PAGE10-第5講計數原理與古典概型選題明細表學問點·方法鞏固提高A鞏固提高B兩個計數原理的綜合應用3,7,10,124排列與組合問題1,3,6,10,122,4,6,12,15求二項綻開式中的特定項或特定項的系數2,9,111,7,11,13二項式系數或各項系數和5,16,175古典概型4,14,15離散型隨機變量的分布列、均值與方差8,133,8,9,10,14,16,17鞏固提高A一、選擇題1.將字母a,a,b,b,c,c排成三行兩列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,則不同的排列方法共有(A)(A)12種 (B)18種 (C)24種 (D)36種解析:先排第一列,因為每列的字母互不相同,因此共有種不同的排法.再排其次列,其中其次列第一行的字母共有種不同的排法,其次列其次、三行的字母只有1種排法.因此共有··1=12(種)不同的排列方法.2.(x-y)n的二項綻開式中,第m項的系數是(D)(A) (B)(C) (D)(-1)m-1解析:(x-y)n綻開式中第m項的系數為(-1)m-1.3.10名同學合影,站成了前排3人,后排7人.現攝影師要從后排7人中抽2人站前排,其他人的相對依次不變,則不同調整方法的種數為(C)(A) (B) (C) (D)解析:從后排抽2人的方法種數是;前排的排列方法種數是.由分步乘法計數原理知不同調整方法種數是.4.設a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,8,12},則函數f(x)=x3+ax-b在區間[1,2]上有零點的概率為(C)(A) (B) (C) (D)解析:由已知得f′(x)=3x2+a>0,所以f(x)在R上遞增,若f(x)在[1,2]上有零點,則需閱歷證有(1,2),(1,4),(1,8),(2,4),(2,8),(2,12),(3,4),(3,8),(3,12),(4,8),(4,12),共11對滿意條件,而總的狀況有16種,故所求概率為.5.已知(x-)8綻開式中常數項為1120,其中a是常數,則綻開式中各項系數的和是(C)(A)28 (B)38(C)1或38 (D)1或28解析:由題意知·(-a)4=1120,解得a=±2,令x=1,得綻開式中各項系數的和為(1-a)8=1或38.6.把標號為1,2,3,4,5的同色球全部放入編號為1～5號的箱子中,每個箱子放一個球且要求偶數號的球必需放在偶數號的箱子中,則全部的放法種數為(C)(A)36 (B)20 (C)12 (D)10解析:依題意,標號為2,4的球放入編號為2,4的箱子中有種放法,再把標號為1,3,5的球放入編號為1,3,5的箱子中有種放法,所以滿意題意的放法種數為·=12,選C.7.某同學有同樣的畫冊2本,同樣的集郵冊3本,從中取出4本贈送給4位摯友,每位摯友一本,則不同的贈送方法共有(B)(A)4種 (B)10種 (C)18種 (D)20種解析:在同樣的2本畫冊和同樣的3本集郵冊中選4本送給4位摯友,共有兩類狀況:第一類,2本畫冊2本集郵冊,=6種,其次類,1本畫冊3本集郵冊,=4種,所以共有4+6=10種.故選B.8.已知ξ的分布列如下表,若η=2ξ+2,則D(η)的值為(D)ξ-101P(A)- (B) (C) (D)解析:E(ξ)=-1×+0×+1×=-,D(ξ)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,所以D(η)=D(2ξ+2)=4D(ξ)=,故選D.二、填空題9.二項式(+)8的綻開式的常數項是.

解析:先依據二項綻開式的通項公式寫出第r+1項,再依據項的次數為零解得r,代入即得結果.二項式(+)8的綻開式的通項公式為Tr+1=()8-r()r=··,令=0得r=2,故所求的常數項為·=7.答案:710.某臺小型晚會由6個節目組成,演出依次有如下要求:節目甲必需排在前兩位,節目乙不能排在第一位,節目丙必需排在最終一位.該臺晚會節目演出依次的編排方案共有種.

