第14講圓周運動——劃重點之精細講義系列考點一圓周運動的運動學問題一．描述圓周運動的物理量1．線速度：描述物體圓周運動快慢．v＝eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(2πr,T).2．角速度：描述物體轉動快慢．ω＝eq\f(Δθ,Δt)＝eq\f(2π,T).3．周期和頻率：描述物體轉動快慢．T＝eq\f(2πr,v)，T＝eq\f(1,f).4．向心加速度：描述線速度方向變化快慢的物理量．an＝rω2＝eq\f(v2,r)＝ωv＝eq\f(4π2,T2)r.1．圓周運動各物理量間的關系2．對公式v＝ωr和a＝eq\f(v2,r)＝ω2r的理解(1)由v＝ωr知，r一定時，v與ω成正比；ω一定時，v與r成正比；v一定時，ω與r成反比．(2)由a＝eq\f(v2,r)＝ω2r知，在v一定時，a與r成反比；在ω一定時，a與r成正比．【典例1】(多選)一質點做勻速圓周運動，其線速度大小為4m/s，轉動周期為2s，則()A．角速度為0.5rad/s B．轉速為0.5r/sC．軌跡半徑為eq\f(4,π)m D．加速度大小為4πm/s2【典例2】如圖所示，當正方形薄板繞著過其中心O并與板垂直的轉動軸轉動時，板上A、B兩點()A．角速度之比ωA∶ωB＝eq\r(2)∶1B．角速度之比ωA∶ωB＝1∶eq\r(2)C．線速度之比vA∶vB＝eq\r(2)∶1D．線速度之比vA∶vB＝1∶eq\r(2)【典例3】(多選)如圖所示為一鏈條傳動裝置的示意圖．已知主動輪是逆時針轉動的，轉速為n，主動輪和從動輪的齒數比為k，以下說法中正確的是()A．從動輪是順時針轉動的B．主動輪和從動輪邊緣的線速度大小相等C．從動輪的轉速為nkD．從動輪的轉速為eq\f(n,k)【典例4】如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉動軸上，其半徑之比為RB∶RC＝3∶2，A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由于摩擦作用，B輪也隨之無滑動地轉動起來．a、b、c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b、c三點在運動過程中的()A．線速度大小之比為3∶2∶2B．角速度之比為3∶3∶2C．轉速之比為2∶3∶2D．向心加速度大小之比為9∶6∶4常見的三種傳動方式及特點(1)皮帶傳動：如圖1甲、乙所示，皮帶與兩輪之間無相對滑動時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.(2)摩擦傳動：如圖2甲所示，兩輪邊緣接觸，接觸點無打滑現象時，兩輪邊緣線速度大小相等，即vA＝vB.(3)同軸傳動：如圖2乙所示，兩輪固定在一起繞同一轉軸轉動，兩輪轉動的角速度大小相等，即ωA＝ωB.考點二圓周運動的動力學問題1.向心力（1）作用效果：產生向心加速度，只改變速度的方向，不改變速度的大小．（2）大小：F＝meq\f(v2,r)＝mω2r＝meq\f(4π2r,T2)＝mωv＝4π2mf2r（3）方向：總是沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力．（4）來源：向心力可以由一個力提供，也可以由幾個力的合力提供，還可以由一個力的分力提供．2.圓周運動、向心運動和離心運動（1）勻速圓周運動與非勻速圓周運動兩種運動具體比較見下表：項目勻速圓周運動非勻速圓周運動定義線速度的大小不變的圓周運動線速度的大小不斷變化的圓周運動運動特點F向、a向、v均大小不變，方向變化，ω不變F向、a向、v大小和方向均發生變化，ω發生變化向心力F向＝F合由F合沿半徑方向的分力提供（2）離心運動本質：做圓周運動的物體，由于本身的慣性，總有沿著圓周切線方向飛出去的傾向．受力特點(如圖所示)①當F＝mrω2時，物體做勻速圓周運動；②當F＝0時，物體沿切線方向飛出；③當F＜mrω2時，物體逐漸遠離圓心，F為實際提供的向心力．