重慶考研試題及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$f^\prime(x_0)=2$，則$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=$（）A.1B.2C.0D.不存在2.下列矩陣中，（）是可逆矩陣。A.$\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}$3.已知向量組$\alpha_1=(1,1,0)$，$\alpha_2=(1,0,1)$，$\alpha_3=(0,1,1)$，則該向量組的秩為（）A.1B.2C.3D.04.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從正態(tài)分布$N(1,4)$，則$P(X\leq1)=$（）A.0.5B.0C.1D.0.255.函數(shù)$y=\ln(1+x^2)$的導(dǎo)數(shù)為（）A.$\frac{2x}{1+x^2}$B.$\frac{1}{1+x^2}$C.$\frac{x}{1+x^2}$D.$\frac{2}{1+x^2}$6.冪級(jí)數(shù)$\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$的收斂半徑為（）A.0B.1C.$+\infty$D.27.設(shè)$A$，$B$為兩個(gè)事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.4$，$P(AB)=0.3$，則$P(A\cupB)=$（）A.0.7B.0.8C.0.9D.0.68.曲線$y=x^3-3x$的拐點(diǎn)為（）A.$(0,0)$B.$(1,-2)$C.$(-1,2)$D.$(2,2)$9.已知函數(shù)$f(x)$的一個(gè)原函數(shù)為$F(x)$，則$\intf^\prime(x)dx=$（）A.$F(x)$B.$f(x)$C.$F(x)+C$D.$f(x)+C$10.行列式$\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}$的值為（）A.0B.1C.-1D.2多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)連續(xù)的有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\sinx$C.$y=e^x$D.$y=\sqrt{x}$2.設(shè)$A$，$B$為$n$階方陣，下列結(jié)論正確的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.若$AB=0$，則$A=0$或$B=0$3.向量組$\alpha_1=(1,0,0)$，$\alpha_2=(0,1,0)$，$\alpha_3=(0,0,1)$，$\alpha_4=(1,1,1)$的極大線性無(wú)關(guān)組可以是（）A.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$B.$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$C.$\alpha_1,\alpha_3,\alpha_4$D.$\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$4.設(shè)隨機(jī)變量$X$服從參數(shù)為$\lambda$的泊松分布，則（）A.$E(X)=\lambda$B.$D(X)=\lambda$C.$P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}$D.$X$取值為非負(fù)整數(shù)5.下列積分中，值為0的有（）A.$\int_{-1}^{1}x\sinxdx$B.$\int_{-1}^{1}x\cosxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}x^3dx$6.函數(shù)$y=x^4-2x^2+3$的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.$(-\infty,-1)$B.$(-1,0)$C.$(0,1)$D.$(1,+\infty)$7.設(shè)$A$為$n$階可逆矩陣，下列說(shuō)法正確的有（）A.$A$的行列式不為0B.$A$的秩為$n$C.$A$可以經(jīng)過(guò)初等行變換化為單位矩陣D.方程組$Ax=0$只有零解8.已知二維隨機(jī)變量$(X,Y)$的聯(lián)合分布函數(shù)為$F(x,y)$，則（）A.$F(-\infty,y)=0$B.$F(x,-\infty)=0$C.$F(+\infty,+\infty)=1$D.$F(x,y)$關(guān)于$x$和$y$都是單調(diào)不減的9.下列級(jí)數(shù)中，收斂的有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}$10.曲線$y=\frac{1}{x}$的漸近線有（）A.$x=0$B.$y=0$C.$y=x$D.$y=-x$判斷題（每題2分，共10題）1.若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處連續(xù)，則$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處一定可導(dǎo)。（）2.方陣$A$的行列式$\vertA\vert=0$，則$A$不可逆。（）3.向量組中極大線性無(wú)關(guān)組是唯一的。（）4.若隨機(jī)變量$X$與$Y$相互獨(dú)立，則$E(XY)=E(X)E(Y)$。（）5.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無(wú)關(guān)。（）6.函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[a,b]$上的最大值一定是$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)的極大值。（）7.若矩陣$A$與$B$相似，則$A$與$B$有相同的特征值。（）8.對(duì)于任意事件$A$和$B$，有$P(A-B)=P(A)-P(B)$。（）9.冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)一定絕對(duì)收斂。（）10.曲線$y=x^2$與直線$y=2x$所圍成圖形的面積為$\frac{4}{3}$。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+1$的極值。答案：先求導(dǎo)$f^\prime(x)=3x^2-6x$，令$f^\prime(x)=0$，得$x=0$或$x=2$。$f^{\prime\prime}(x)=6x-6$，$f^{\prime\prime}(0)=-6\lt0$，$x=0$是極大值點(diǎn)，$f(0)=1$；$f^{\prime\prime}(2)=6\gt0$，$x=2$是極小值點(diǎn)，$f(2)=-3$。2.計(jì)算行列式$\begin{vmatrix}1&1&1\\2&3&4\\4&9&16\end{vmatrix}$。答案：根據(jù)三階行列式計(jì)算公式，原行列式$=1\times(3\times16-4\times9)-1\times(2\times16-4\times4)+1\times(2\times9-3\times4)=2$。3.已知隨機(jī)變量$X$的概率密度函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}$，求$E(X)$。答案：由期望公式$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$，則$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\frac{2}{3}x^3\big|_0^1=\frac{2}{3}$。4.簡(jiǎn)述矩陣可逆的充要條件。答案：$n$階矩陣$A$可逆的充要條件有：$\vertA\vert\neq0$；$A$的秩為$n$；$A$可經(jīng)初等行變換化為單位矩陣；方程組$Ax=0$只有零解等。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$處的連續(xù)性。答案：$f(x)$在$x=0$處無(wú)定義。但$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，若補(bǔ)充定義$f(0)=1$，則$f(x)$在$x=0$處連續(xù)，否則不連續(xù)。2.討論向量組線性相關(guān)性與矩陣秩之間的關(guān)系。答案：設(shè)有向量組$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$構(gòu)成矩陣$A$。若向量組線性相關(guān)，則矩陣$A$的秩$r(A)\ltm$；若向量組線性無(wú)關(guān)，則$r(A)=m$。可通過(guò)求矩陣秩判斷向量組線性相關(guān)性。3.討論正態(tài)分布在實(shí)際生活中的應(yīng)用。答案：正態(tài)分布廣泛應(yīng)用于很多領(lǐng)域。如學(xué)生考試成績(jī)、人群身高體重分布等?？衫闷涮匦詫?duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析、預(yù)測(cè)，制定合理標(biāo)準(zhǔn)，評(píng)估風(fēng)險(xiǎn)等，為決策提供依據(jù)。4.討論級(jí)數(shù)斂散性判別方法的選擇。答案：對(duì)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)，可優(yōu)先考慮比較判別法、比值判別法、根值判別法；交錯(cuò)級(jí)數(shù)常用萊布尼茨判別法。一般級(jí)數(shù)可看是否絕對(duì)收斂，若絕對(duì)收斂則原級(jí)數(shù)收斂。要根據(jù)級(jí)數(shù)特點(diǎn)靈活選用判別法。