第第頁浙江省紹興市奉化區2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知向量a=(2，3A．(3，5) B．(?5，2．復數z=aiA．a≠0且b=0 B．b=0 C．a=1且b=0 D．a=b=03．水平放置的△ABC有一邊在水平線上，它的斜二測直觀圖是邊長為2的正△A'A．3 B．23 C．26 4．某市場供應的電子產品中，甲廠產品的合格率是90%，乙廠產品的合格率是80%.若從該市場供應的電子產品中任意購買甲、乙廠各一件電子產品，則這兩件產品都不是合格品的概率為（）A．2% B．30% C．72% D．26%5．設m，n是不同的直線，a，A．m⊥n，n//α，則m⊥αC．m⊥α，α⊥β，則m6．若數據x1+m、x2+m、?、xn+m的平均數是5，方差是4，數據3x1+1A．m=2，s=6 B．m=2，s=36 C．m=4，s=6 D．m=4，s=367．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足c?b=2bcosA.若λA．(?∞，22] B．(?∞8．e1，e2均為單位向量，且它們的夾角為45°，設a，b滿足A．2 B．22 C．24 二、多選題9．若復數z=3A．z在復平面內對應的點位于第四象限B．|C．zD．z的共軛復數z10．PM2.5的監測值是用來評價環境空氣質量的指標之一.劃分等級為：PM2.5日均值在35μg/m3以下，空氣質量為一級：PM2.5日均值在35A．這10天的日均值的80%分位數為60B．前5天的日均值的極差小于后5天的日均值的極差C．這10天的日均值的中位數為41D．前5天的日均值的方差小于后5天的日均值的方差11．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，cosA=3A．△ABC為鈍角三角形 B．CC．a：b：12．如圖，在多面體中ABDCE，BA，BC，BD兩兩垂直，四面體AECD是正四面體，F，G分別為AE，CD的中點，則下列結論正確的是（）A．BA=BC=BD B．FGC．BD//平面ACE D．三、填空題13．現有三張卡片，分別寫有“1”?“2”?“3”這三個數字．將這三張卡片隨機排序組成一個三位數，則該三位數是奇數的概率是．14．如圖，在三棱錐P?ABC中，PA=PB=PC=8，∠APB=∠APC=∠BPC=40°，過點A作截面，分別交側棱PB，PC于E，F兩點，則△AEF周長的最小值為．15．體積為36的三棱錐P?ABC的頂點都在球O的球面上，PA⊥平面ABC，PA=2，∠BAC=2π3，AB=1，則球16．德國機械學家萊洛設計的菜洛三角形在工業領域應用廣泛．如圖，分別以等邊三角形ABC的頂點為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形ABC的邊長為1，P為弧AB上的一個動點，則PA?(PB四、解答題17．已知復數z=(（1）若復數z為純虛數，求實數m的值；（2）若復數z在復平面內對應的點在第四象限，求實數m的取值范圍.18．在△ABC中，角A，B，（1）求角A的值；（2）已知D在邊BC上，且BD=3DC，AD=3，求19．如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，PA=AB=4，G為PD中點.（1）求證：AG⊥平面PCD；（2）求直線AC與平面PCD所成角．20．根據空氣質量指數（AQI，為整數）的不同，可將空氣質量分級如下表：AQI[(((((級別一級二級三級四級五級（A）五級（B）現對某城市30天的空氣質量進行監測，獲得30個AQI數據（每個數據均不同），統計繪得頻率分布直方圖如圖所示．（1）請由頻率分布直方圖來估計這30天AQI的平均數；（2）若從獲得的“一級”和“五級（B）”的數據中隨機選取2個數據進行復查，求“一級”和“五級（B）”數據恰均被選中的概率；（3）假如企業每天由空氣污染造成的經濟損失S（單位：元）與AQI（記為ω）的關系式為S=021．如圖，為測量鼓浪嶼鄭成功雕像AB的高度及取景點C與F之間的距離（B?C?D?F在同一水平面上，雕像垂直該水平面于點B，且B?C?D三點共線），某校研究性學習小組同學在C?D?F三點處測得頂點A的仰角分別為45°?30°?30°，若∠FCB=60°，CD=16(（1）求雕像AB的高度；（2）求取景點C與F之間的距離.22．如圖，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，E是A1D1（1）證明：當BF=FC時，D1F∥平面（2）若BF=14BC

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：2a→-b→=2(2，3)?(?1，?2)＝＝(5，8)2．【答案】C【解析】【解答】解：∵該復數是純虛數的充分條件是：a≠0且b=0，

∵a=1且b=0是a≠0且b=0的充分不必要條件，

∴該復數是純虛數的充分不必要條件是：a=1且b=0.

