專題二函數及其性質2.1函數的概念及表示考點一函數的概念及表示1.(2024新課標Ⅰ,8,5分,中)已知函數f(x)的定義域為R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且當x<3時,f(x)=x,則下列結論中一定正確的是()A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<100008B當x<3時,f(x)=x,因此,f(1)=1,f(2)=2,又f(x)>f(x-1)+f(x-2),∴f(3)>f(2)+f(1)=2+1=3,f(4)>f(3)+f(2)>3+2=5,……,以此類推知f(10)>89,……,f(16)>1597,……,f(20)>10946,因此B正確,D錯誤;取f(3)=1000,可知選項C錯誤;不妨設f(x)=f(x-1)+f(x-2)+λ(λ>0),則f(3)=f(2)+f(1)+λ=3+λ,f(4)=f(3)+f(2)+λ=5+2λ,……,f(10)=89+54λ,令f(10)<100,得89+54λ<100,∴λ<1154,因此當λ<1154時,f(10)<100,選項A錯誤.2.(2024新課標Ⅱ,8,5分,中)設函數f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0,則a2+b2的最小值為()A.18 B.14 C.18Cf(x)≥0?x+a≥0與ln(x+b)≥0的解集相同,①或x+a≤0與ln(x+b)≤0的解集相同.②由①得,x≥-a與x≥1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,由②得,-b<x≤-a與-b<x≤1-b的解集相同,因此,-a=1-b,即b=1+a,綜上所述,b=1+a.∴a2+b2=a2+(1+a)2=2a+122+123.(2015湖北文,7,5分)設x∈R,定義符號函數sgnx=1,x>0,A.|x|=x|sgnx|B.|x|=xsgn|x|C.|x|=|x|sgnxD.|x|=xsgnx答案D由已知可知xsgnx=x,x>0,0,x=0,?x,4.(2014江西理,3,5分)已知函數f(x)=5|x|,g(x)=ax2-x(a∈R).若f[g(1)]=1,則a=()A.1B.2C.3D.-1答案A由已知條件可知:f[g(1)]=f(a-1)=5|a-1|=1,∴|a-1|=0,得a=1.故選A.評析本題主要考查函數的解析式,正確理解函數的定義是解題關鍵.5.(2017山東理,1,5分)設函數y=4?x2的定義域為A,函數y=ln(1-x)的定義域為B,則A.(1,2)B.(1,2]C.(-2,1)D.[-2,1)答案D由4-x2≥0,解得-2≤x≤2,由1-x>0,解得x<1,∴A∩B={x|-2≤x<1}.故選D.6.(2015重慶文,3,5分)函數f(x)=log2(x2+2x-3)的定義域是()A.[-3,1]B.(-3,1)C.(-∞,-3]∪[1,+∞)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案D由x2+2x-3>0,解得x<-3或x>1,故選D.7.(2015湖北文,6,5分)函數f(x)=4?|x|A.(2,3)B.(2,4]C.(2,3)∪(3,4]D.(-1,3)∪(3,6]答案C要使函數f(x)有意義,需滿足4即|x|≤4,(x?3)(8.(2014山東理,3,5分)函數f(x)=1(loA.0,1C.0,12∪(2,+∞)D.0,答案C要使函數f(x)有意義,需使(log2x)2-1>0,即(log2x)2>1,∴log2x>1或log2x<-1.解之得x>2或0<x<12故f(x)的定義域為0,129.(2016課標Ⅱ文,10,5分)下列函數中,其定義域和值域分別與函數y=10lgx的定義域和值域相同的是()A.y=xB.y=lgxC.y=2xD.y=1答案D函數y=10lgx的定義域、值域均為(0,+∞),而y=x,y=2x的定義域均為R,排除A,C;y=lgx的值域為R,排除B,故選D.易錯警示利用對數恒等式將函數y=10lgx變為y=x,將其值域認為是R是失分的主要原因.評析本題考查函數的定義域和值域,熟練掌握基本初等函數的圖象和性質是解題的關鍵.10.(2022北京,4,4分)已知函數f(x)=11+2x,則對任意實數x,有(A.f(-x)+f(x)=0B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1D.f(-x)-f(x)=1答案C∵f(x)=11+2x,∴f(-x)=11+2?x=2x2x+1,∴f(x)一題多解:若對任意實數x,使得選項中式子成立,則可任取x值,代入驗證,進行排除.當x=0時,f(0)+f(0)=12+12=1,f(0)-f(0)=0,故A,D選項錯誤.當x=1時,f(-1)-f(1)=11+2?1?11.(2022北京,11,5分)函數f(x)=1x+1?答案(-∞,0)∪(0,1]解析由題意得x≠0,1?x≥0,解得x≤1且x≠0,所以函數f(x)的定義域為(-∞,0)∪(012.(2015課標Ⅱ文,13,5分)已知函數f(x)=ax3-2x的圖象過點(-1,4),則a=.