④當F＞mrω2時，物體逐漸向圓心靠近，做向心運動．3.解題方法（1）向心力的來源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一個向心力．（2）向心力的確定①先確定圓周運動的軌道所在的平面，確定圓心的位置．②再分析物體的受力情況，找出所有的力沿半徑方向指向圓心的合力就是向心力．（3）解決動力學問題要注意三個方面的分析①幾何關系的分析，目的是確定圓周運動的圓心、半徑等．②運動分析，目的是表示出物體做圓周運動所需要的向心力．③受力分析，目的是利用力的合成與分解知識，表示出物體做圓周運動時，外界所提供的向心力．【典例1】在高速公路的拐彎處，通常路面都是外高內低．如圖所示，在某路段汽車向左拐彎，司機左側的路面比右側的路面低一些，汽車的運動可看做是做半徑為R的圓周運動．設內外路面高度差為h，路基的水平寬度為d，路面的寬度為L.已知重力加速度為g.要使車輪與路面之間的橫向摩擦力(即垂直于前進方向)等于零，則汽車轉彎時的車速應等于()A.eq\r(\f(gRh,L)) B．eq\r(\f(gRh,d))C.eq\r(\f(gRL,h)) D.eq\r(\f(gRd,h))【典例2】有一個驚險的雜技節目叫“飛車走壁”，雜技演員騎摩托車先在如圖所示的大型圓筒底部做速度較小，半徑較小的圓周運動，通過逐步加速，圓周運動的半徑逐步增大，最后能以較大的速度在豎直筒壁上做勻速圓周運動，這時使車和人整體做勻速圓周運動的向心力是()A．圓筒壁對車的靜摩擦力B．筒壁對車的彈力C．摩托車本身的動力D．重力和摩擦力的合力【典例3】(多選)如圖所示，一根細線下端拴一個金屬小球P，細線的上端固定在金屬塊Q上，Q放在帶小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面內做勻速圓周運動(圓錐擺)．現使小球改到一個更高一些的水平面上做勻速圓周運動(圖中P′位置)，兩次金屬塊Q都靜止在桌面上的同一點，則后一種情況與原來相比較，下面的判斷中正確的是()A．細線所受的拉力變小B．小球P運動的角速度變大C．Q受到桌面的靜摩擦力變大D．Q受到桌面的支持力變大【典例4】如圖所示，一個圓形框架以豎直的直徑為轉軸勻速轉動．在框架上套著兩個質量相等的小球A、B，小球A、B到豎直轉軸的距離相等，它們與圓形框架保持相對靜止．下列說法正確的是()A．小球A的合力小于小球B的合力B．小球A與框架間可能沒有摩擦力C．小球B與框架間可能沒有摩擦力D．圓形框架以更大的角速度轉動，小球B受到的摩擦力一定增大幾種常見的向心力來源(1)飛機在水平面內的圓周運動，如圖1所示；(2)火車轉彎，如圖2所示；(3)圓錐擺，如圖3所示；(4)飛車走壁，如圖4所示；(5)水平路面汽車轉彎，如圖5所示；(6)水平轉臺，如圖6所示．考點三豎直面內的圓周運動1．在豎直平面內做圓周運動的物體，按運動到軌道最高點時的受力情況可分為兩類：一是無支撐(如球與繩連接、沿內軌道運動的過山車等)，稱為“繩(環)約束模型”；二是有支撐(如球與桿連接、在彎管內的運動等)，稱為“桿(管道)約束模型”．2．輕繩和輕桿模型涉及的臨界問題輕繩模型輕桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)v臨＝0討論分析(1)過最高點時，v≥eq\r(gr)，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產生彈力FN(2)當v＜eq\r(gr)時，不能過最高點，在到達最高點前小球已經脫離了圓軌道(1)當v＝0時，FN＝mg，FN為支持力，沿半徑背離圓心(2)當0＜v＜eq\r(gr)時，mg－FN＝meq\f(v2,r)，FN背離圓心，隨v的增大而減小(3)當v＝eq\r(gr)時，FN＝0(4)當v＞eq\r(gr)時，FN＋mg＝meq\f(v2,r)，FN指向圓心并隨v的增大而增大題組一“輕繩”模型【典例1】(多選)如圖所示，用細繩拴著質量為m的物體，在豎直面內做圓周運動，圓周半徑為R，則下列說法正確的是()A．