兩平方項為，則一次項為，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵是一個完全平方式，，∴，∴，∴或，故選：C．2．若是一個完全平方式，則的值是．【答案】【分析】本題考查完全平方式，符合形式的式子叫完全平方式，根據(jù)平方項以及完全平方式的乘積二倍項即可確定的值．掌握完全平方式的特點是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵是一個完全平方式，又∵，∴，∴的值是．故答案為：．3．（1）分解下列因式，將結(jié)果直接寫在橫線上：；；；（2）觀察以上三個多項式的系數(shù)，有，，，于是小明猜測：若多項式是完全平方式，則實數(shù)系數(shù)a、b、c一定存在某種關(guān)系：①請你用數(shù)學(xué)式子表示a、b、c之間的關(guān)系：；②解決問題：若多項式是一個完全平方式，求m的值．【答案】（1），，；（2）①；②【分析】此題考查了完全平方式，列代數(shù)式．（1）利用完全平方公式分解即可；（2）①觀察各式的特征，得到，，之間的關(guān)系即可；②根據(jù)①得出的三者之間的關(guān)系列出方程，求出方程的解即可得到的值．【詳解】解：（1）；；；故答案為：，，；（2）①若多項式是完全平方式，則實數(shù)系數(shù)，，一定存在某種關(guān)系為；故答案為：；②∵多項式是一個完全平方式，∴，解得：．類型四、完全平方公式的變形求解1．已知，則的值為（

）A．9 B．3 C．12 D．6【答案】B【分析】本題考查了完全平方公式，熟記完全平方公式是解題關(guān)鍵．利用完全平方公式求解即可得．【詳解】解：，，故選：B．2．已知，，則，．【答案】10【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于熟練掌握完全平方公式的變換．根據(jù)完全平方公式變形計算求解即可．【詳解】∵∴∵∴∴得，∴；∴得，∴．故答案為：10，．3．圖①是四個全等的小長方形拼成的大正方形，大正方形的邊長為，小正方形（陰影部分）的邊長為．(1)觀察圖①，直接寫出三者之間的數(shù)量關(guān)系式：_______；(2)根據(jù)（1）的結(jié)論解答：如圖②，兩個正方形的邊長分別為，且三點在一條直線上．若，，求圖②中陰影部分的面積．【答案】(1)(2)陰影部分的面積為8【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景及完全平方公式的變式應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式的幾何背景及完全平方公式的變式應(yīng)用進行求解是解決本題的關(guān)鍵．（1）跟圖圖1可知，邊長為的大正方形是由4個長為a，寬為b的長方形和邊長為的正方形組成，根據(jù)正方形和長方形面積公式進行計算即可得出答案；（2）應(yīng)用完全平方公式的變式應(yīng)用進行計算即可得出答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可得，；故答案為：（2）解：由（1）可得，∴，把，代入上式，得：．∴圖2中陰影部分的面積為．類型五、不含某項、與某項無關(guān)1．計算的結(jié)果中不含x項，則m的值為（

）A．6 B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了整式加減中的無關(guān)型問題，多項式乘以多項式，以及完全平方公式，掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．原式利用多項式乘以多項式法則和完全平方公式展合并，根據(jù)結(jié)果不含x的一次項，確定出m的值即可．【詳解】解：結(jié)果中不含x項，x項的系數(shù)為，即，解得．故選D．2．已知代數(shù)式的展開式中不含和x項，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了多項式乘多項式，完全平方公式，直接根據(jù)多項式乘多項式法則進行計算，由不含某一項就是說這一項的系數(shù)為0，得出，，然后根據(jù)完全平方公式求解即可．【詳解】解：，∵代數(shù)式的展開式中不含和x項，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．3．已知：的結(jié)果中不含關(guān)于字母的一次項，求的值．【答案】16【分析】此題主要考查了整式的化簡求值．熟練掌握多項式乘以多項式的法則，完全平方公式，平方差公式，合并同類項，不含型問題，是解題的關(guān)鍵．首先利用多項式的乘法法則化簡已知式，由結(jié)果中不含關(guān)于字母x的一次項，令一次項系為0，求得a的值，然后把所求的式子化簡，然后代入求值即可．【詳解】解：，∵結(jié)果中不含關(guān)于字母x的一次項，∴，∴．類型一、楊輝三角1．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算術(shù)》一書中，用如圖的三角形解釋二項式的展開式的各項系數(shù)，此三角形稱為“楊輝三角”．根據(jù)“楊輝三角”請計算的展開式中第三項的系數(shù)為（