答案-2解析因為函數f(x)=ax3-2x的圖象過點(-1,4),所以4=a×(-1)3-2×(-1),故a=-2.13.(2016江蘇,5,5分)函數y=3?2x答案[-3,1]解析若函數有意義,則3-2x-x2≥0,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1.考點二分段函數1.(2015陜西文,4,5分)設f(x)=1?xA.-1B.14C.12答案C∵f(-2)=2-2=14,∴f(f(-2))=f14=1-14=12.(2015山東文,10,5分)設函數f(x)=3x?b,x<1,A.1B.78C.34答案Df56=3×56-b=當52-b≥1,即b≤32時,f52即252?b=4=22,得到52當52-b<1,即b>32時,f52?b即152-4b=4,得到b=78<32綜上,b=12,故選3.(2014江西文,4,5分)已知函數f(x)=a·2x,x≥0,2?xA.14B.1答案A由f[f(-1)]=f(2)=4a=1,得a=14,故選4.(2022浙江,14,6分)已知函數f(x)=?x2+2,x≤1,x+1x?1,x>1,則ff12=;若當x∈[a,b]時答案3728;3+解析∵f12∴ff1f(x)的大致圖象如圖.∵當x∈[a,b]時,1≤f(x)≤3,∴由圖可得b>1且b+1b-1=3,∴b=2+3∵f(a)=1,∴-a2+2=1,解得a=1或a=-1,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.一題多解:第二空:∵當x≤1時,y=-x2+2≤2,∴f(x)=3?x+1x-1=3(x>1),故x=2+3令-x2+2=1(x≤1),解得x=1或x=-1,令x+1x-1=1(x>1),無解∴amin=-1,b=2+3,∴(b-a)max=2+3-(-1)=3+3.5.(2014課標Ⅰ文,15,5分)設函數f(x)=ex?1,x<1,x1答案(-∞,8]解析f(x)≤2?x<1,ex?1≤2或x≥1,x13≤2?x<1,x

2.2函數的單調性和最值考點函數的單調性1.(2023新課標Ⅰ,4,5分,易)設函數f(x)=2x(x-a)在區間(0,1)單調遞減,則a的取值范圍是()A.(-∞,-2]B.[-2,0)C.(0,2]D.[2,+∞)答案Df(x)=2x(x-a)=2(x?a2)2?a24,由復合函數的單調性知函數y=x?a22-a24在(0,1)上單調遞減,所以2.(2024新課標Ⅰ,6,5分,中)已知函數f(x)=-x2-2ax-a,x<0,eA.(-∞,0] B.[-1,0] C.[-1,1] D.[0,+∞)6B當x≥0時,函數f(x)顯然是增函數;當x<0時,f(x)=-x2-2ax-a=-(x+a)2+a2-a,而f(x)在R上單調遞增,所以-a≥0,-a≤e0+ln(0+1),則-1易錯警示該題容易只考慮當x≥0時,函數f(x)是增函數,及當x<0時,函數f(x)是增函數,從而得到a≤0,而忽視了函數分界點處的函數值大小.3.(2023全國甲文,11,5分,中)已知函數f(x)=e?(x?1)2.記a=f22,b=f32,c=fA.b>c>aB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b答案A∵f(x)=e?(x?1)2是由y=eu和u=-(x∴f(x)在(-∞,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,又知f(2-x)=e?(2?x?1)2=e?(1?∴f(x)的圖象關于直線x=1對稱,∴f62=f2?又∵22<2-62<32<1,∴f22<f2?6即a<c<b,故選A.4.(2023北京,4,4分,易)下列函數中,在區間(0,+∞)上單調遞增的是()A.f(x)=-lnxB.f(x)=1C.f(x)=-1xD.f(x)=3|x答案C對于A,f(x)=-lnx在(0,+∞)上單調遞減,不符合題意;對于B,f(x)=12x在(0,+∞)上單調遞減,對于C,f(x)=-1x在(0,+∞)上單調遞增,符合題意對于D,f(x)=3|x-1|=3x?1,x≥1,13x?1,5.