第第頁廣東省廣州市白云區2022-2023學年高一下學期期末數學試題一、單選題1．已知向量a=(3，?6)，A．－4 B．－1 C．1 D．42．拋擲兩枚質地均勻的骰子，則“拋擲的兩枚骰子的點數之和是6”的概率為（）A．112 B．536 C．173．已知甲組樣本數據分別為4，6，9，11，x，且平均數為7，若乙組樣本數據為7，11，17，21，2x?1，則乙組樣本數據的平均數為（）A．13 B．14 C．27 D．284．已知2?i是關于x的方程xA．p=4，q=?11 B．p=?4，q=3 C．5．已知等腰直角三角形的斜邊長為2，以直角邊所在直線為軸，其余兩邊旋轉一周形成的面圍成一個幾何體，這個幾何體的表面積為（）A．π3 B．2π C．(26．四名同學各擲骰子5次，分別記錄每次骰子出現的點數.根據四名同學的統計結果，可以判斷出一定沒有出現點數6的是（）A．中位數為3，眾數為3 B．中位數為3，極差為3C．平均數為3，中位數為3 D．平均數為3，眾數為47．已知棱長為1的正方體的頂點都在同一球面上.先從正方體的8個頂點中任取4個共面的點，再從球面上取1個點，形成四棱錐，這些四棱錐的體積的最大值為（）A．1+36 B．66 C．38．已知點P在△ABC所在平面內，滿足PA+PB+PCA．23 B．1 C．43二、多選題9．若平面α⊥平面β，且α∩βA．交線l的垂線必垂直于平面βB．與平面α垂直的直線平行于平面β或在平面β內C．平面α內的任一條直線必垂直于平面β內無數條直線D．過平面α內任意一點作交線l的垂線，則此垂線必垂直于平面β10．已知A，B是一個隨機試驗中的兩個隨機事件，若P(AB)=2A．事件A與B互為對立 B．事件A與B相互獨立C．P(A∪11．設z1，z2，z3A．若z1z3=z2zC．若|z1?z2|=12．在△ABC中，三個角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，AD=λA．若λ=1B．若λ=1C．若λ∈[D．若λ∈[三、填空題13．某市2023年6月某一周的空氣質量指數如下：35548086728558這一周空氣質量指數的第60百分位數為.14．已知復數z=1?i1+四、雙空題15．在△ABC中，已知AB=2，AC=62，∠BAC=45°，點D為邊BC的中點，則AD=，sin五、填空題16．在棱長為a的正方體ABCD?A1B1C六、解答題17．已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，向量m=(sinA（1）求角A；（2）若a=27，b＝4，求△18．圖1是正方形ABCD，E，F，G分別是AB，BC，CD的中點.將其沿對角線AC折起，連結DB，如圖2.請在圖2中證明：（1）AC//（2）AC⊥DB.19．為了解某市今年高一年級學生的身體素質狀況，從該市高一年級學生中抽取100名學生進行“擲實心球”的項目測試.經統計，成績均在2米到12米之間，把獲得的所有數據分[2，4)，[4，6（1）根據頻率分布直方圖，估計該市今年高一年級學生“擲實心球”成績的平均數（同一組中的數據以該組區間的中點值作代表）；（2）已知這100名學生中有女生40名，男生60名，這40名女生“擲實心球”成績的平均數和方差分別為7和2.1，這60名男生“擲實心球”成績的平均數和方差分別為8.5和2.4，求這100名學生“擲實心球”成績的方差.20．甲、乙兩人參加猜成語活動，每輪活動由甲、乙各猜一個成語，已知甲每輪猜對的概率為23，乙每輪猜對的概率為1（1）求經過兩輪活動，兩人共猜對2個成語的概率；（2）求經過兩輪活動，兩人猜對成語的個數不相同的概率.21．如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C（1）求證：BC⊥平面AB（2）若直線AC與平面A1BC所成角為α，二面角A1?BC?A的大小為β，試判斷22．古希臘的數學家海倫在其著作《測地術》中給出了由三角形的三邊長a，b，c計算三角形面積的公式：S=p(p?a)(p?b（1）利用以上信息，證明三角形的面積公式S=1（2）在△ABC中，a+c=8，tanB2

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】若a⊥b，則3×2+-6λ=0，解得λ=1.2．【答案】B【解析】【解答】由題意可知：拋擲兩枚質地均勻的骰子，共36個基本事件，123456123456723456783456789456789105678910116789101112

