“函數(shù)的表示法”教學(xué)設(shè)計五、教學(xué)過程設(shè)計

1．用三種表示法表示同一個函數(shù)

我們在初中就已經(jīng)知道函數(shù)的三中表示法：解析法，圖象法，列表法．問題1

某種筆記本的單價是5元，買x（x∈{1，2，3，4，5}）本筆記本需要y元．試用函數(shù)的三種表示法表示函數(shù)y＝f（x）．（教科書第19頁例3）

設(shè)計意圖：通過具體例子，讓學(xué)生用三種不同的表示方法來表示的同一個函數(shù)，進(jìn)一步理解函數(shù)概念．

這個函數(shù)的圖象由一些離散的點(diǎn)組成，與以前學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線不同．通過本例，進(jìn)一步讓學(xué)生感受到，函數(shù)概念中的對應(yīng)關(guān)系、定義域、值域是一個整體．函數(shù)y＝5x不同于函數(shù)y＝5x（x∈｛1，2，3，4，5｝），前者的圖象是（連續(xù)的）直線，而后者是5個離散的點(diǎn)．

由此認(rèn)識到：“函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點(diǎn)，等等．”（教科書例3的邊空）

讓學(xué)生體會到三種表示方法各自的優(yōu)點(diǎn)．為“問題2”（教科書第20頁）提供一個具體的事例．

解：這個函數(shù)的定義域是{1，2，3，4，5}．

（1）用解析法表示為

y＝5x，x∈｛1，2，3，4，5｝．

（2）用列表法表示為

（3）用圖象法表示，函數(shù)y＝f（x）的圖象如圖2所示．

圖2

問題2（教科書第20的“思考”）

（1）比較函數(shù)的三種表示法，各自的有哪些優(yōu)、缺點(diǎn)？

（2）所有的函數(shù)都能用解析法表示嗎？舉出一個函數(shù)，并分別用三種表示法表示．

設(shè)計意圖：通過比較，明確各種表示法的優(yōu)點(diǎn)；通過舉例，讓學(xué)生通過自己的例子說明怎樣用適當(dāng)?shù)谋硎痉▉肀硎灸承┖瘮?shù)．

不是所有的函數(shù)都能用解析法表示，如心電圖．

討論中，還可以問學(xué)生“函數(shù)圖象可以是折線嗎”讓學(xué)生舉例說明．（如y＝|x|）

問題3圖3能表示某個函數(shù)的圖象嗎？為什么？圖3

設(shè)計意圖：這是例3邊空的內(nèi)容“那么判斷一個圖形是不是函數(shù)圖象的依據(jù)是什么？”通過討論，進(jìn)一步理解函數(shù)概念中“對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)”．

組織學(xué)生討論后，歸納出判斷方法“平行于y軸的直線（或y軸）與圖形至多一個交點(diǎn)”．

2．選擇適當(dāng)方法表示函數(shù)，以便分析其特點(diǎn)

問題4

（教科書第20頁例4）下表是高一（3）班三位同學(xué)在高一學(xué)年度6次數(shù)學(xué)測試的成績及班級平均分表．

請你對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析．

設(shè)計意圖：這里有三個用表格法給出的函數(shù)．要“對這三位同學(xué)在高一學(xué)年度的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況做一個分析”不太方便，因此需要改變函數(shù)表示的方法，選擇圖象法比較恰當(dāng)．

教學(xué)中，先不必直接把圖象法告訴學(xué)生，可以讓學(xué)生說說自己是如何分析的，選擇了什么樣的方法來表示這三個函數(shù)．通過比較各種不同的分析方法，達(dá)成共識：用圖象法比較好．培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法的能力．

能夠從圖象中讀出哪些信息也不要直接告訴學(xué)生，讓學(xué)生經(jīng)過觀察、思考獲得結(jié)論．比如總體水平（王偉成績好）、變化趨勢（趙磊的成績在逐步提高）、與班級平均分的比較，等等．培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、獲取有用信息的能力．

圖4

解：從表中可以知道每位同學(xué)在每次測試中的成績，但不太容易分析每位同學(xué)的成績變化情況（學(xué)習(xí)情況）．如果將“成績”與“測試序號”之間的關(guān)系用函數(shù)圖象表示出來，如圖4，那么就能比較直觀地看到成績變化情況．這對我們進(jìn)行分析學(xué)習(xí)情況是有利的．

