二次函數知識點

一、二次函數的定義二次函數的一般式為\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）。其中\(a\)、\(b\)、\(c\)是常數，\(x\)是自變量，\(y\)是因變量。\(a\)稱為二次項系數，它決定了二次函數圖象的開口方向和開口大小。當\(a>0\)時，圖象開口向上；當\(a<0\)時，圖象開口向下。\(b\)為一次項系數，\(c\)為常數項。二、二次函數的圖象1.形狀二次函數的圖象是一條拋物線。2.對稱軸對稱軸公式為\(x=-\frac{b}{2a}\)。對于二次函數\(y=ax^{2}+bx+c\)，沿對稱軸對折，圖象左右兩側完全重合。3.頂點坐標頂點坐標為\((-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^{2}}{4a})\)。頂點是二次函數圖象的最高點（\(a<0\)時）或最低點（\(a>0\)時）。三、二次函數的性質1.單調性當\(a>0\)時，在對稱軸左側（\(x<-\frac{b}{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而減小；在對稱軸右側（\(x>-\frac{b}{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而增大。當\(a<0\)時，在對稱軸左側（\(x<-\frac{b}{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而增大；在對稱軸右側（\(x>-\frac{b}{2a}\)），\(y\)隨\(x\)的增大而減小。2.最值當\(a>0\)時，函數有最小值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)；當\(a<0\)時，函數有最大值\(y=\frac{4ac-b^{2}}{4a}\)。四、二次函數的平移1.平移規律對于二次函數\(y=a(x-h)^{2}+k\)（\(a\neq0\)），它是由\(y=ax^{2}\)平移得到的。向左（右）平移\(m\)個單位時，\(h\)的值增加（減少）\(m\)；向上（下）平移\(n\)個單位時，\(k\)的值增加（減少）\(n\)。2.頂點式的優勢二次函數的頂點式\(y=a(x-h)^{2}+k\)能直接反映出頂點坐標\((h,k)\)，在研究二次函數的平移、最值等問題時非常方便。五、二次函數與一元二次方程的關系1.交點關系二次函數\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的圖象與\(x\)軸的交點的橫坐標就是一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根。2.判別式的意義一元二次方程\(ax^{2}+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的判別式\(\Delta=b^{2}-4ac\)。當\(\Delta>0\)時，二次函數圖象與\(x\)軸有兩個交點；當\(\Delta=0\)時，二次函數圖象與\(x\)軸有一個交點；當\(\Delta<0\)時，二次函數圖象與\(x\)軸沒有交點。六、二次函數的應用1.實際問題中的二次函數在實際生活中，如拋物線形的拱橋、物體的拋射運動軌跡等都可以用二次函數來建模。通過建立二次函數模型，利用二次函數的性質來解決諸如求最值（如最大利潤、最小用料等）、求特定條件下的自變量的值等問題。2.二次函數與幾何圖形二次函數圖象與幾何圖形（如