記”拋擲的兩枚骰子的點數之和是6“為事件A，包含5個基本事件，

所以PA=536.3．【答案】A【解析】【解答】設甲組樣本數據分別為xi，i∈1，2，3，4，5，乙組樣本數據分別為yi，i∈1，2，3，4，5，

由題意可知：xi，i∈1，2，3，4，5的平均數為x=7，且y4．【答案】D【解析】【解答】因為2?i是關于x的方程x2+px+q=0的一個根，

則2-i2+p2-i+q=2p+q+3-p+4i=0，

可得5．【答案】C【解析】【解答】由題意可知：等腰直角三角形的腰長為1，斜邊長為2，

故所得幾何體為圓錐，且底面半徑為1，母線長為2，

所以幾何體的表面積為π×12+π×1×2=6．【答案】D【解析】【解答】對A：當擲骰子出現的結果為1，2，3，3，6時，滿足中位數為3，眾數為3，故A錯誤；

對B：當擲骰子出現的結果為3，3，3，3，6時，滿足中位數為3，極差為3，故B錯誤；

對C：當擲骰子出現的結果為1，1，3，4，6時，滿足平均數為3，中位數為3，可以出現點6，故C錯誤；

對D：若平均數為3，且出現點數為6，則其余4個數的和為3×5?6=9，

而眾數為4，故其余4個數的和至少為2×4+2×1=10，

矛盾，所以D一定沒有出現點數6，故D正確.

故答案為：D.

【分析】對ABC，舉例子說明可以含有6即可；對D，利用反證法說明一定不含6.7．【答案】A【解析】【解答】因為棱長為1的正方體的頂點都在同一球面上，

所以該球的球心O是AC1與BD1的交點，可得該球的半徑為32，

因為從正方體的8個頂點中任取4個共面的點作為四棱錐的底面，

所以根據正方體的性質，只需要考慮四棱錐的底面為面ABCD與面ABC1D1兩種情況即可，

當四棱錐的底面為面ABCD時，易得SABCD=1，

該四棱錐的高最大值為O到底面ABCD的距離加上球的半徑，即12+32，

此時該四棱錐的體積為1312+32×1=1+36；

當四棱錐的底面為面ABC1D1時，易得8．【答案】D【解析】【解答】因為PA+PB+PC=0，則點P為△ABC的重心，

取BC的中點D，

則AP→=23AD→=23×12AB→+9．【答案】B,C【解析】【解答】對A：交線l的垂線可能不在平面α內，所以不一定垂直于平面β，故A錯誤；

對B：與平面α垂直的直線平行于平面β或在平面β內，故B正確；

對C：取平面β內無數條與交線垂直的直線，平面α內的已知直線與這無數條直線垂直，故C正確；

對D：若α內的任意一點取在交線l上，所作垂線可能不在平面α內，所以不一定垂直于平面β，故D錯誤.

故答案為：BC.

【分析】根據線面、面面關系逐一判斷即可.10．【答案】B,C【解析】【解答】對A：因為P(AB)=29≠0，所以事件A與B不互斥，所以事件A與B不互為對立，故A錯誤；

對B：P(A)P(B)=23×13=29，所以P(AB)=P(A)P(B)，所以事件A與B相互獨立，故B正確；

對C：P(A∪B)=P(A)+P(B)?P(AB)=23+13-29=79，故C正確；

對D：P11．【答案】A,D【解析】【解答】對A：若z1z3=z2z3，，則z1z3?z2z3=(z1?z2)z3=0，

因為z1≠z2，則z1?z2≠0，所以z3=0，故A正確；

對B：若z1=z3，則z12=z1z3，

因為|z1|2與z12不一定相等，所以|z1|2，z1z3不12．【答案】A,C,D【解析】【解答】對A：因為AD=λAC(λ∈R)，λ=12，所以AD=CD，

在△ABD中，ABsin∠ADB=ADsinθ，則csinθ=ABsinθ=ADsin∠ADB，

在△BCD中，BCsin∠CDB=CDsin(B?θ)，則asin(B?θ)=BCsin(B?θ)=CDsin∠CDB，

因為∠ADB=π?∠CDB，所以sin∠ADB=sin∠CDB，

所以csinθ=asin(B?θ)，故A正確；

對C：因為S△ABD+S△BCD=S△ABC，

所以12c?BDsinθ+12a?BDsin(B?θ)=12acsinB，

則sinθa+sin(B?θ)c=sin13．【答案】80【解析】【解答】把這一周空氣質量指數從小到大排列：35，54，58，72，80，85，86，

因為7×60%=4.2，

所以這一周空氣質量指數的第60百分位數為第5個數據，即80.

