第07講傾斜角與斜率模塊一思維導圖串知識模塊二基礎知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關測1．了解由斜率公式推導直線方程的點斜式的過程；2．掌握直線的點斜式方程與斜截式方程，并會用他們求直線的方程；3．了解直線的斜截式方程與一次函數的關系；4．會利用直線的點斜式與斜截式方程解決直線的平行與垂直問題.知識點1直線的傾斜角1、傾斜角的定義：當直線與軸相交時，我們把軸稱為基準，軸的正向與向上的方向之間所產生的角叫做直線的傾斜角．當直線與軸平行或重合時，我們規定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角的取值范圍為，具體如下：傾斜角直線圖示3、對傾斜角的理解（1）定義中含有的三個條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．（2）從運動學觀點看，直線的傾斜角是由軸按逆時針方向旋轉到與直線重合時所成的角．（3）直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應．（4）已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．知識點2直線的斜率1、斜率的定義：我們把一條直線的傾斜角（）的正切值叫做這條直線的斜率，常用小寫字母表示，即．2、傾斜角與斜率的關系直線的情況平行于軸由左向右上升垂直于軸由左向右下降的大小的取值范圍不存在的增減性—隨的增大而增大—隨的增大而減增大3、傾斜角與斜率的區別和聯系（1）每條直線都有唯一的傾斜角，但不是所有的直線都有斜率，傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）不同的傾斜角對應不同的斜率，當傾斜角不是90°時，傾斜角的正切值是斜率，此時斜率和傾斜角可以互相轉化．因此，確定一條不垂直于軸的直線，只要知道直線上的一個點和直線的斜率即可．知識點3過兩點的直線的斜率公式1、斜率公式：經過兩點、的直線的斜率公式為．2、對斜率公式的理解（1）當時，直線與軸垂直，直線的傾斜角為90°，斜率不存在，此時公式不適用．因此，在研究直線的斜率問題時，一定要注意斜率的存在與不存在兩種情況．（2）直線的斜率公式中的值與，兩點都在該直線上的位置無關，即在直線上任取不同的兩點，其斜率均不變．（3）斜率公式與兩點坐標的順序無關，即兩縱坐標和兩橫坐標在公式中的順序可以同時調換，也就是說，如果分子式，分母必須是；如果分子是，分母必須是，即．3、直線的斜率與方向向量的關系我們知道直線上的向量以及與它平行的向量都是直線的方向向量，直線的方向向量的坐標為．當直線與軸不垂直時，此時向量也是直線的方向向量，且它的坐標，即，其中是直線的斜率．因此，若直線的斜率為，它的一個方向向量的坐標為，則斜率為．考點一：求直線的傾斜角例1．（23-24高二上·廣東湛江·月考）直線經過第二、四象限，則直線的傾斜角范圍是（

）A． B．C． D．【變式1-1】（23-24高二上·江蘇·專題練習）已知直線l的傾斜角為，則與l關于x軸對稱的直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24高二上·全國·課后作業）設直線l與x軸交于點A，其傾斜角為，直線l繞點A順時針旋轉后得直線，有下列四個值：①；②；③；④．則直線的傾斜角為（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【變式1-3】（23-24高二上·廣東汕頭·期中）若直線的斜率，則直線的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點二：求直線的斜率例2.（23-24高二·全國·專題練習）已知直線的傾斜角為，并且，直線的斜率的范圍是（

）A． B．C．或 D．或【變式2-1】（23-24高二下·四川德陽·期中）過和兩點的直線的斜率是（

）A．1 B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·廣東潮州·期末）已知斜率為的直線經過點，則（

）A． B． C．1 D．0【變式2-3】（23-24高二上·江蘇無錫·期末）已知直線的傾斜角為，且直線經過，兩點，則實數的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5考點三：斜率與傾斜角概念辨析例3.（23-24高二上·河南南陽·月考）下列關于直線斜率和傾斜角的說法中，正確的是（

）A．任意一條直線都有斜率B．傾斜角的范圍為C．傾斜角為0的直線只有一條，即x軸D．若直線的傾斜角為，則【變式3-1】（22-23高一下·上海寶山·期末）在下列四個命題中，正確的是（

）A．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為B．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為C．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角和斜率D．直線的傾斜角的取值范圍是【變式3-2】（22-23高二上·海南·期中）（多選）已知直線的傾斜角為，斜率為，則下列命題正確的有（