解析:分兩類,第一類:甲排在第一位時,丙排在最終一位,中間4個節目無限制條件,有種排法;其次類:甲排在其次位時,從甲、乙、丙之外的3個節目中選1個節目排在第一位有種排法,其他3個節目有種排法,故有種排法.依分類加法計數原理,知共有+=42(種)編排方案.答案:4211.設(x-1)21=a0+a1x+a2x2+…+a21x21,則a10+a11=.

解析:a10,a11分別是含x10和x11項的系數,所以a10=-,a11=,所以a10+a11=-=0.答案:012.六個人從左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有種.(用數字作答)

解析:依據甲、乙的位置要求分類解決,分兩類.第一類:甲在左端,有=5×4×3×2×1=120種方法;其次類:乙在左端,有4=4×4×3×2×1=96種方法.所以共有120+96=216種方法.答案:21613.設隨機變量X～B(2,p),隨機變量Y～B(3,p),若P(X≥1)=,則P(Y≥1)=.

解析:因為X～B(2,p),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-(1-p)2=,解得p=.又Y～B(3,p),所以P(Y≥1)=1-P(Y=0)=1-(1-p)3=.答案:14.袋中有4只紅球3只黑球,從袋中任取4只球,取到1只紅球得1分,取到1只黑球得3分,設得分為隨機變量ξ,則P(ξ≤6)=.

解析:P(ξ≤6)=P(取到3只紅球1只黑球)+P(取到4只紅球)=+=.答案:15.從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為.

解析:取兩個點的全部狀況為10種,全部距離不小于正方形邊長的狀況有6種,概率為=.答案:16.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+an(1-x)n,則a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan等于.

解析:在綻開式中,令x=2,得3+32+33+…+3n=a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan,即a0-a1+a2-a3+…+(-1)nan==(3n-1).答案:(3n-1)三、解答題17.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解:令x=1,則a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①令x=-1,則a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②(1)因為a0==1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2.(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7==-1094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6==1093.(4)法一因為(1-2x)7綻開式中,a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1093-(-1094)=2187.法二|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|,即(1+2x)7綻開式中各項的系數和,令x=1,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=37=2187.鞏固提高B一、選擇題1.(x2+2)(-1)5的綻開式的常數項是(D)(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:二項式(-1)5綻開式的通項為:Tr+1=()5-r·(-1)r=··(-1)r.當2r-10=-2,即r=4時,有x2·x-2·(-1)4=×(-1)4=5;當2r-10=0,即r=5時,有2·x0·(-1)5=-2.所以綻開式中的常數項為5-2=3,故選D.2.兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩,購票后排隊依次入園,為平安起見,首尾肯定要排兩位爸爸,另外,兩個小孩肯定要排在一起,則這6人的入園依次排法種數為(C)(A)48 (B)36 (C)24 (D)12解析:(捆綁法)爸爸排法有種,兩個小孩排在一起故看成一體,有種排法,媽媽和孩子共有種排法,所以排法種數共有=24(種).故選C.3.已知X的分布列如表,則在下列式子中①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=,正確的個數是(C)X-101P(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:由E(X)=(-1)×+0×+1×=-,故①正確.由D(X)=(-1+)2×+(0+)2×+(1+)2×=,知②不正確.由分布列知③正確.4.集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把滿意上述條件的一對有序整數對(x,y)作為一個點的坐標,則這樣的點的個數是(B)(A)9 (B)14 (C)15 (D)21解析:因為P={x,1},Q={y,1,2},且P?Q,所以x∈{y,2}.所以當x=2時,y=3,4,5,6,7,8,9,共有7種狀況;當x=y時,x=3,4,5,6,7,8,9,共有7種狀況.共有7+7=14種狀況.即這樣的點的個數為14.5.已知+2+22+23+…+2n=729,則+++…+等于(A)(A)63 (B)64 (C)31 (D)32解析:逆用二項式定理得+2+22+23+…+2n=(1+2)n=3n=729,即3n=36,所以n=6,所以+++…+=26-=64-1=63.故選A.6.甲、乙、丙等21人合影留念,他們站成兩排,前排11人,后排10人,甲站在第一排正中間位置,乙、丙站在與甲相鄰的兩側,假如對其他人所站的位置不做要求,那么不同的站法共有(D)(A)種 (B)種(C)種 (D)種解析:21人中,除了甲、乙、丙須要指定位置外,其余18人可以隨意排序,雖然分前后兩排,但不影響排序結果,所以有種站法,而甲、乙、丙三人依據要求則有種站法,因為這兩個事務互不影響,所以共有種站法,故選D.7.若(x+a)2(-1)5的綻開式中常數項為-1,則a的值為(D)(A)1 (B)9(C)-1或-9 (D)1或9解析:由于(x+a)2=x2+2ax+a2,而(-1)5綻開式的通項為Tk+1=(-1)k·xk-5,其中k=0,1,2,…,5.于是(-1)5的綻開式中x-2的系數為(-1)3=-10,x-1項的系數為(-1)4=5,常數項為-1,因此(x+a)2(-1)5的綻開式中常數項為1×(-10)+2a×5+a2×(-1)=-a2+10a-10,依題意-a2+10a-10=-1,即a2-10a+9=0,解得a=1或a=9.8.設隨機變量X聽從二項分布X～B(5,),則函數f(x)=x2+4x+X存在零點的概率是(C)(A) (B) (C) (D)解析:因為函數f(x)=x2+4x+X存在零點,所以Δ=16-4X≥0,所以X≤4.因為X～B(5,),所以P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.二、填空題9.若隨機事務A,B互斥,A,B發生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=4a-5,則實數a的取值范圍是.