從圖4中可以看到，王偉同學(xué)的學(xué)習(xí)成績始終高于班級平均水平，學(xué)習(xí)情況穩(wěn)定，而且成績優(yōu)秀．張城同學(xué)的學(xué)習(xí)成績不夠穩(wěn)定，總是在班級平均水平上下波動，而且波動幅度也比較大．趙磊同學(xué)的學(xué)習(xí)成績低于班級平均水平，但是他的成績呈上升趨勢，表明他的成績在穩(wěn)步提高．

必須提醒學(xué)生，圖中的虛線不是函數(shù)圖象的組成部分，之所以用虛線連接散點(diǎn)，主要是為了區(qū)分這三個函數(shù)，直觀感受三個函數(shù)的圖象具有整體性，也便于分析學(xué)習(xí)情況，加以比較．

3．分段函數(shù)及其表示

問題5

某市出租車資費(fèi)規(guī)定如下：（1）3公里以內(nèi)（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，資費(fèi)增加2.4元（不足1公里按1公里計算）．

某線路總里程為6公里，請根據(jù)題意寫出資費(fèi)與里程之間函數(shù)的解析表達(dá)式，并畫出函數(shù)的圖象．

設(shè)計意圖：讓學(xué)生嘗試選擇適當(dāng)表達(dá)方式來表示實(shí)際問題；學(xué)習(xí)分段函數(shù)及其表示．

解：設(shè)資費(fèi)為y元，里程為x公里．由題意，自變量x的取值范圍是（0，6．

根據(jù)解析式畫出的圖象如圖5所示．

圖5

象問題5這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)．

所謂分段函數(shù)，就是在函數(shù)的同一個定義域的不同子集上對應(yīng)關(guān)系不同的函數(shù)．類似于大陸、臺灣是同一個國家的不同地區(qū)，社會制度可以不同．

生活中有許多需要分段表示的函數(shù)，請你舉出幾個分段函數(shù)的例子，并畫出它的圖象．

如分期付款，郵件資費(fèi)等．再如y＝|x|＝

4．課堂練習(xí)

教科書第23頁，練習(xí)，1，2，3．

5．小結(jié)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你的主要收獲有哪些？

大致有：函數(shù)的表示方法有三種，各有優(yōu)、缺點(diǎn)；應(yīng)該根據(jù)不同的問題、不同的要求選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎舅员阊芯亢瘮?shù)某些性質(zhì)．還學(xué)習(xí)了什么樣的函數(shù)是分段函數(shù)．

6．課后作業(yè)