(2021全國甲文,4,5分)下列函數中是增函數的為()A.f(x)=-xB.f(x)=2C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解題指導:排除法,利用基本初等函數的性質逐一判斷四個選項.解析對于f(x)=-x,由正比例函數的性質可知,f(x)是減函數,故A不符合題意;對于f(x)=23x,由指數函數的單調性可知,f(x)是減函數,故B對于f(x)=x2,由二次函數的圖象可知,f(x)在(-∞,0)上單調遞減,在(0,+∞)上單調遞增,故C不符合題意;對于f(x)=3x=x13,由冪函數的性質可知,f(x)在(-∞,+∞)方法總結:一次函數y=kx+b(k≠0)單調性的判斷:若k>0,則函數在R上單調遞增;若k<0,則函數在R上單調遞減.指數函數y=ax(a>0且a≠1)單調性的判斷:若a>1,則函數在R上單調遞增;若0<a<1,則函數在R上單調遞減.冪函數y=xα單調性的判斷:若α>0,則函數在(0,+∞)上單調遞增;若α<0,則函數在(0,+∞)上單調遞減.6.(2021全國乙文,8,5分)下列函數中最小值為4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sinx|+4C.y=2x+22-xD.y=lnx+4答案C解題指導:對于A,利用配方法或二次函數的單調性求最值,對于B,C,D,利用換元法轉化為對勾函數進行判斷.解析對于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值為3,所以A不符合題意;對于B,設|sinx|=t,則0<t≤1,y=|sinx|+4|sinx=t+4t,t∈(0,1],易知y=t+4t在(0,1]上單調遞減,故t=1時,ymin=1+41=5,所以B不符合題意;對于C,令2x=t(t>0),則y=2x+22-x=t+4t,t>0,易知y=t+4t在(0,2)上單調遞減,在(2,+∞)上單調遞增,所以當t=2時,y取最小值,ymin=2+42=4,故C符合題意;對于D,令lnx=t,t∈R且t≠0,則y=lnx+4ln7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定義在R的奇函數f(x)在(-∞,0)單調遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是()A.[-1,1]∪[3,+∞)B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(x-1)的圖象關于點(1,0)中心對稱,又∵f(x)在(-∞,0)上單調遞減,∴f(x-1)在(-∞,1)上單調遞減,在(1,+∞)上也單調遞減,且過(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致圖象如圖:當-1≤x≤0時,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;當1≤x≤3時,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.綜上,滿足xf(x-1)≥0的x的取值范圍是[-1,0]∪[1,3].故選D.8.(2019北京文,3,5分)下列函數中,在區間(0,+∞)上單調遞增的是()A.y=x12C.y=log12答案A本題主要考查指數函數、對數函數、冪函數的單調性,考查數形結合的思想.考查的核心素養是直觀想象.A選項,12>0,所以冪函數y=x12在B選項,指數函數y=2-x=12x在(0,+∞)C選項,因為0<12<1,所以對數函數y=log12x在D選項,反比例函數y=1x在(0,+∞)上單調遞減解題關鍵熟練掌握基本初等函數的圖象和性質是解決本題的關鍵.9.(2016北京文,4,5分)下列函數中,在區間(-1,1)上為減函數的是()A.y=11?xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D選項A中,y=11?x=1?