）

A．45 B．55 C．2024 D．2025【答案】A【分析】本題考查數(shù)字變化規(guī)律．根據(jù)圖形中的規(guī)律即可求出的展開式中第三項的系數(shù)．【詳解】解：找規(guī)律發(fā)現(xiàn)的第三項系數(shù)為；的第三項系數(shù)為；的第三項系數(shù)為；∴的第三項系數(shù)為，∴第三項系數(shù)為，故選：A．2．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中揭示了（n為非負整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律如下，后人也將下表稱為“楊輝三角”．……11

11

2

11

3

3

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4

6

4

11

5

10

10

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1……則展開式中所有項的系數(shù)和是．（結(jié)果用指數(shù)冪表示）【答案】【分析】本題考查了“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和的求法，通過觀察展開式中所有項的系數(shù)和，得到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“楊輝三角”展開式中所有項的系數(shù)和規(guī)律確定出（n為非負整數(shù)）展開式的項系數(shù)和為，求出系數(shù)之和即可．【詳解】解：當時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當時，展開式中所有項的系數(shù)和為，當時，展開式中所有項的系數(shù)和為，由此可知展開式的各項系數(shù)之和為，則展開式中所有項的系數(shù)和是，故答案為：．3．我國古代數(shù)學(xué)的許多發(fā)現(xiàn)都曾位居世界前列，其中“楊輝三角”就是一例．如圖，這個三角形的構(gòu)造法則：兩腰上的數(shù)都是1，其余每個數(shù)均為其上方左右兩數(shù)之和，它給出了（為正整數(shù)）的展開式（按的次數(shù)由大到小的順序排列）的系數(shù)規(guī)律．例如，在三角形中第四行的四個數(shù)，恰好對應(yīng)著展開式中的系數(shù)．(1)根據(jù)上面的規(guī)律不難發(fā)現(xiàn)，的展開式共有______項，請寫出它的展開式______；(2)的展開式共有______項，系數(shù)和為______；(3)利用上面的規(guī)律計算：【答案】(1)6，(2)，(3)1【分析】本題考查多項式乘法中的規(guī)律探究，完全平方公式的應(yīng)用，正確理解“楊輝三角”的規(guī)律是求解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)圖中規(guī)律，寫出的展開式即可；（2）根據(jù)前三個展開式中的項數(shù)，求出前幾個的系數(shù)和，找到規(guī)律，進行求解即可．（3）根據(jù)材料的逆運算可得出答案．【詳解】（1）解：∵，，，∴，；故答案為：6，；（2）解：∵，有項；，有項；，有項；∴的展開式中有個項；∵，展開式的系數(shù)和為：；，展開式的系數(shù)和為：；，展開式的系數(shù)和為：；∴，展開式的系數(shù)和為：．故答案為：，；（3）∵∴原式.類型二、新定義問題1．定義運算：．下面給出了關(guān)于這種運算的幾種結(jié)論：①，②，③若，則，④若，則或，其中結(jié)論正確的序號是（

