第17講橢圓及其標準方程模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用；2．理解并掌握橢圓的定義及橢圓的標準方程；3．掌握用定義法、待定系數法和相關點法求橢圓的標準方程.知識點1橢圓的定義1、定義：平面內與兩個定點的、的距離之和等于常數（大于）的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半叫做半焦距．2、橢圓定義的集合語言表示：3、對定義的理解：定義中條件不能少，這是根據三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來的．否則：①當時，其軌跡為線段；②當時，其軌跡不存在．知識點2橢圓的標準方程1、橢圓標準方程的推導：（1）怎樣建立適當的直角坐標系？以經過點、的直線為軸，線段的垂直平分為y軸建立直角坐標系，如圖1．（2）橢圓可以看作是哪些點的集合？用坐標如何表示？設點是橢圓上任一點，橢圓的焦距為（＞0）.焦點的坐標分別是，圖1又設M與的距離的和等于常數．圖1由橢圓的定義，橢圓就是集合P={M|}因為，所以（3）遇到根式怎么辦？兩個根式在同一側能不能直接平方？即兩邊平方得整理得再平方并整理得兩邊同除以得考慮,應有，故設，就有．2、橢圓的標準方程對比3、橢圓標準方程的求解（1）利用待定系數法求橢圓標準方程的步驟=1\*GB3①定位：確定焦點在那個坐標軸上；=2\*GB3②定量：依據條件及確定的值；=3\*GB3③寫出標準方程．（2）求橢圓方程時，若沒有指明焦點位置，一般可設所求方程為；（3）當橢圓過兩定點時，常設橢圓方程為，將點的坐標代入，解方程組求得系數．知識點3點與橢圓的位置關系1、根據橢圓的定義判斷點與橢圓的位置關系，有如下結論：點P在橢圓內部；點P在橢圓上；點P在橢圓外部．2、對于點與橢圓的位置關系，有如下結論：點在橢圓外；點在橢圓內；點在橢圓上；知識點4橢圓的焦點三角形1、定義：橢圓上一點與橢圓的兩個焦點組成的三角形通常稱為“焦點三角形”．一般利用橢圓的定義、余弦定理和完全平方公式等知識，建立QUOTE，QUOTE，QUOTE之間的關系，采用整體代入的方法解決焦點三角形的面積、周長及角的有關問題．（設QUOTE為QUOTE）2、兩條性質性質1：QUOTE，QUOTE（兩個定義）拓展：QUOTE的周長為QUOTEQUOTE的周長為QUOTE性質2：QUOTE（余弦定理）．考點一：橢圓定義及其辨析例1．（23-24高二上·北京延慶·期末）已知是橢圓上的動點，則到橢圓的兩個焦點的距離之和為（

）A． B． C． D．【變式1-1】（23-24高二下·陜西·開學考試）已知分別是橢圓的左、右焦點，為上的一點，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【變式1-2】（23-24高二下·安徽·月考）如果動點滿足，則點的軌跡是（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．線段【變式1-3】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多選）下列是真命題的是（

）A．已知定點，則滿足的點的軌跡為橢圓B．已知定點，則滿足的點的軌跡為線段C．到定點距離相等的點的軌跡為橢圓D．若點到定點的距離的和等于點到定點的距離的和，則點的軌跡為橢圓考點二：求橢圓的標準方程例2.（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知橢圓的一個焦點坐標為，則實數的值為（

）A．3 B．5 C．6 D．9【變式2-1】（23-24高二上·吉林·期末）若橢圓焦點在軸上且經過點，焦距為6，則該橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·河南南陽·月考）焦點在x軸上，中心為坐標原點，經過點,.則橢圓的標準方程為（

）A． B．1 C． D．1【變式2-3】（22-23高二上·陜西咸陽·月考）過點且與橢圓有相同焦距的橢圓的標準方程為（

）A． B． C． D．或考點三：橢圓方程的參數問題例3.23-24高二下·重慶·月考）已知,則方程可表示焦點在軸上的不同橢圓的個數為（

）A．9 B．8 C．7 D．6【變式3-1】（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示橢圓，則實數的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【變式3-2】（23-24高二下·廣西·月考）已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則實數k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【變式3-3】（23-24高二上·江蘇泰州·月考）若方程表示焦點在軸上的橢圓，則實數的取值范圍是．考點四：點與橢圓的位置關系例4.（23-24高二上·全國·課后作業）已知橢圓的焦點為，點滿足，則（