教科書第24頁，習(xí)題1.2，7，8．函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題課前布置任務(wù)：(1)由于某種原因，2008年北京奧運(yùn)會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查閱資料說明做出這個決定的主要原因.(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運(yùn)會開幕式當(dāng)天氣溫變化情況.課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到8月中旬，平均氣溫、平均降雨量和平均降雨天數(shù)等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事.下圖是北京市今年8月8日一天24小時內(nèi)氣溫隨時間變化的曲線圖.引導(dǎo)學(xué)生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學(xué)生思考．問題：觀察圖形，能得到什么信息？預(yù)案：(1)當(dāng)天的最高溫度、最低溫度以及何時達(dá)到；(2)在某時刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關(guān)心很多數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，了解這些數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的．問題：還能舉出生活中其他的數(shù)據(jù)變化情況嗎？預(yù)案：水位高低、燃油價格、股票價格等．歸納：用函數(shù)觀點(diǎn)看，其實(shí)就是隨著自變量的變化，函數(shù)值是變大還是變小．〖設(shè)計意圖〗由生活情境引入新課，激發(fā)興趣．二、歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數(shù)值是變大還是變小，初中同學(xué)們就有了一定的認(rèn)識，但是沒有嚴(yán)格的定義，今天我們的任務(wù)首先就是建立函數(shù)單調(diào)性的嚴(yán)格定義.1．借助圖象，直觀感知問題1：分別作出函數(shù)的圖象，并且觀察自變量變化時，函數(shù)值有什么變化規(guī)律？預(yù)案：(1)函數(shù)在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而增大；函數(shù)在整個定義域內(nèi)y隨x的增大而減小．(2)函數(shù)在上y隨x的增大而增大，在上y隨x的增大而減小．(3)函數(shù)在上y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小．引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類描述(增函數(shù)、減函數(shù))．同時明確函數(shù)的單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是函數(shù)的局部性質(zhì)．問題2：能不能根據(jù)自己的理解說說什么是增函數(shù)、減函數(shù)?預(yù)案：如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y也越來越大，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)；如果函數(shù)在某個區(qū)間上隨自變量x的增大，y越來越小，我們說函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)．教師指出：這種認(rèn)識是從圖象的角度得到的，是對函數(shù)單調(diào)性的直觀，描述性的認(rèn)識．〖設(shè)計意圖〗從圖象直觀感知函數(shù)單調(diào)性，完成對函數(shù)單調(diào)性的第一次認(rèn)識．2．探究規(guī)律，理性認(rèn)識問題1：下圖是函數(shù)的圖象,能說出這個函數(shù)分別在哪個區(qū)間為增函數(shù)和減函數(shù)嗎？學(xué)生的困難是難以確定分界點(diǎn)的確切位置．通過討論，使學(xué)生感受到用函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結(jié)合解析式進(jìn)行嚴(yán)密化、精確化的研究．〖設(shè)計意圖〗使學(xué)生體會到用數(shù)量大小關(guān)系嚴(yán)格表述函數(shù)單調(diào)性的必要性．問題2：如何從解析式的角度說明在為增函數(shù)？預(yù)案：(1)在給定區(qū)間內(nèi)取兩個數(shù)，例如1和2，因?yàn)?2<22,所以在為增函數(shù)．(2)仿(1)，取很多組驗(yàn)證均滿足，所以在為增函數(shù)．(3)任取,因?yàn)?即，所以在為增函數(shù)．對于學(xué)生錯誤的回答，引導(dǎo)學(xué)生分別用圖形語言和文字語言進(jìn)行辨析,使學(xué)生認(rèn)識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導(dǎo)學(xué)生在給定的區(qū)間內(nèi)任意取兩個自變量．〖設(shè)計意圖〗把對單調(diào)性的認(rèn)識由感性上升到理性認(rèn)識的高度,完成對概念的第二次認(rèn)識．事實(shí)上也給出了證明單調(diào)性的方法，為證明單調(diào)性做好鋪墊.3．抽象思維，形成概念問題：你能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號語言表述出增函數(shù)的定義嗎?師生共同探究，得出增函數(shù)嚴(yán)格的定義，然后學(xué)生類比得出減函數(shù)的定義．(1)板書定義(2)鞏固概念判斷題：①．②若函數(shù)．③若函數(shù)在區(qū)間和(2,3)上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間(1,3)上為增函數(shù)．④因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，所以在上是減函數(shù).