(x?1)的圖象是將y=-1x的圖象向右平移1個單位得到的,故y=11?x在(-1,1)上為增函數,不符合題意;選項B中,y=cosx在(-1,0)上為增函數,在(0,1)上為減函數,不符合題意;選項C中,y=ln(x+1)的圖象是將y=lnx的圖象向左平移1個單位得到的,評析本題考查了基本函數的圖象和性質以及圖象的變換,屬中檔題.10.(2015課標Ⅱ文,12,5分)設函數f(x)=ln(1+|x|)-11+x2,則使得f(x)>f(2x-1)成立的A.13,1B.?C.?13,13答案A當x>0時,f(x)=ln(1+x)-11+x2,∴f'(x)=11+x+2x(1+x2)2∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故選11.(2016浙江,7,5分)已知函數f(x)滿足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,則a≤bB.若f(a)≤2b,則a≤bC.若f(a)≥|b|,則a≥bD.若f(a)≥2b,則a≥b答案B依題意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,則2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函數,∴a≤b.故選B.12.(2023北京,15,5分,難)設a>0,函數f(x)=x+2,x①f(x)在區間(a-1,+∞)上單調遞減;②當a≥1時,f(x)存在最大值;③設M(x1,f(x1))(x1≤a),N(x2,f(x2))(x2>a),則|MN|>1;④設P(x3,f(x3))(x3<-a),Q(x4,f(x4))(x4≥-a).若|PQ|存在最小值,則a的取值范圍是0,1其中所有正確結論的序號是.

答案②③解析f(x)的大致圖象如圖所示,易知f(x)在(-∞,-a)上單調遞增,在[-a,0)上單調遞增,在[0,a]上單調遞減,在(a,+∞)上單調遞減.對于①,當12<a<1時,f(x)在(a-1,0)上單調遞增,故①錯誤對于②,當x<-a時,f(x)<-a+2≤1,當-a≤x≤a時,0≤f(x)≤a,當x>a時,f(x)<-a-1≤-2.綜上,x=0時,f(x)取得最大值a,故②正確.對于③,令M'(a,0),N'(a,-a-1),顯然|MN|>|M'N'|=a+1>1,故③正確.對于④,若|PQ|存在最小值,則點(0,0)到直線x+2=y的距離大于a,且直線y=-x與y=x+2的交點(-1,1)在射線y=x+2(x<-a)上,則21+1>a,且-1<-a,又a>0,所以0<a<1,故④錯誤綜上,所有正確結論的序號是②③.13.(2016北京文,10,5分)函數f(x)=xx?1(x≥2)答案2解析解法一:∵f'(x)=?1(x?1)2,∴x≥2時∴f(x)在[2,+∞)上單調遞減,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法二:∵f(x)=xx?1=x∴f(x)的圖象是將y=1x的圖象向右平移1個單位,再向上平移1個單位得到的.∵y=1x在[2,+∞)∴f(x)在[2,+∞)上單調遞減,故f(x)在[2,+∞)上的最大值為f(2)=2.解法三:由題意可得f(x)=1+1x∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1x?∴1<1+1x?1≤2,即1<故f(x)在[2,+∞)上的最大值為2.評析本題考查函數的最值,有多種解法,屬中檔題.14.(2015浙江文,12,6分)已知函數f(x)=x2,x≤1,x+6答案-12;26解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-1當x≤1時,f(x)=x2≥0,當x>1時,f(x)=x+6x-6≥26當且僅當x=6時,等號成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.15.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定義在R上的偶函數,且在區間(-∞,0)上單調遞增.若實數a滿足f(2|a-1|)>f(-2),則a的取值范圍是.