解析:由題意可知???<a≤.答案:(,]10.兩封信隨機投入A,B,C三個空郵箱,則A郵箱的信件數ξ的數學期望E(ξ)=.

解析:兩封信投入A,B,C三個空郵箱,投法種數是32=9,A中沒有信的投法種數是2×2=4,概率為,A中僅有一封信的投法種數是×2=4,概率為,A中有兩封信的投法種數是1,概率為,故A郵箱的信件數ξ的數學期望是×0+×1+×2=.答案:11.若將函數f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實數,則a3=.

解析:f(x)=x5=(1+x-1)5,它的通項為Tk+1=(1+x)5-k·(-1)k,T3=(1+x)3(-1)2=10(1+x)3,所以a3=10.答案:1012.某校要支配小李等5位實習老師到一、二、三班去實習,若要求每班至少支配一人且小李到一班,則不同的支配方案種數為.(用數字作答)

解析:由題意可得,只要將余下的4人分成3組或2組,分別支配到3個班或2個班即可.不同的支配方案種數為·+(·+)=50(種).答案:5013.若(-)n綻開式的各項系數肯定值之和為1024,則綻開式中含x項的系數為.

解析:在(+)n的綻開式中,令x=1,可得(-)n綻開式的各項系數肯定值之和為4n==1024=210,所以n=5.故(-)5綻開式的通項為Tk+1=(-3)k··,令=1,得k=1,故綻開式中含x項的系數為-15.答案:-1514.隨機變量ξ的分布列如下:ξ-101Pabc其中a,b,c成等差數列,則P(|ξ|=1)=,公差d的取值范圍是.

解析:因為a,b,c成等差數列,所以2b=a+c.又a+b+c=1,所以b=.所以P(|ξ|=1)=a+c=.又a=-d,c=+d,依據分布列的性質,得0≤-d≤,0≤+d≤,所以-≤d≤,此即公差d的取值范圍.答案:[-,]15.將6位志愿者分成4組,其中兩個組各2人,另兩個組各1人,分赴