）A．存在則一定存在B．存在則一定存在C．有些直線不存在，但存在D．有些直線不存在，但存在【變式3-3】（23-24高二下·黑龍江大慶·開學考試）（多選）在平面直角坐標系中，下列說法不正確的是（）A．任意一條直線都有傾斜角和斜率B．直線的傾斜角越大，則該直線的斜率越大C．若一條直線的傾斜角為，則該直線的斜率為D．與坐標軸垂直的直線的傾斜角是或考點四：圖象中的斜率與傾斜角例4.（23-24高二上·廣東佛山·月考）如圖，已知直線的斜率分別為，則（）A． B．C． D．【變式4-1】（22-23高二上·安徽阜陽·月考）圖中的直線的斜率分別為，則（

）

A． B．C． D．【變式4-2】（23-24高二上·青海西寧·月考）如圖，在平面直角坐標系中有三條直線，其對應的斜率分別為，則下面選項中正確的是（

）A． B．C． D．【變式4-3】（23-24高二上·福建泉州·月考）直線，，，的圖象如圖所示，則斜率最小和最大的直線是（

）

A．， B．， C．， D．，考點五：直線的方向向量與斜率關系例5.（23-24高二上·北京·期中）已知直線的一個方向向量為，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【變式5-1】（23-24高二上·山東青島·期末）已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【變式5-2】（23-24高二上·河南許昌·期末）經過兩點的直線的方向向量，則（

）A． B．0 C．1 D．2【變式5-3】（23-24高二上·河南開封·期末）（多選）已知直線l的方向向量為，且經過點，則下列點中在直線l上的是（

）A． B． C． D．考點六：利用直線斜率解決共線問題例6.（23-24高二下·甘肅武威·開學考試）若三點，，共線，則.【變式6-1】（23-24高二上·福建寧德·月考）已知三點共線，則實數的值為.【變式6-2】（23-24高二上·青海西寧·月考）若三點共線，則a＝．【變式6-3】（23-24高二上·北京·月考）已知，，三點在同一條直線上，則實數m的值為．考點七：直線與線段有公共點問題例7.（23-24高二下·四川廣安·月考）已知直線，若直線與連接，兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角范圍為（）A． B． C． D．【變式7-1】（23-24高二上·吉林延邊·期中）設點，直線過點且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A．或 B．或 C． D．【變式7-2】（23-24高二上·山東威海·期末）已知點，，若直線與線段有公共點，則（

）A． B．C． D．【變式7-3】（23-24高二上·廣東潮州·期中）已知點、、，過點C的直線l與線段AB有公共點，則直線l的斜率k的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上都不對考點八：斜率公式的幾何意義應用例8.（23-24高二上·安徽安慶·月考）已知正的頂點，，頂點在第一象限，若點是內部及其邊界上一點，則的最大值為（

）A． B． C． D．【變式8-1】（23-24高二下·吉林延邊·月考）已知函數.則的大小關系為（

）A． B． C． D．【變式8-2】（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知實數x、y滿足方程，當時，則的取值范圍是．【變式8-3】（23-24高二上·上海·期中）點在函數的圖象上，當，則的取值范圍為.一、單選題1．（23-24高二上·陜西西安·月考）圖中能表示直線的傾斜角的是（

）A．①④ B．①② C．①③ D．②④2．（23-24高二上·河南鄭州·期末）經過兩點的直線的傾斜角為，則的值為（

）A．-2 B．1 C．3 D．43．（22-23高二上·江蘇連云港·期末）若，，三點共線，則實數m的值為（

）A． B．2 C． D．34．（23-24高二上·廣東佛山·期中）如圖所示，直線，，的斜率分別為，，的圖象如圖所示，則下列結論正確的是（

）

A． B．C． D．5．（22-23高二上·四川廣安·期中）已知直線的傾斜角是，直線的傾斜角是，，則（

）A． B．C． D．6．（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）已知點，，若，則直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．二、多選題7．（23-24高二上·湖南長沙·月考）在下列四個命題中，錯誤的有（

）A．坐標平面內的任何一條直線均有傾斜角B．若一條直線的斜率為1，則此直線的傾斜角為C．直線的傾斜角的取值范圍是D．若一條直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanα8．（23-24高二上·河南洛陽·月考）已知直線的傾斜角分別為，斜率分別是，若，則的大小關系可能是（

）A． B．C． D．三、填空題9．（23-24高二上·福建泉州·月考）在平面直角坐標系中，已知直線l上的一點向右平移1個單位長度，再向下平移3個單位長度后，仍在該直線l上，則直線l的斜率為．10．（23-24高二上·湖南張家界·月考）已知某直線的傾斜角，則該直線的斜率的范圍為．11．（23-24高二上·河北石家莊·月考）已知點，過點的直線l與線段相交，則直線l的傾斜角