閬中北大博雅駿臣學校高三年級半期考試數學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若，則（）A. B.C. D.3.若非零向量滿足，且向量在向量上投影向量是，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.4.一個直三棱柱形容器中盛有水，側棱，底面邊上的高為.當底面水平放置時水面高度為16（如圖①）.當側面水平放置時（如圖②），水面高度為（）A. B. C. D.5.已知函數的部分圖象如圖所示，若，則等于（）A. B.C D.6.已知數列滿足：，則下列說法正確的是（）A. B.C.有最大值 D.不是單調數列7.已知函數，若，則的最小值為（）A.1 B.2 C. D.8.如圖，半徑為1的與半徑為2的內切于點A，沿的圓弧無滑動的滾動一周.若上一定點P從A點出發隨著的滾動而運動，設點P的軌跡為C，則（）A.C是半徑為的圓 B.C是半徑為1的圓C.C是長度為2的線段 D.C是長度為4的線段二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分9.下列命題正確的是（）A.是一組樣本數據，去掉其中的最大數和最小數后，剩下10個數的中位數小于原樣本的中位數B.若事件A，B相互獨立，且，，則事件A，B不互斥C若隨機變量，，則D.若隨機變量的方差，期望，則隨機變量的期望10.已知a，b，c分別為的內角A，B，C所對的邊，，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.，11.設為坐標原點，橢圓：左右焦點分別為，，點為定點，而點在橢圓上，且位于第一象限，若，則（）A.B.C.當的面積為時，的方程為D.當軸時，的離心率三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知，，則______.13.已知是圓上的一個動點，則的最大值為__________．14.甲乙丙三個班級共同分配9個三好學生名額，每班至少1個名額，用X表示這三個班級中分配的最少名額數，則X的數學期望_______.四、解答題：本題共5小題，共77分15.已知的內角的對邊分別為．已知．（1）求角：（2）若，求的面積．16.設函數，.（1）當，時，討論的單調性；（2）若，且和（為的導函數）的零點均在集合中，求的極小值.17.在平面直角坐標系中，為坐標原點，F，T分別是橢圓：的左焦點，右頂點，過F的直線交橢圓C于A，B兩點，當軸時，的面積為.（1）求；（2）若斜率為的直線交橢圓C于G，H兩點，N為以線段為直徑的圓上一點，求的最大值.18.如圖，在四棱錐中，為矩形，且，，.（1）求證：平面；（2）若（N在S的左側），設三棱錐體積為，四棱錐體積為，且.①求點到平面的距離；②求平面與平面所成夾角的正弦值.19.一電動玩具汽車需放入電池才能啟動.現抽屜中備有6塊規格相同的電池，其中3塊為一次性電池，另外3塊為可反復使用的充電電池.每次使用時隨機取一塊電池，若取出的是一次性電池，則使用后作廢品回收，若取出的是可充電電池，則使用后充滿電再放回抽屜.（1）在已知第2次取出一次性電池的條件下，求第1次取出的是可充電電池的概率；（2）設X，Y是離散型隨機變量，X在給定事件條件下的期望定義為，其中為X的所有可能取值的集合，表示事件“”與“”均發生的概率.設X表示玩具汽車前4次使用中取出一次性電池的塊數，Y表示前2次使用中取出可充電電池的塊數，求；（3）若已用完一塊一次性電池后，記剩下電池再使用次后，所有一次性電池恰好全部用完的概率為，求數列的通項公式.CDBDBCBDBCDABDACD15.（1）因為，由正弦定理得在中，，則，即，故．（2）由余弦定值知：，即，則，所以16.（1）當時，，．當時，，在上單增，當時，令，或，時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，綜上所述：當時，在上單增；當時，在和上單調遞增，在上單調遞減，（2），令，所以或令，或，又，且，，互不相等，所以，所以所以或或．經檢驗，符合，所以，，令，或，當，，，，，所以時，取得極小值．17.（1）依題意有，當軸時，在橢圓方程中，令，解得，則，，又．解得，．（2）設直線：，設，，聯立，得，所以，所以.，所以的中點為，所以.又的軌跡是以為圓心，半徑的圓，所以.令，，記，又，所以，時，.18.（1）在中，，，，所以，解得：，所以，所以，又，為平面內兩條相交直線，所以平面；（2）由（1）知，平面，，所以平面，又在平面內，所以平面平面，在平面內，所以，在三角形中，，，，所以，又，所以，又，又，所以，又，所以，取的中點，，可知：，因為平面平面，交線為，又在平面內，所以平面，如圖建立空間直角坐標系易得：,所以，設平面的法向量為，則，所以，令，得，即，又，所以求點到平面的距離，②，設平面的法向量，則，所以，令，則，可得：，設平面與平面所成夾角為，所以，所以，即平面與平面所成夾角的正弦值為.19.（1）設事件表示第一次取出