故選：C.

【分析】首先根據該復數是純虛數的充分條件求出參數的范圍，結合選項進行分析，可知a=1且b=0是a≠0且b=0的充分不必要條件，即可得出答案．3．【答案】C【解析】【解答】解：∵△ABC的斜二測直觀圖是邊長為2的正三角形△A'B'C'，

∴S△A'B'C'=12×2×3=3，

∴S△ABC4．【答案】A【解析】【解答】依題意，甲廠產品的不合格率是10%，乙廠產品的不合格率是20%，任意購買甲、乙廠各一件電子產品，這兩件產品都不是合格品的概率為10%故答案為：A

【分析】根據已知條件，利用相互獨立事件、對立事件的概率公式進行計算，可得答案.5．【答案】D6．【答案】A【解析】【解答】設數據x1、x2、?、xn的平均數為x則(3x1(x1+m由方差公式可得[=(s=9(x故答案為：A.

【分析】根據樣本數據x1、x2、?、xn的平均數與方差，可以推導出數據3x1+1、3x7．【答案】C【解析】【解答】解：∵c-b=2bcosA，

∴sinC-sinB=2sinBcosA，

又∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴可得sinAcosB-sinBcosA=sinB，

即sinA-B=sinB，

∵角A，B，C均為銳角，

∴A-B=B，即A=2B，C=π-3B，

∴cosC-B=cosπ-4B=-cos4B=-cos2A=2sin2A-1，

∵角A，B，C均為銳角，

∴0＜2B＜π20＜π-3B＜π2

∴π6＜B＜π4，8．【答案】C【解析】【解答】解：以e1→所在直線為x軸，垂直于e1→所在直線為y軸建立平面直角坐標系，

則e1→=1，0，e2→=22，22，

∵a→+e2→=24，

∴a→在平面中所對應的點Ax，y在以-22，-22為圓心，24為半徑的圓上運動，

Ax，y滿足x+222+y+2229．【答案】A,D【解析】【解答】解：A.z對應的點的坐標為3，-1，

∴該復數在復平面內對應的點位于第四象限，

故A正確；

B.z=3+1=2，故B錯誤；

C.z2=3-i2=2-23i10．【答案】B,D【解析】【解答】解：A.據圖可知，這10天的數據為：330、32、34、40、41、45、48、60、78、80，10×0.8=8，

∴80%分位數為60+782=69，故A錯誤；

B.前5天的日均值的極差為11，后5天的日均值的極差為35，故B正確；

C.這10天的數據為：30、32、34、40、41、45、48、60、78、80，故中位數為：41+452=43，故C錯誤；

D.據圖可知，11．【答案】B,C【解析】【解答】解：A、∵cosA=34，C=2A，

∴cosC=cos2A=2cos2A-1=18，

∴sinA=1-cos2A=74，sinC=1-cos2C=378，

∵cosA＞0，cosC＞0，

∴A、C均為銳角，

cosB=cosπ-A-B=-cosAcosC+sinAsinC=916＞0，

∴12．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：A.∵BA，BC，BD兩兩垂直，

∴AB2+BD2=AD2，BD2+BC2=DC2，AB2+BC2=AC2，

∵四面體AECD是正四面體，

∴AD=DC=AC，

∴BA=BC=BD，故A正確；

B.∵BA，BC，BD兩兩垂直且相等，四面體AECD是正四面體，

∴可將該多面體補充為正方體AMEN-BCHD，

∵F，G分別為AE，CD的中點，

∴可得FG∥AB，故B正確；

C.∵BD∥CH，CH∩平面ACE，

∴BD與平面ACE不平行，

故C錯誤；

D.連接BH，由正方形的性質，可知CD⊥BH，CD⊥EH，13．【答案】2【解析】【解答】解：∵可得到的3位數共有6種可能：123、132、213、231、312、321，

∴該三位數是奇數的概率P=46=23.