答案1解析由題意知函數f(x)在(0,+∞)上單調遞減.因為f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12

2.3函數的奇偶性、周期性和對稱性考點1函數的奇偶性1.(2023新課標Ⅱ,4,5分,易)若f(x)=(x+a)·ln2x?12x+1為偶函數,則aA.-1B.0C.12答案B解法一:∵f(x)為偶函數,∴f(1)=f(-1),又f(1)=(a+1)ln13=-(a+1)ln3,f(-1)=(a-1)ln3,∴-(a+1)=a-1,∴a=0解法二:f(-x)=(-x+a)ln?2x?1?2x+1=(-x+a)ln2x+12x?1=(x-a)ln2x?12x+1,∵f(x)為偶函數,∴f(x)=f(-2.(2023全國乙理,4,5分,中)已知f(x)=xexeax?1是偶函數,則aA.-2B.-1C.1D.2答案D解法一(特值法):f(x)的定義域為(-∞,0)∪(0,+∞).由f(x)是偶函數,可得f(x)=f(-x),令x=1,得f(1)=f(-1),即eea?1=?1a-1=1,所以a=2.解法二:f(x)=xexeax?1的定義域為(-∞,0)∪(由f(x)為偶函數知f(x)=f(-x),即xexeax化簡得e2x=eax,所以a=2.3.(多選)(2023新課標Ⅰ,11,5分,中)已知函數f(x)的定義域為R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),則()A.f(0)=0B.f(1)=0C.f(x)是偶函數D.x=0為f(x)的極小值點答案ABC令x=y=0,則f(0)=0·f(0)+0·f(0)=0,故A正確.令x=y=1,則f(1)=1×f(1)+1×f(1),所以f(1)=0,故B正確.令x=y=-1,則f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1),所以f(-1)=0,令y=-1,則f(-x)=f(x)+x2f(-1)=f(x),所以f(x)是偶函數,故C正確.取特殊函數f(x)=0,滿足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),此時x=0不是f(x)的極小值點,故D錯誤,故選ABC.4.(2015北京文,3,5分)下列函數中為偶函數的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案BA中函數為奇函數,B中函數為偶函數,C與D中函數均為非奇非偶函數,故選B.5.(2014課標Ⅰ,理3,文5,5分)設函數f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數,g(x)是偶函數,則下列結論中正確的是()A.f(x)g(x)是偶函數B.|f(x)|g(x)是奇函數C.f(x)|g(x)|是奇函數D.|f(x)g(x)|是奇函數答案C由題意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),對于選項A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函數,故A項錯誤;對于選項B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函數,故B項錯誤;對于選項C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函數,故C項正確;對于選項D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函數,故D項錯誤,選C.評析本題考查函數奇偶性的定義及其應用,考查學生的知識應用能力及邏輯推理論證能力,準確理解函數奇偶性的定義是解決本題的關鍵.7.(2021全國乙理,4,5分)設函數f(x)=1?x1+x,則下列函數中為奇函數的是(A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解題指導:思路一:將函數f(x)的解析式分離常數,通過圖象變換可得函數圖象關于(0,0)對稱,此函數即為奇函數;思路二:由函數f(x)的解析式,求出選項中的函數解析式,由函數奇偶性定義來判斷.解析解法一:f(x)=-1+2x+1,其圖象的對稱中心為(-1,-1),將y=f(x)的圖象沿x軸向右平移1個單位,再沿y軸向上平移1個單位可得函數f(x-1)+1的圖象,關于(0,0)對稱,所以函數f(x-1)+1是奇函數,故選解法二:選項A,f(x-1)-1=2x-2,此函數為非奇非偶函數;選項B,f(x-1)+1=2x,此函數為奇函數;選項C,f(x+1)-1=?2x?2x+2,此函數為非奇非偶函數;選項D,f(x+1)+1=28.(2023全國甲理,13,5分,易)若f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2為偶函數,則a答案2解析解法一:由題意知f(x)的定義域為R,∵f(x)=(x-1)2+ax+sinx+π2=x2+(a-2)x+cos∴f(-x)=(-x)2+(a-2)(-x)+cos(-x)+1=x2-(a-2)x+cosx+1.∵f(x)為偶函數,∴f(x)=f(-x),即x2+(a-2)x+cosx+1=x2-(a-2)x+cosx+1,即(a-2)x=-(a-2)x,∴a-2=0,∴a=2.解法二:由題意知f(x)的定義域為R.∵函數f(x)是偶函數,∴f(-1)=f(1),∴4-a+cos1=a+cos1,∴a=2.9.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函數f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函數,則a=.

