高二數學選修試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數\(f(x)=x^{3}-3x\)的單調遞增區間是（）A.\((-∞,-1)\)B.\((1,+∞)\)C.\((-∞,-1)\)和\((1,+∞)\)D.\((-1,1)\)2.曲線\(y=\sinx\)在點\((\frac{\pi}{2},1)\)處的切線方程是（）A.\(y=0\)B.\(x=\frac{\pi}{2}\)C.\(y=1\)D.\(y=x+1\)3.已知\(a=(2,-3,1)\)，\(b=(2,0,3)\)，\(c=(0,0,2)\)，則\(a+6b-8c\)等于（）A.\((14,-3,3)\)B.\((14,-3,35)\)C.\((14,-3,-12)\)D.\((-14,3,-3)\)4.橢圓\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\)的離心率是（）A.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)B.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{3}\)5.拋物線\(y^{2}=8x\)的焦點坐標是（）A.\((2,0)\)B.\((-2,0)\)C.\((0,2)\)D.\((0,-2)\)6.命題“\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\gt0\)”的否定是（）A.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\leq0\)B.\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+x+1\leq0\)C.\(\forallx\inR\)，\(x^{2}+x+1\lt0\)D.\(\existsx\inR\)，\(x^{2}+x+1\lt0\)7.已知\(p\)：\(x\gt1\)，\(q\)：\(x^{2}\gt1\)，則\(p\)是\(q\)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件8.函數\(f(x)=x^{2}\lnx\)的導數為（）A.\(f^\prime(x)=2x\lnx+x\)B.\(f^\prime(x)=2x\lnx\)C.\(f^\prime(x)=x\lnx+x\)D.\(f^\prime(x)=x\lnx\)9.已知雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{3}{4}x\)，則雙曲線的離心率為（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{3}\)10.若函數\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處的導數\(f^\prime(x_{0})=0\)，則\(x=x_{0}\)一定是函數\(f(x)\)的（）A.極大值點B.極小值點C.極值點D.不一定是極值點二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列關于空間向量的說法正確的是（）A.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)是兩個非零向量，且\(\lambda\overrightarrow{a}=\mu\overrightarrow{b}\)，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow{b}\)共線B.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)C.若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{c}\)是空間的一個基底，則\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\)，\(\overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}\)也可構成空間的一個基底D.向量\(\overrightarrow{a}\)在向量\(\overrightarrow{b}\)上的投影向量為\(\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\vert\overrightarrow{b}\vert^{2}}\overrightarrow{b}\)2.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)的性質正確的有（）A.長軸長為\(2a\)B.短軸長為\(2b\)C.焦距為\(2c\)（\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)）D.離心率\(e=\frac{c}{a}\)，\(0\lte\lt1\)3.下列函數中，在\((0,+∞)\)上單調遞增的是（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\lnx\)C.\(y=e^{x}\)D.\(y=\frac{1}{x}\)4.對于拋物線\(y^{2}=2px(p\gt0)\)，以下說法正確的是（）A.焦點坐標為\((\frac{p}{2},0)\)B.準線方程為\(x=-\frac{p}{2}\)C.拋物線上一點\(M(x_{0},y_{0})\)到焦點的距離為\(x_{0}+\frac{p}{2}\)D.過焦點的弦長\(\vertAB\vert=x_{1}+x_{2}+p\)（\(A(x_{1},y_{1})\)，\(B(x_{2},y_{2})\)）5.已知命題\(p\)：\(\existsx\inR\)，\(x^{2}-2x+a\lt0\)，命題\(q\)：\(\forallx\inR\)，\(x^{2}-2x+a\geq0\)，則（）A.若\(p\)為真命題，則\(a\lt1\)B.若\(q\)為真命題，則\(a\geq1\)C.\(p\)與\(q\)的真假性相反D.若\(p\)為假命題，則\(q\)一定為真命題6.函數\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+2\)在區間\([-1,2]\)上的性質正確的有（）A.最大值為\(2\)B.最小值為\(-2\)C.單調遞增區間為\((-∞,0)\)和\((2,+∞)\)D.單調遞減區間為\((0,2)\)7.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線與圓\((x-2)^{2}+y^{2}=1\)相切，則下列說法正確的是（）A.