故答案為：80.

【分析】根據百分位數的定義即可求解.14．【答案】-1【解析】【解答】因為z=1?i1+i=1?i21+i1?i=-2i2=-i15．【答案】5；3【解析】【解答】由余弦定理，得BC2=AB2+AC2?2AB?ACcos∠BAC=22+(62)2?2×2×62×22=52，

即BC=213，BD=CD=13．

在△ABD中，由余弦定理，得cos∠BDA=BD2+AD2?AB22BD?AD=AD2+9213AD，

在△ACD中，由余弦定理，得cos∠CDA=CD2+AD2?AC22CD?AD=AD16．【答案】7【解析】【解答】如圖，依次連接AE，EF，FD1，D1A，四邊形AEFD1即為所求截面，

因為點E、F分別為棱BC、CC1的中點，所以EF∥D1A，

可知ADD1?ECF為三棱臺，所以S△ADD1=12×a×a=a22，S△ECF=1217．【答案】（1）解：因為m∥n，則sinA=且A∈(0，（2）解：由余弦定理a2=b整理得c2?4c?12=0，解得c=6或所以△ABC的周長a+b+c=2【解析】【分析】(1)根據向量平行可得sinA=3cosA，進而結合同角三角關系運算求解；

18．【答案】（1）證明：因為E，F分別為所以EF//因為AC?平面EFG，EF?平面所以AC//平面EFG（2）證明：如圖，取AC的中點H，連接DH，因為三角形DAC，三角形BAC均是以AC為底邊的等腰直角三角形，所以DH⊥AC，因為DH，BH是平面所以AC⊥平面DHB，因為DB?平面所以AC⊥DB.【解析】【分析】(1)根據三角形中位線可得EF//AC，結合線面平行的判定定理分析證明；

(2)根據三線合一可得19．【答案】（1）解：依題意，由頻率分布直方圖可得成績在[2，4)，[4，6)，所以0.05+0.所以該本的平均數為0.故估計該市今年高一年級學生“擲實心球”成績的平均數為7.（2）解：設這40名女生“擲實心球”成績的平均數和方差分別為x=7和s這60名男生“擲實心球”成績的平均數和方差分別為y=8.5這100名學生“擲實心球”成績的平均數和方差分別為z和s2則zs=2所以這100名學生“擲實心球”成績的方差為2.【解析】【分析】(1)根據頻率和為1求得2a=0.1，進而結合加權平均數的公式運算求解；

(2)根據方差公式20．【答案】（1）解：設“甲第k(k=1，2)輪猜對”為事件A則P(記“經過兩輪活動，兩人共猜對2個成語”為事件C，則事件C有三種可能：甲全對、甲乙各對一個、乙全對，所以P(（2）解：記“經過兩輪活動，兩人猜對成語的個數不相同”為事件D，則事件D有三種可能：均全錯、均錯一個、均全對，所以P(所以P【解析】【分析】(1)由題意可知：共猜對2個成語有甲全對、甲乙各對一個、乙全對，結合獨立事件概率乘法公式運算求解；

(2)事件D有三種可能：均全錯、均錯一個、均全對，結合獨立事件概率乘法公式以及對立事件概率運算求解.21．【答案】（1）解：在平面ABB1A1中，過點A作因為平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面所以AD⊥平面A1BC，又BC?平面A在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1⊥又AD∩AA1=A，AD，AA1（2）解：α<因為AD⊥平面A1所以直線AC與平面A1BC所成角為∠ACD，即∠ACD=因為AD⊥平面A1BC，CD?平面A1故在Rt△ACD中，tan因為BC⊥平面ABB1A1，A所以二面角A1?BC?A的平面角為∠A1BA又AD⊥A1B，故在Rt△又BC⊥AB，所以Rt△ABC中，必有AC>AB所以ADAC<AD因為y=tanx在(0【解析】【分析】(1)根據面面垂直的性質定理可得AD⊥平面A1B