答案1解題指導:利用偶函數的定義,取定義域內的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)為偶函數,∴f(1)=f(-1),∴2a-12∴a=1.當a=1時,f(x)=x3(2x-2-x),定義域為R,且滿足f(-x)=f(x),即f(x)為偶函數.一題多解y=x3和y=2x-2-x為奇函數,利用結論:奇函數×奇函數=偶函數,可快速判斷出a=1.10.(2022全國乙文,16,5分)若f(x)=lna+11?x+b是奇函數,則a=,答案-12;解析∵f(x)是奇函數,∴f(x)的定義域關于原點對稱.由已知得x≠1,∴x≠-1,即當x=-1時,a+11?x=0,∴a+12=0,∴a=-12,此時f(x∵f(x)為奇函數且在x=0處有意義,∴f(0)=0,即ln1+02(1?0)+b=ln12+b=0,綜上可知,a=-12,b=ln211.(2017課標Ⅱ文,14,5分)已知函數f(x)是定義在R上的奇函數,當x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,則f(2)=.

答案12解析本題主要考查運用函數的奇偶性求函數值.由題意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)時,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.12.(2015課標Ⅰ理,13,5分)若函數f(x)=xln(x+a+x2)為偶函數,則答案1解析由已知得f(-x)=f(x),即-xln(a+x2-x)=xln(x+a+x2),∴ln[(a+x2)2-x2]=0,得13.(2012課標文,16,5分)設函數f(x)=(x+1)2+sinxx2答案2解析f(x)=x2+1+2x+sinxx2+1=1+2x+sinxx2+1,令g(x)=考點2函數的周期性1.(2021全國甲理,12,5分)設函數f(x)的定義域為R,f(x+1)為奇函數,f(x+2)為偶函數,當x∈[1,2]時,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,則f92=()A.-9答案D解題指導:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),將出現的自變量0,3,92對應的函數值轉化為[1,2]內自變量對應的函數值,進而得到a,b以及f92解析由題知f從而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由題知f(x+1)為奇函數,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得a=?2,b=2,從而f(x)=-2x2+2,x∈[1,所以f92=f5一題多解因為f(x+1)與f(x+2)分別為奇函數和偶函數,所以函數f(x)的圖象關于點(1,0)和直線x=2對稱,且f(x)為周期函數,周期T=4,從而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②f92由①②結合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以f922.(2016山東,9,5分)已知函數f(x)的定義域為R.當x<0時,f(x)=x3-1;當-1≤x≤1時,f(-x)=-f(x);當x>12時,fx+12=fA.-2B.-1C.0D.2答案D當x>12時,由fx+12=fx?12可得f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),3.(2021全國甲文,12,5分)設f(x)是定義域為R的奇函數,且f(1+x)=f(-x).若f?13=13,則f5A.-5答案C解題指導:求出函數f(x)的周期再進行轉化,即可求解.解析由f(1+x)=f(-x),且f(x)是定義在R上的奇函數,可得f(1+x)=f(-x)=-f(x),所以f(2+x)=-f(1+x)=f(x),所以f(x)的周期為2,則f53=f5知識延伸:若函數f(x)為奇函數,且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對稱軸為直線x=a2,周期為2a;若函數f(x)為偶函數,且滿足f(a+x)=f(-x),則f(x)圖象的對稱軸為直線x=a2,4.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函數f(x)的定義域為R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,則k=122f(k)=(A.-3B.-2C.0D.1答案A令y=1,得f(x+1)+f(x-1)=f(x)①,故f(x+2)+f(x)=f(x+1)②.由①②得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+2)=-f(x-1),所以f(x+3)=-f(x),所以f(x+6)=-f(x+3)=f(x),所以函數f(x)的周期為6.令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)·f(0),故f(0)=2,同理,令x=1,y=1,得f(2)=-1;令x=2,y=1,得f(3)=-2;令x=3,y=1,得f(4)=-1;令x=4,y=1,得f(5)=1;令x=5,y=1,得f(6)=2.