[3]。從而得到如下齊次線性方程組： ②其中，為未知量，并且它的系數行列式是一個形如范德蒙德行列式的行列式，即 ==由克拉默（Cramer）法則可知，方程組②有零解即從而例2證明：假如在平面上有個點,其中互不相同,都相同，則存在唯一一個次數不超過的多項式，即存在通過這個點，即 證明：設,使,則需要滿足關于的線性方程組:③③方程組的系數行列式為范德蒙德行列式，所以可得出當各不相同時，由克拉默（Cramer）法則知該方程組有唯一解，即對平面上個點，則必存在唯一的一個字數不超過的多項式通過該個點。例3設多項式的個根為.又記為的判別式.證明有重根的充分必要條件式△==0，其中 分析：利用行列式乘法計算公式對△進行下一步分解，經分解可得△等于兩個范德蒙德行列式的乘積。然后我接著再進行下一步的證明。解：△==有重根可得判別式，所以△=0。例4若次多項式有個互不相同的不動點，則是具有無窮多個不動點的一次多項式解：設多項式的個互不相同的不動點，令，那么有，也即這說明是下面方程組（3）的一組解。此外，齊次線性回歸方程組（3）的系數矩陣的行列式是一個范德蒙德轉置行列式，從而我們可得到上述方程組（3）只有零解，所以，于是便可推導出，這是一個含有無窮多（無數）個不動點的一次行列式。1.3范德蒙德行列式在線性變換中的應用線性變換可以說是高等代數中的一個重點和難點，題目的變化具有多樣性和靈活性。應用范德蒙德行列式可以提高問題解決的效率，使問題解決的過程變得通俗易懂、簡介明了。接下來我將介紹以下幾類范德蒙德行列式在線性變換中的應用。例1在數域中，是中的線性變換，設是線性空間中的一組基，且存在，證明:線性空間中的線性變換。證明：由已知條件可知=線性變換在基下的矩陣為,其中=且行列式是范德行列式，由于行列式不為零，從而我們可知行列式是一個可逆的行列式，相應的可得出上述變換是一個可逆線性變換。例2如果是線性變換的所有兩兩不同的特征值，，則當時，必有。證明：由題意可知，依次代入等式兩端，可得到 =1\*GB3①用矩陣的方法可表示為 =2\*GB3②矩陣是一個范德蒙德行列式，由于兩兩截然不相同，從而可得知這個矩陣是可逆矩陣。在=2\*GB3②式兩端分別右乘，則可得到，即證。1.4范德蒙德行列式在向量線性相關性中的應用例1證明在空間中一個向量集中含有無限多個向量，而且這樣一個向量集中的任意三個向量都是線性無關的。證：設該向量集為,從中選出3個線性無關的向量，這樣的3個向量可構成如下行列式，且上述行列式的形式類如范德蒙德行列式的形式，因為是三個不同的數，因此上述行列式值不為0，從而可推得它們線性相關。例2階矩陣的不同特征值為。在矩陣中的與特征值相對應的線性無關的特征向量分別是，…,,從而可知是線性無關的一組向量組。證明：設有使得令則上式可以寫成…①，又因為是特征值的特征向量, ② 將①式的左右兩邊同時乘以矩陣，再根據②式可得=3\*GB3③ 再將=3\*GB3③式兩邊同時乘以矩陣到。不斷地重復上述步驟可得到可寫成矩陣的形式=④可得到上述研究線性方程組的系數行列式是范德蒙德行列式，又因為它們的特征值各不相同，所以這個行列式不為0；從而可實現可逆，將④式兩邊同時乘以的逆，可得，有,.又由于線性無關，,所以向量組線性無關。例3證明：對應于矩陣的不同特征根對應的特征向量是線性無關的。解：假設線性相關，則存在不全為零的個數，使=1\*GB3①由于是分別屬于矩陣的不同特征根征向量，故有=2\*GB3②用矩陣左乘式=1\*GB3①得=3\*GB3③再利式=2\*GB3②得到=4\*GB3④對式=4\*GB3④實施上述過程得到繼續進行上述過程得到齊次線性方程組=5\*GB3⑤把其線性方程組=5\*GB3⑤理解為以為未知數的線性方程組，且該系數行列式是一個類如范德蒙行列式的行列式，并且由克拉姆法則知，因為，因此只能有，這與不全為零相矛盾。1.5范德蒙德行列式在向量空間理論中的應用應用范德蒙德行列式處理向量空間理論問題的研究，能使問題變得更加通俗易懂，并且更能得出以下結論。例1在數域上的有一個維向量空間，且對于任意正整數都成立,證明：在中存在個向量，在隨意取得個向量都是線性無關的。證明：因為,所以只需要在中思考。取個向量,，…,，令=,,因為是范德蒙德行列式，所以向量線性無關。例2在數域上含有一個維線性空間，證明不能被中的有限個真子空間覆蓋。證明：分兩種情況當的時候，結果顯然成立當時，是中元素的集合，令是中的一組基。設，令當為單位向量時，可容易證明是雙射（省略）。假設是的真子空間，則中的元素在中的個數小于否則，若，，,系數行列式為范德蒙德行列式，且不為0.所以，與前面矛盾，當，而中蘊含無窮多個不同的元素，中的元素只有有限多個元素在中，但,所以有，即能證明結論。1.6范德蒙德行列式在微積分中的應用 例1若至少含有階導數，并且對于某一個具體的實數有和，證明，（表示）證明：首先將寫成與線性組合。其次再依據泰勒公式:①，,其中,這是關于的線性組合表達式，它的系數行列式等于，中含有一個范德蒙德行列式，且該行列式的值為,所以的值為1，于是方程組①把寫成與的線性關系式，因此只需要證明即可。事實上，可以設，可得：，在該式中令和令,則可得。例2設，當時為最高階的無窮小，其中是常數。并給出了等價表達式。解：利用泰勒公式可得 =當時，若最高無窮小在6階以上，則有以下方程組。上述方程組的系數行列式為范德蒙德行列式。該行列式的值不是0，所以為未知數的方程組只有零解，，不符合題目的意思。當時，若最高無窮小在6階 時，令該方程組等價于，該方程組以為未知數，上述方程組的系數可組成一個范德蒙德行列式，并且此行列式的值不等于0，所以對于方程組有唯一一組解：，從而有以下主要形式的表達式：參考文獻王萼芳,石生明，高等代數（第三版）[M].北京.高等教育出版社，2013馮錫剛.范德蒙德行列式在行列式計算中的應用[J].山東輕工業學院學報,2000韓榮梅.范德蒙德行列式在多項式和線性變換中的應用[J].內蒙古科技大學包頭師范學院,2020李婷.范德蒙德行列式的應用研究[J].棗莊學院.2017顧燕,張俊偉.范德蒙德的行列式的推廣及其應用[J].蘇州大學,2015 揚子胥.高等代數習題解[M].山東：山東科技技術出版社，2001.黃朝霞.范德蒙德行列式的推廣[J].集美大學學報：