數學考研前期題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數$f(x)=\frac{1}{x-1}$的定義域是（）A.$x\neq0$B.$x\neq1$C.$x\gt1$D.$x\lt1$2.$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=$（）A.0B.1C.-1D.不存在3.函數$y=x^2$的導數是（）A.$2x$B.$x$C.$2$D.$x^3$4.不定積分$\intxdx=$（）A.$\frac{1}{2}x^2+C$B.$x^2+C$C.$\frac{1}{3}x^3+C$D.$2x+C$5.設矩陣$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，則$|A|=$（）A.1B.2C.0D.-16.向量$\vec{a}=(1,2)$與$\vec=(2,4)$的關系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面7.微分方程$y'=2x$的通解是（）A.$y=x^2$B.$y=x^2+C$C.$y=2x^2+C$D.$y=\frac{1}{2}x^2+C$8.函數$z=x+y$在點$(1,2)$處的偏導數$\frac{\partialz}{\partialx}=$（）A.1B.2C.3D.09.設隨機變量$X$服從正態分布$N(0,1)$，則$P(X\lt0)=$（）A.0.5B.0C.1D.0.2510.已知函數$f(x)$在區間$[a,b]$上連續，則$\int_{a}^f(x)dx$與$\int_{a}^f(t)dt$的關系是（）A.相等B.不相等C.大小不確定D.僅當$f(x)$為常數函數時相等二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，是奇函數的有（）A.$y=x^3$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\ln(x+\sqrt{x^2+1})$2.極限存在的有（）A.$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}$B.$\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}$C.$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$D.$\lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1}$3.下列函數在其定義域內可導的有（）A.$y=|x|$B.$y=\sqrt{x}$C.$y=\lnx$D.$y=\cosx$4.以下哪些是積分基本公式（）A.$\intx^ndx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C(n\neq-1)$B.$\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$C.$\inte^xdx=e^x+C$D.$\int\sinxdx=-\cosx+C$5.關于矩陣運算，正確的有（）A.$(AB)C=A(BC)$B.$A+B=B+A$C.$k(AB)=(kA)B=A(kB)$D.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$6.向量的運算性質正確的有（）A.$\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a}$B.$(\vec{a}+\vec)+\vec{c}=\vec{a}+(\vec+\vec{c})$C.$k(\vec{a}+\vec)=k\vec{a}+k\vec$D.$\vec{a}\cdot\vec=\vec\cdot\vec{a}$7.下列方程是微分方程的有（）A.$y'+2y=0$B.$y^2+x=0$C.$y''-3y'+2y=x$D.$\intydx=x+C$8.二元函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$處可微的必要條件有（）A.函數在該點連續B.偏導數存在C.偏導數連續D.函數在該點有定義9.設隨機變量$X$，$Y$，下列說法正確的有（）A.$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$B.若$X$，$Y$相互獨立，則$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$C.$E(XY)=E(X)E(Y)$D.$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$10.對于定積分性質，正確的有（）A.$\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx$B.$\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx$C.$\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx$D.若$f(x)\geqg(x)$在$[a,b]$上成立，則$\int_{a}^f(x)dx\geq\int_{a}^g(x)dx$三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數$y=\sqrt{x-1}$的定義域是$x\geq1$。（）2.若$\lim_{x\tox_0}f(x)$存在，則$f(x)$在$x_0$處一定連續。（）3.函數$y=x^3$的導數是$y'=3x^2$。（）4.不定積分$\int\frac{1}{x^2}dx=-\frac{1}{x}+C$。（）5.若矩陣$A$，$B$滿足$AB=0$，則$A=0$或$B=0$。（）6.向量$\vec{a}=(1,0)$與$\vec=(0,1)$垂直。（）7.微分方程$y'=y$的通解是$y=Ce^x$。（）8.函數$z=x^2+y^2$在點$(0,0)$處的偏導數都為0。（）9.設隨機變量$X$服從均勻分布$U(a,b)$，則$E(X)=\frac{a+b}{2}$。（）10.定積分的值只與被積函數和積分區間有關，與積分變量的符號無關。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x\to2$時的極限。答：對$f(x)$化簡得$f(x)=x+2(x\neq2)$，則$\lim_{x\to2}f(x)=\lim_{x\to2}(x+2)=4$。2.求函數$y=\ln(x^2+1)$的導數。答：令$u=x^2+1$，則$y=\lnu$，根據復合函數求導法則，$y'=\frac{1}{u}\cdotu'=\frac{2x}{x^2+1}$。3.計算定積分$\int_{0}^{1}x^2dx$。答：由定積分基本公式$\intx^2dx=\frac{1}{3}x^3+C$，則$\int_{0}^{1}x^2dx=[\frac{1}{3}x^3]_{0}^{1}=\frac{1}{3}(1^3-0^3)=\frac{1}{3}$。4.已知矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，求其逆矩陣。答：先求行列式$|A|=1\times4-2\times3=-2$，伴隨矩陣$A^=\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}$，則$A^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數$f(x)=\begin{cases}x+1,x\lt0\\0,x=0\\x-1,x\gt0\end{cases}$在$x=0$處的連續性與可導性。答：左極限$\lim_{x\to0^-}f(x)=1$，右極限$\lim_{x\to0^+}f(x)=-1$，左右極限不相等，函數在$x=0$處不連續，不連續則不可導。2.討論向量組$\vec{a}=(1,1,0)$，$\vec=(1,0,1)$，$\vec{c}=(0,1,1)$的線性相關性。答：設$k_1\vec{a}+k_2\vec+k_3\vec{c}=\vec{0}$，即$\begin{cases}k_1+k_2=0\\k_1+k_3=0\\k_2+k_3=0\end{cases}$，解得$k_1=k_2=k_3=0$，所以向量組線性無關。3.討論微分方程$y'+y=e^{-x}$的解法思路。答：這是一階線性非齊次微分方程，先求對應的齊次方程$y'+y=0$的通解，用分離變量法得$y=Ce^{-x}$，再用常數變易法設非齊次方程解為$y=C(x)e^{-x}$，代入原方程求出$C(x)$，進而得原方程通解。4.討論多元函數極值與最值的關系及求法。答：極值是局部概念，最值是整體概念。求多元函數極值先求駐點，再用判別式判斷。求最值需在駐點、邊界點處函數值中比較大小，得出最值。答案一、單項選擇題