）A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④【答案】A【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，解答的關(guān)鍵是理解有理數(shù)的混合運算法則，理解新定義的運算法則．①根據(jù)新定義的運算法則，將代入計算進行判定求解．②由新定義的運算法則，分別表示出和，根據(jù)和兩種情況來進行判定求解．③利用新定義的運算法則，把進行計算，再將求出結(jié)果來進行判定求解．④由新定義的運算法則和得到，進而求出和的值來判定求解．【詳解】解：，，故①符合題意；，，當時，，當時，，與不一定相等，故②不符合題意；，，故③不符合題意；，，或，即或，故④符合題意，綜上所述結(jié)論正確的序號有：①④．故選：A．2．定義新運算“”，對于任意實數(shù)都有．例如：．若，則．【答案】5【分析】本題考查了平方差公式和代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義運算法則得到關(guān)于x的等式．根據(jù)新運算的定義列出等式，然后再形求解即可．【詳解】解：由題意得：，整理得：，．故答案為：5．3．在學(xué)習(xí)整式乘法一章時，小明定義：若一個整數(shù)能表示成（是整數(shù)）的形式，則稱這個數(shù)為“妙數(shù)”．例如：10是“妙數(shù)”，因為；再如：（是整數(shù)），所以也是“妙數(shù)”．(1)判斷20是否為“妙數(shù)”___________（填“是”或者“否”）；(2)已知（是整數(shù)）是常數(shù)，要使為“妙數(shù)”，試求出符合條件的一個值，并說明理由．【答案】(1)是(2)，理由見解析【分析】本題考查完全平方公式：（1）根據(jù)新定義，進行判斷即可；（2）利用完全平方公式，將轉(zhuǎn)換為：，根據(jù)新定義，得到，進行求解即可．【詳解】（1）解：，∴20是“妙數(shù)”；故答案為：是；（2）解：，理由如下：．為“妙數(shù)”，，類型三、規(guī)律問題1．觀察各式：；；；…根據(jù)以上規(guī)律計算：的值是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了平方差公式的推廣，要讀懂題目信息并總結(jié)出規(guī)律，具有規(guī)律性是特殊式子的因式分解，解題的關(guān)鍵是找出所給范例展示的規(guī)律：先計算，然后再計算所給式子即可得到答案．【詳解】解：∵，∴原式．故選：B．2．觀察下列等式：；；；；根據(jù)上述規(guī)律，計算．【答案】【分析】本題考查了平方差公式，認真觀察各式，根據(jù)指數(shù)的變化情況總結(jié)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．觀察已知等式得到一般規(guī)律：，據(jù)此即可計算求值．【詳解】解：由題意可得，，故答案為：．3．觀察以下等式：第1個：第2個：第3個：按照以上規(guī)律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：．(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，見解析【分析】本題考查了數(shù)字變化規(guī)律，通過觀察總結(jié)歸納出變化規(guī)律是解題關(guān)鍵；（1）根據(jù)前三個等式，即可得解；（2）先歸納總結(jié)出一般規(guī)律，得出第n個等式，再分別計算等式的兩邊即可得證．【詳解】（1）解：第5個等式為：，故答案為：；（2）解：第n個等式為：，證明：左邊，右邊，左邊右邊，等式成立．類型四、平方差公式的應(yīng)用1．如圖，小正方形和大正方形相鄰，，，三點在同一條直線上，，，三點在同一條直線上．連接、、，若陰影部分的面積為，則大正方形的面積與小正方形的面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵；設(shè)小正方形的邊長為，大正方形的邊長為，則，，可得，再由陰影部分的面積為，可得，即可求解；【詳解】解：設(shè)小正方形的邊長為，大正方形的邊長為則，，，陰影部分的面積為，，，，即大正方形的面積與小正方形的面積之差為；故選：D2．如圖，若大正方形與小正方形的面積之差為17，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】本題考查了平方差公式，掌握正方形、三角形的面積公式是正確解答的前提．設(shè)大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則，由題意可得，將轉(zhuǎn)化為，即，代入計算即可．【詳解】解：如圖，設(shè)大正方形的邊長為，小正方形的邊長為，則，由于大正方形與小正方形的面積之差是17，即，．故答案為：．3．如圖，邊長為的正方形中有一個邊長為的小正方形，將圖中陰影部分剪裁后拼成一個長方形，如圖所示．(1)設(shè)圖中陰影部分面積為，圖中陰影部分面積為，請直接用含，的代數(shù)式表示，；(2)請寫出上述過程所揭示的乘法公式；(3)試利用此公式計算：．【答案】(1)，(2)(3)【分析】本題考查了平方差公式的幾何意義，掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)正方形、長方形的面積公式即可求解；（2）根據(jù)題目已知，兩圖形面積相等即可寫出公式；（3）根據(jù)任何數(shù)（或式）乘以，仍得這個數(shù)（或式），即可將原式變形為，然后反復(fù)運用平方差公式，即可求出結(jié)果．【詳解】（1）解：依題意得，；（2）解：依據(jù)陰影部分的面積相等，可得；（3）解：原式，，，，，．類型五、完全平方公式的應(yīng)用1．如圖，小敏同學(xué)在計算機軟件上設(shè)計一個圖案，畫一個正方形覆蓋在正方形的右下方，使其重疊部分是長方形，面積記為，兩個較淺顏色的四邊形都是正方形，面積分別記為，．已知，，且，則為（