故答案為：214．【答案】8【解析】【解答】解：將三棱錐展開，如下圖所示：

∵∠APB=∠APC=∠BPC=40°，

∴∠APA1=120°，

∵展開前，△AEF周長為：AE+EF+AF，

∴易得，展開后，周長為：AE+EF+A1F，

∴由圖易知，當E、F與A、A1共線時，周長最小，

∴最小值為AA1，由余弦定理可得，AA15．【答案】8【解析】【解答】解：∵三棱錐P-ABC的體積V=13PA12AB·BCsin2π3=36，

∴解得BC=1，

設底面外接圓的半徑為r，

∴BC=2AC·sin60°=23，

∴2r=ACsin∠BAC，

∴AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos2π3=AB16．【答案】5【解析】【解答】解：設D為BC的中點，E為AD的中點，如圖所示，

∴PA→·PB→+PC→=2PA→·PD→=2PE→2-EA→2，

∵AB=AC=BC，

∴AD=32，AE=DE=34，

17．【答案】（1）解：∵z=(2∴2解得m=3（2）解：∵復數z在復平面內對應的點在第四象限，∴2解得?1<m<3【解析】【分析】（1）根據純虛數的定義，可列出關于m的一元二次方程組，求解即可得出m的值.

（2）根據z復平面內對應的點在第四象限，可知實部大于0，虛部小于0，即可求出答案．18．【答案】（1）解：在△ABC中因為b由正弦定理得sinB所以sin(A+B因為A+B+C=π，所以sin(A+B又C是△ABC的內角，所以sinC≠0．從而而A為△ABC的內角，所以A=（2）解：因為BD=3DC所以AD?從而9=1由基本不等式可得：9≥38bc+故△ABC的面積的最大值為1【解析】【分析】(1)利用正弦定理與三角形的內角和定理，即可求出cosA，進而求出A的值；

(2)根據平面向量的線性表示，用AB→，AC→19．【答案】（1）證明：因為四邊形ABCD為正方形，故CD⊥AD，因為PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD，又PA∩AD=A，PA，AD?平面PAD，故AG?平面PAD，故CD⊥AG，由PA=AB=4知PA=AD，G為PD中點，故PD⊥AG，又PD∩CD=D，PD，CD?平面PCD，所以（2）解：連接CG，由（1）可知CG是AC在平面PCD內的射影，所以∠ACG是AC與平面PCD所成的角.因為AG⊥平面PCD，所以AG⊥GC.在Rt△AGC中，AC=42，AG=1所以cos∠ACG=CGAC=32，所以∠ACG=30°，即直線【解析】【分析】（1）首先證明CD⊥平面PAD，即可證CD⊥AG，之后根據斜邊中線定理證明AG⊥PD，即可證明AG⊥平面PCD；

（2）由AG⊥平面PCD，CG是AC在平面PCD內的射影，即∠ACG為直線AC與平面PCD所成角，根求出AC、AG、CG，即可求出cos∠ACG，即可知∠ACG=30°20．【答案】（1）解：依題意，該城市這30天AQI的平均數為：(25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3（2）解：一級有2個數據，記為P、Q，五級（B）有3個數據，記為C、D、E，從中選取兩個有PQ、PC、PD、PE、QC、QD、QE、CD、CE、DE，共10種可能，一級和五級（B）數據恰均被選中有PC、PD、PE、QC、QD、QE，共6種可能．記“一級和五級（B）數據恰均被選中”為事件M，則P(（3）解：設“在本月30天中隨機抽取一天，該天經濟損失不超出600元”為事件N，分兩種情況：當0≤ω≤100時，S=0，此時概率為當100<ω≤300時，由S≤600，得此時概率為9+7+430綜上，由互斥事件的概率公式可得P(所以估計這天的經濟損失S不超過600元的概率為910【解析】【分析】（1）根據頻率分布直方圖求平均值的方法直接列式，即可求出答案；

（2）首先利用列舉法列出所有可能，根據古典概型公式計算，即可求出答案；

（3）首先求出經濟損失S不超過600元對應的ω的值、出現的天數，即可求出答案．21．【答案】（1）解：設AB=x，在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴∴AC=在△ADC中，∴2∴x=16答：雕像高度為16米（2）解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=45°，∴在Rt△AFB中，∵∠AFB=30°，∴tan30°=16在△