通過判斷題，強(qiáng)調(diào)三點(diǎn)：=1\*GB3①單調(diào)性是對定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，離開了定義域和相應(yīng)區(qū)間就談不上單調(diào)性．=2\*GB3②對于某個具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以是整個定義域(如一次函數(shù))，可以是定義域內(nèi)某個區(qū)間(如二次函數(shù))，也可以根本不單調(diào)(如常函數(shù))．=3\*GB3③函數(shù)在定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A,B上都是增（或減）函數(shù)，一般不能認(rèn)為函數(shù)在上是增（或減）函數(shù)．思考：如何說明一個函數(shù)在某個區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)?〖設(shè)計意圖〗讓學(xué)生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調(diào)性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學(xué)生對定義的理解，完成對概念的第三次認(rèn)識.三、掌握證法，適當(dāng)延展例證明函數(shù)在上是增函數(shù)．1．分析解決問題針對學(xué)生可能出現(xiàn)的問題，組織學(xué)生討論、交流．證明：任取,設(shè)元求差變形,斷號∴∴即∴函數(shù)在上是增函數(shù)．定論2．歸納解題步驟引導(dǎo)學(xué)生歸納證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．練習(xí)：證明函數(shù)在上是增函數(shù)．問題：要證明函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，除了用定義來證，如果可以證得對任意的，且有可以嗎?引導(dǎo)學(xué)生分析這種敘述與定義的等價性．讓學(xué)生嘗試用這種等價形式證明函數(shù)在上是增函數(shù)．〖設(shè)計意圖〗初步掌握根據(jù)定義證明函數(shù)單調(diào)性的方法和步驟．等價形式進(jìn)一步發(fā)展可以得到導(dǎo)數(shù)法，為用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)單調(diào)性埋下伏筆．四、歸納小結(jié)，提高認(rèn)識學(xué)生交流在本節(jié)課學(xué)習(xí)中的體會、收獲，交流學(xué)習(xí)過程中的體驗(yàn)和感受，師生合作共同完成小結(jié)．1．小結(jié)(1)概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性．(2)證明方法和步驟：設(shè)元、作差、變形、斷號、定論．(3)數(shù)學(xué)思想方法和思維方法：數(shù)形結(jié)合，等價轉(zhuǎn)化，類比等．2．作業(yè)書面作業(yè)：課本第60頁習(xí)題2.3第4，5，6題．課后探究：(1)證明：函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的充要條件是對任意的，且有．(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，并結(jié)合描點(diǎn)法畫出函數(shù)的草圖．知識回顧二次函數(shù)的圖像和特征：1、名稱；2、頂點(diǎn)坐標(biāo)；3、對稱軸；4、當(dāng)時，拋物線的開口向，頂點(diǎn)是拋物線上的最點(diǎn)，圖像在x軸的(除頂點(diǎn)外)；當(dāng)時，拋物線的開口向，頂點(diǎn)是拋物線上的最點(diǎn)圖像在x軸的(除頂點(diǎn)外)。二、合作學(xué)習(xí)在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)圖像，的圖像。請比較這三個函數(shù)圖像有什么共同特征？頂點(diǎn)和對稱軸有什么關(guān)系？圖像之間的位置能否通過適當(dāng)?shù)淖儞Q得到？由此，你發(fā)現(xiàn)了什么？三、探究二次函數(shù)和圖像之間的關(guān)系結(jié)合學(xué)生所畫圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察與的圖像位置關(guān)系，直觀得出的圖像的圖像。教師可以采取以下措施：①借助幾何畫板演示幾個對應(yīng)點(diǎn)的位置關(guān)系，如：（0，0）（-2，0）（2，2）（0，2）；（-2，2）（-4，2）②也可以把這些對應(yīng)點(diǎn)在圖像上用彩色粉筆標(biāo)出，并用帶箭頭的線段表示平移過程。用同樣的方法得出的圖像的圖像。3、請你總結(jié)二次函數(shù)y=a(x+m)2的圖象和性質(zhì).（）的圖像的圖像。函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（-m,0）,對稱軸是直線x=-m4、做一做（1）、拋物線開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)y=2(x+3)2y=-3(x-1)2y=-4(x-3)2（2）、填空：①、由拋物線y=2x2向平移個單位可得到y(tǒng)=2(x+1)2②、函數(shù)y=-5(x-4)2的圖象。可以由拋物線向平移4個單位而得到的。3、對于二次函數(shù)，請回答下列問題：①把函數(shù)的圖像作怎樣的平移變換，就能得到函數(shù)的圖像？②說出函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)和對稱軸。第3題的解答作如下啟發(fā)：這里的m是什么數(shù)？大于零還是小于零？應(yīng)當(dāng)把的圖像向左平移還是向右平移？在此同時用平移的方法畫出函數(shù)的大致圖像（事先畫好函數(shù)的圖像），借助圖像有學(xué)生回答問題。探究二次函數(shù)和圖像之間的關(guān)系1、在上面的平面直角坐標(biāo)系中畫出二次函數(shù)的圖像。首先引導(dǎo)學(xué)生觀察比較與的圖像關(guān)系，直觀得出：的圖像的圖像。（結(jié)合多媒體演示）再引導(dǎo)學(xué)生剛才得到的的圖像與的圖像之間的位置關(guān)系，由此得出：只要把拋物線先向左平移2個單位，在向上平移