）A．15 B．22 C．28 D．30【答案】C【分析】本題考查完全平方公式與幾何圖形的面積，根據(jù)正方形的性質(zhì)，得到，設(shè)，得到，進而得到，進而得到，利用完全平方公式變形計算即可．【詳解】∵正方形，∴，∴，∴，設(shè)，則：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即：，∴．2．有兩個正方形A，B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖①，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖②．若圖①和圖②中陰影部分的面積分別為4和18，則圖②所示的大正方形的面積為．【答案】40【分析】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由面積得，，整理得，，即可求解；掌握、、三者之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)正方形A的邊長為a，正方形B的邊長為b，由圖①得：，，，由圖②得：，，，，∴圖②所示的大正方形的面積：，故答案為：40．3．【知識回顧】數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種重要的思想方法，借助圖的直觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問題．（1）圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為____________；圖2中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為____________．【拓展探究】（2）若，求的值．【解決問題】（3）如圖3，是線段上的一點，分別以為邊向直線兩側(cè)作正方形，正方形，連接.若，兩正方形的面積和為31，求多邊形的面積．【答案】知識回顧：，；拓展探究：52；解決問題：40【分析】本題考查了完全平方公式與圖形面積，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．知識回顧：根據(jù)圖1和圖2中陰影部分的面積的兩種計算方法即可得；拓展探究：由，代入即可求解；解決問題：設(shè)正方形和的邊長分別為，則，從而可得，再利用完全平方公式求出的值，然后利用2個直角三角形的面積加上兩個正方形面積求解即可得．【詳解】解：知識回顧：圖1中陰影部分的面積有兩種方法計算，方法一：直接利用正方形的面積公式計算為；方法二：兩個小正方形與兩個小長方形的面積之和，即，所以圖1中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為；圖2中陰影部分的面積有兩種方法計算，方法一：直接利用正方形的面積公式計算為；方法二：利用大正方形的面積減去兩個小長方形的面積，再加上一個小正方形的面積，即，所以圖2中陰影部分的面積能解釋的乘法公式為；故答案為：，；拓展探究：∵，，∴，∴；解決問題：設(shè)正方形和的邊長分別為，則，如圖：∵，兩正方形的面積和為31，∴，∴，∴多邊形的面積為．1．下列計算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】此題主要考查了冪的乘方運算，同底數(shù)冪的乘法的運算，合并同類項的方法，以及完全平方公式的應(yīng)用，要熟練掌握．根據(jù)冪的乘方，同底數(shù)冪乘法，完全平方公式以及合并同類項，逐項判斷即可．【詳解】解：∵，∴選項A符合題意；∵，∴選項B不符合題意；∵，∴選項C不符合題意；∵，不是同類項，不能合并，∴選項D不符合題意．故選A．2．下列多項式的乘法中，不能運用平方差公式進行計算的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平方差公式，理解并掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是解題關(guān)鍵．平方差公式：，據(jù)此逐項分析判斷即可．