）A．點在橢圓外 B．點在橢圓內C．點在橢圓上 D．點與橢圓的位置關系不能確定【變式4-1】（23-24高二上·河南南陽·月考）點與橢圓的位置關系為（

）A．點在橢圓上 B．點在橢圓內C．點在橢圓外 D．不確定【變式4-2】（23-24高二上·全國·課后作業）（多選）點在橢圓的內部，則的值可以是（

）A． B． C．1 D．【變式4-3】（23-24高二上·江蘇徐州·期末）（多選）已知直線與圓相切，橢圓，則（

）A．點在圓O內 B．點在圓O上C．點在橢圓C內 D．點在橢圓C上考點五：利用定義解決焦三角問題例5.（23-24高二下·四川雅安·開學考試）經過橢圓的左焦點的直線交橢圓于兩點，是橢圓的右焦點，則的周長為（

）A．24 B．12 C．36 D．48【變式5-1】（23-24高二下·天津·月考）設是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【變式5-2】（23-24高二下·浙江·月考）設為橢圓的兩個焦點，點在上，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．5【變式5-3】（23-24高二上·天津·月考）已知橢圓的兩個焦點，，點在橢圓上，且，則．考點六：利用定義解決最值問題例6.（23-24高二上·河北·月考）已知橢圓：，的右焦點為F，P為橢圓上任意一點，點A的坐標為，則的最大值為（

）A． B．5 C． D．【變式6-1】（23-24高二下·安徽·月考）已知F1，F2分別是橢圓的左、右焦點，M是橢圓上的動點，點A(1，1)，則的最大值是.【變式6-2】（23-24高二上·福建寧德·期末）已知是橢圓上一動點，是圓上一動點，點，則的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【變式6-3】（22-23高二上·全國·期中）已知橢圓的左焦點為，為上的動點，點，則的最大值為（

）A． B． C．3 D．考點七：與橢圓有關的軌跡問題例7.（23-24高二下·湖北黃岡·月考）已知三角形的周長為，且，，則頂點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【變式7-1】（23-24高二下·上海靜安·月考）已知動圓M和圓：內切，并和圓：外切，則動圓圓心M的軌跡是（

）A．直線 B．圓C．焦點在軸上的橢圓 D．焦點在軸上的橢圓【變式7-2】（23-24高二上·河南省直轄縣級單位·月考）已知圓，定點為，M為圓C上一動點，點P是線段的中點，點N在上，點N不在x軸上，且滿足，則點N的軌跡方程為.【變式7-3】（23-24高二上·安徽合肥·月考）已知M為橢圓上的動點，過點M作x軸的垂線，D為垂足，點P滿足，求動點P的軌跡E的方程（當點M經過橢圓與x軸的交點時，規定點P與點M重合．）一、單選題1．（23-24高二上·江蘇淮安·月考）設是橢圓上的點，若是橢圓的兩個焦點，則等于（

）A．4 B．5 C．8 D．102．（23-24高二下·貴州貴陽·月考）已知橢圓C：的一個焦點為，則k的值為（

）A．2 B．4 C．8 D．103．（22-23高二上·吉林·期中）過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·月考）若方程表示橢圓，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·全國·課后作業）若點在橢圓上，則下列說法正確的是（

）A．點不在橢圓上 B．點不在橢圓上C．點在橢圓上 D．無法判斷上述點與橢圓的關系6．（23-24高二下·四川廣元·月考）設分別是橢圓的左，右焦點，過的直線交橢圓于兩點，則的最大值為(

)A． B． C． D．6二、多選題7．（23-24高二下·福建福州·月考）若橢圓的某兩個頂點間的距離為4，則m的可能取值有（

）A． B． C． D．28．（22-23高二上·吉林·月考）已知橢圓的左?右焦點分別為，為橢圓上不同于左右頂點的任意一點，則下列說法正確的是（

）A．的周長為8 B．存在點，使得C．的取值范圍為 D．的取值范圍為三、填空題9．（23-24高二上·四川遂寧·月考）橢圓上一點P與它的一個焦點的距離等于6，那么點P與另一個焦點的距離等于.10．（23-24高二下·上海靜安·月考）已知點P在焦點為、的橢圓上，若，則的值為．11．（23-24高二上·遼寧