小球過最高點時，繩子張力可以為零B．小球過最高點時的最小速度為零C．小球剛好過最高點時的速度是eq\r(Rg)D．小球過最高點時，繩子對小球的作用力可以與球所受的重力方向相反【典例2】如圖所示，輕繩的一端固定在O點，另一端系一質量為m的小球(可視為質點)．當小球在豎直平面內沿逆時針方向做圓周運動時，通過傳感器測得輕繩拉力FT、輕繩與豎直線OP的夾角θ滿足關系式FT＝a＋bcosθ，式中a、b為常數．若不計空氣阻力，則當地的重力加速度為()A.eq\f(b,2m) B．eq\f(2b,m)C.eq\f(3b,m) D.eq\f(b,3m)【典例3】如圖所示，豎直環A半徑為r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右兩側各有一擋板固定在地上，B不能左右運動，在環的最低點靜放有一小球C，A、B、C的質量均為m.現給小球一水平向右的瞬時速度v，小球會在環內側做圓周運動，為保證小球能通過環的最高點，且不會使環在豎直方向上跳起(不計小球與環之間的摩擦阻力)，則瞬時速度v必須滿足()A．最小值eq\r(4gr) B．最大值eq\r(6gr)C．最小值eq\r(3gr) D．最大值eq\r(7gr)題組二“輕桿”模型【典例4】(多選)長為L的輕桿，一端固定一個小球，另一端固定在光滑的水平軸上，使小球在豎直平面內做圓周運動．關于小球在最高點的速度v，下列說法中正確的是()A．當v的值為eq\r(gL)時，桿對小球的彈力為零B．當v由eq\r(gL)逐漸增大時，桿對小球的拉力逐漸增大C．當v由eq\r(gL)逐漸減小時，桿對小球的支持力逐漸減小D．當v由零逐漸增大時，向心力也逐漸增大【典例5】(多選)如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內做圓周運動，內側壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法中正確的是()A．小球通過最高點時的最小速度vmin＝eq\r(gR＋r)B．小球通過最高點時的最小速度vmin＝0C．小球在水平線ab以下的管道中運動時，內側管壁對小球一定無作用力D．小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側管壁對小球一定有作用力【典例6】(多選)如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現讓小球在豎直平面內做半徑為R的圓周運動．小球運動到最高點時，受到的彈力為F，速度大小為v，其F-v2圖象如乙圖所示，則()A．小球的質量為eq\f(aR,b)B．當地的重力加速度大小為eq\f(R,b)C．v2＝c時，小球對桿的彈力方向向下D．v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等豎直面內圓周運動的求解思路(1)定模型：首先判斷是輕繩模型還是輕桿模型，兩種模型過最高點的臨界條件不同，其原因主要是“繩”不能支持物體，而“桿”既能支持物體，也能拉物體．(2)確定臨界點：v臨＝eq\r(gr)對輕繩模型來說是能否通過最高點的臨界點，而對輕桿模型來說是FN表現為支持力還是拉力的臨界點．(3)研究狀態：通常情況下豎直平面內的圓周運動只涉及最高點和最低點的運動情況．(4)受力分析：對物體在最高點或最低點時進行受力分析，根據牛頓第二定律列出方程：F合＝F向．(5)過程分析：應用動能定理或機械能守恒定律將初、末兩個狀態聯系起來列方程．考點四圓周運動中的臨界問題臨界問題廣泛地存在于中學物理中，解答臨界問題的關鍵是準確判斷臨界狀態，再選擇相應的規律靈活求解，其解題步驟為：1．