雙曲線的漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)B.由漸近線與圓相切可得\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)C.雙曲線的離心率為\(\frac{2\sqrt{3}}{3}\)D.雙曲線的離心率為\(2\)8.已知\(\overrightarrow{a}=(1,1,0)\)，\(\overrightarrow{b}=(0,1,1)\)，\(\overrightarrow{c}=(1,0,1)\)，\(\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}\)，\(\overrightarrow{q}=\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\)，則（）A.\(\overrightarrow{p}=(1,0,-1)\)B.\(\overrightarrow{q}=(0,3,1)\)C.\(\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}=-1\)D.\(\vert\overrightarrow{p}\vert=\sqrt{2}\)9.設函數\(f(x)\)在\(R\)上可導，其導函數為\(f^\prime(x)\)，下列說法正確的是（）A.若\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增B.若\(f(x)\)在\((a,b)\)上單調遞增，則\(f^\prime(x)\gt0\)在\((a,b)\)上恒成立C.若\(x=x_{0}\)是\(f(x)\)的極值點，則\(f^\prime(x_{0})=0\)D.若\(f^\prime(x_{0})=0\)，則\(x=x_{0}\)一定是\(f(x)\)的極值點10.以下關于圓錐曲線的說法正確的是（）A.平面內到兩個定點\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距離之和等于常數（大于\(\vertF_{1}F_{2}\vert\)）的點的軌跡是橢圓B.平面內到兩個定點\(F_{1}\)，\(F_{2}\)的距離之差的絕對值等于常數（小于\(\vertF_{1}F_{2}\vert\)）的點的軌跡是雙曲線C.平面內到一個定點\(F\)和一條定直線\(l\)（\(F\)不在\(l\)上）的距離相等的點的軌跡是拋物線D.橢圓、雙曲線、拋物線統稱為圓錐曲線三、判斷題（每題2分，共20分）1.若\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=0\)，則\(\overrightarrow{a}=0\)或\(\overrightarrow{b}=0\)。（）2.函數\(f(x)=x^{3}\)的導數\(f^\prime(x)=3x^{2}\)，\(f^\prime(x)\geq0\)恒成立，所以\(f(x)\)在\(R\)上單調遞增。（）3.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(a\)一定大于\(b\)。（）4.拋物線\(y^{2}=4x\)的準線方程是\(x=-1\)。（）5.命題“若\(p\)，則\(q\)”的否命題是“若\(\negp\)，則\(\negq\)”。（）6.若函數\(f(x)\)在區間\([a,b]\)上的最大值和最小值都在區間端點處取得，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內無極值。（）7.雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a\gt0,b\gt0)\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}{b}x\)。（）8.已知\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，則\(\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{y_{1}}{y_{2}}=\frac{z_{1}}{z_{2}}\)。（）9.函數\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處可導，則函數\(f(x)\)在\(x=x_{0}\)處連續。（）10.橢圓\(\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1\)的離心率\(e=\frac{\sqrt{5}}{3}\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(f(x)=x^{3}-3x^{2}+1\)的極值。答案：先求導\(f^\prime(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當\(x\lt0\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)；\(0\ltx\lt2\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)；\(x\gt2\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)。所以極大值\(f(0)=1\)，極小值\(f(2)=-3\)。2.已知橢圓\(\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1\)，求其長軸長、短軸長、焦距和離心率。答案：\(a^{2}=25\)，\(a=5\)，長軸長\(2a=10\)；\(b^{2}=16\)，\(b=4\)，短軸長\(2b=8\)；\(c^{2}=a^{2}-b^{2}=9\)，\(c=3\)，焦距\(2c=6\)；離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{3}{5}\)。3.求雙曲線\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\)的漸近線方程。答案：對于雙曲線\(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)，其漸近線方程為\(y=\pm\frac{b}{a}x\)。這里\(a=3\)，\(b=4\)，所以漸近線方程為\(y=\pm\frac{4}{3}x\)。4.已知\(\overrightarrow{a}=(1,-2,3)\)，\(\overrightarrow{b}=(-1,1,-2)\)，求\(\overrightarrow{a}\cdot