判斷臨界狀態：有些題目中有“剛好”“恰好”“正好”等字眼，明顯表明題述的過程存在著臨界點；若題目中有“取值范圍”“多長時間”“多大距離”等詞語，表明題述的過程存在著“起止點”，而這些起止點往往就是臨界狀態；若題目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明題述的過程存在著極值，這個極值點也往往是臨界狀態．2．確定臨界條件：判斷題述的過程存在臨界狀態之后，要通過分析弄清臨界狀態出現的條件，并以數學形式表達出來．3．選擇物理規律：當確定了物體運動的臨界狀態和臨界條件后，對于不同的運動過程或現象，要分別選擇相對應的物理規律，然后再列方程求解．【典例1】如圖所示，一傾斜的勻質圓盤繞垂直于盤面的固定對稱軸以恒定角速度ω轉動，盤面上離轉軸距離2.5m處有一小物體與圓盤始終保持相對靜止．物體與盤面間的動摩擦因數為eq\f(\r(3),2)(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，盤面與水平面的夾角為30°，g取10m/s2.則ω的最大值是()A.eq\r(5)rad/s B．eq\r(3)rad/sC．1.0rad/s D．0.5rad/s【典例2】(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應當滿足(取g＝10m/s2)()A．v0≥0 B．v0≥4m/sC．v0≥2eq\r(5)m/s D．v0≤2eq\r(2)m/s分析圓周運動問題的基本思路1．如圖所示，由于地球的自轉，地球表面上P、Q兩物體均繞地球自轉軸做勻速圓周運動，對于P、Q兩物體的運動，下列說法正確的是()A．P、Q兩點的角速度大小相等B．P、Q兩點的線速度大小相等C．P點的線速度比Q點的線速度大D．P、Q兩物體均受重力和支持力兩個力作用2.如圖所示，光滑水平面上，小球m在拉力F作用下做勻速圓周運動．若小球運動到P點時，拉力F發生變化，關于小球運動情況的說法正確的是()A．若拉力突然消失，小球將沿軌跡Pa做離心運動B．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pa做離心運動C．若拉力突然變大，小球將沿軌跡Pb做離心運動D．若拉力突然變小，小球將沿軌跡Pc運動3.如圖所示，地球可以看成一個巨大的拱形橋，橋面半徑R＝6400km，地面上行駛的汽車重力G＝3×104N，在汽車的速度可以達到需要的任意值，且汽車不離開地面的前提下，下列分析中正確的是()A．汽車的速度越大，則汽車對地面的壓力也越大B．不論汽車的行駛速度如何，駕駛員對座椅壓力大小都等于3×104NC．不論汽車的行駛速度如何，駕駛員對座椅壓力大小都小于他自身的重力D．如果某時刻速度增大到使汽車對地面壓力為零，則此時駕駛員會有超重的感覺4．風速儀結構如圖(a)所示．光源發出的光經光纖傳輸，被探測器接收，當風輪旋轉時，通過齒輪帶動凸輪圓盤旋轉，當圓盤上的凸輪經過透鏡系統時光被遮擋．已知風輪葉片轉動半徑為r，每轉動n圈帶動凸輪圓盤轉動一圈．若某段時間Δt內探測器接收到的光強隨時間變化關系如圖(b)所示，則該時間段內風輪葉片()A．轉速逐漸減小，平均速率為eq\f(4πnr,Δt)B．轉速逐漸減小，平均速率為eq\f(8πnr,Δt)C．轉速逐漸增大，平均速率為eq\f(4πnr,Δt)D．轉速逐漸增大，平均速率為eq\f(8πnr,Δt)5．某機器內有兩個圍繞各自固定軸勻速轉動的鋁盤A、B，A盤固定一個信號發射裝置P，能持續沿半徑向外發射紅外線，P到圓心的距離為28cm.B盤上固定一個帶窗口的紅外線信號接收裝置Q，Q到圓心的距離為16cm.P、Q轉動的線速度均為4πm/s.當P、Q正對時，P發出的紅外線恰好進入Q的接收窗口，如圖所示，則Q每隔一定時間就能接收到紅外線信號，這個時間的最小值為()A．0.42s B．0.56sC．0.70s D．0.84s6.如圖所示，用一根長為l＝1m的細線，一端系一質量為m＝1kg的小球(可視為質點)，另一端固定在一光滑錐體頂端，錐面與豎直方向的夾角θ＝37°，當小球在水平面內繞錐體的軸做勻速圓周運動的角速度為ω時，細線的張力為FT.(g取10m/s2，結果可用根式表示)求：(1)若要小球剛好離開錐面，則小球的角速度ω0至少為多大？(2)若細線與豎直方向的夾角為60°，則小球的角速度ω′為多大？7.(多選)公路急轉彎處通常是交通事故多發地帶．如圖所示，某公路急轉彎處是一圓弧，當汽車行駛的速率為vc時，汽車恰好沒有向公路內外兩側滑動的趨勢．在該彎道處()A．路面外側高內側低B．車速只要低于vc，車輛便會向內側滑動C．車速雖然高于vc，但只要不超出某一最高限度，車輛便不會向外側滑動D．當路面結冰時，與未結冰時相比，vc的值變小8.(多選)如圖，疊放在水平轉臺上的物體A、B、C能隨轉臺一起以角速度ω勻速轉動，A、B、C的質量分別為3m、2m、m，A與B、B和C與轉臺間的動摩擦因數都為μ，A和B、C離轉臺中心的距離分別為r、1.5r.設本題中的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，下列說法正確的是()A．B對A的摩擦力一定為3μmgB．B對A的摩擦力一定為3mω2rC．轉臺的角速度一定滿足ω≤eq\r(\f(μg,r))D．轉臺的角速度一定滿足ω≤eq\r(\f(2μg,3r))9．未來的星際航行中，宇航員長期處于零重力狀態，為緩解這種狀態帶來的不適，有人設想在未來的航天器上加裝一段圓柱形“旋轉艙”，如圖所示．當旋轉艙繞其軸線勻速旋轉時，宇航員站在旋轉艙內圓柱形側壁上，可以受到與他站在地球表面時相同大小的支持力．為達到上述目的，下列說法正確的是()A．旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越大B．旋轉艙的半徑越大，轉動的角速度就應越小C．宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越大D．宇航員質量越大，旋轉艙的角速度就應越小10．(多選)質量為m的小球由輕繩a和b分別系于一輕質細桿的A點和B點，如圖所示，繩a與水平方向成θ角，繩b在水平方向且長為l，當輕桿繞軸AB以角速度ω勻速轉動時，小球在水平面內做勻速圓周運動，則下列說法正確的是()A．a繩的張力不可能為零B．a繩的張力隨角速度的增大而增大C．當角速度ω＞eq\r(\f(gcotθ,l))，b繩將出現彈力D．若b繩突然被剪斷，則a繩的彈力一定發生變化11．(多選)如圖所示為賽車場的一個水平“梨形”賽道，兩個彎道分別為半徑R＝90m的大圓弧和r＝40m的小圓弧，直道與彎道相切．大、小圓弧圓心O、O′距離L＝100m．賽車沿彎道路線行駛時，路面對輪胎的最大徑向靜摩擦力是賽車重力的2.25倍．假設賽車在直道上做勻變速直線運動，在彎道上做勻速圓周運動．要使賽車不打滑，繞賽道一圈時間最短(發動機功率足夠大，重力加速度g取10m/s2，π＝3.14)，則賽車()A．在繞過小圓弧彎道后加速B．在大圓弧彎道上的速率為45m/sC．在直道上的加速度大小為5.63m/s2D．通過小圓弧彎道的時間為5.58s

B．甲、乙兩球的動量之比為C．甲、乙兩球的向心力之比為D．細線1、2拉力的豎直分力之比為13．如圖，廣場水平地面上同種盆栽緊密排列在以O為圓心、和為半徑的同心圓上，圓心處裝有豎直細水管，其上端水平噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度均可調節，以保障噴出的水全部落入相應的花盆中。依次給內圈和外圈上的盆栽澆水時，噴水嘴的高度、出水速度及轉動的角速度分別用、、和、、表示。花盆大小相同，半徑遠小于同心圓半徑，出水口截面積保持不變，忽略噴水嘴水平長度和空氣阻力。下列說法正確的是（）14．如圖所示，物體A、B用細線連接，在同一高度做勻速圓周運動，圓心均為點O。在某時刻，細線同時斷裂，兩物體做平拋運動，同時落在水平面上的同一點。連接A、B的細線長度分別為10l、5l，A、B圓周運動的半徑分別為6l、4l，則O點到水平面的高度為（忽略物體的大小和細線質量）（）A