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)=0,所以k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-3.故選5.(2022全國乙理,12,5分)已知函數f(x),g(x)的定義域均為R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,g(2)=4,則k=122f(k)=(A.-21B.-22C.-23D.-24答案D由y=g(x)的圖象關于直線x=2對稱,得g(2+x)=g(2-x),故g(x)=g(4-x),由g(x)-f(x-4)=7,得g(2+x)-f(x-2)=7①,又f(x)+g(2-x)=5②,所以由②-①,得f(x)+f(x-2)=-2③,則f(x+2)+f(x)=-2④,所以由④-③,得f(x+2)=f(x-2),即f(x+4)=f(x),所以函數f(x)是以4為周期的周期函數.對于④,分別令x=1,2,得f(1)+f(3)=-2,f(2)+f(4)=-2,則f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=-4.對于①,令x=-1,得g(1)-f(-3)=7,則g(1)-f(1)=7⑦,對于②,令x=1,得f(1)+g(1)=5⑧,由⑦⑧,得f(1)=-1.對于②,令x=0,得f(0)+g(2)=5,又g(2)=4,所以f(0)=1，對于③,令x=2,得f(2)+f(0)=-2，所以f(2)=-3.則i=122f(k)=5×(-4)+f(1)+f(2)=-20+(-1)+(-36.(2016四川,14,5分)已知函數f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數,當0<x<1時,f(x)=4x,則f?52+f(1)=答案-2解析∵f(x)是定義在R上的奇函數,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期為2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f?52=f?12=-f12考點3函數的對稱性1.(多選)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函數f(x)及其導函數f'(x)的定義域均為R,記g(x)=f'(x).若f32?2x,g(2+x)均為偶函數,則(A.f(0)=0B.g?1C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若設f(x)=1,則g(x)=0,易知所設f(x)符合題意,此時f(0)=1,故選項A錯誤.設f(x)=sin(πx),則g(x)=f'(x)=πcos(πx),由于f32?2x=sinπ32?2x=sin3π2?2πg(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以f32?2x,g(2+x)均為偶函數,則所設f(x于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故選項D錯誤.由于f32?2x是偶函數,所以f'即g32?2x是奇函數,則g32=0,注意到g(2+x)是偶函數=-g?=g32+2×故選項B正確.由f32?2x=f32+2x,取x=54,則f(-1故選BC.解法二:由題意知f32?2x=f32+2x?f32?取x=1,知f(-1)=f(4),C正確.對①兩邊求導知-f'(-x)=f'(3+x)?f'(-x)=-f'(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-32,知g32g(2+x)=g(2-x)?g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).從而g?12=g2?同解法一可判斷A,D錯誤.故選BC.2.(2014課標Ⅱ文,15,5分)偶函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,f(3)=3,則f(-1)=.

答案3解析∵函數y=f(x)的圖象關于直線x=2對稱,∴f(2+x)=f(2-x)對任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.

3.4二次函數、冪函數考點1二次函數1.(2023天津,15,5分)若函數f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為.

答案(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解析f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有兩個不等實根,即函數g(x)=ax2-2x與h(x)=|x2-ax+1|的圖象有兩個交點.(1)當a2-4≤0,即-2≤a≤2時,x2-ax+1≥0恒成立,∴h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1,f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1,①當a-1=0,即a=1時,f(x)有一個零點,不合題意;②當a-1≠0,即a≠1時,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2,當a2=0,即a=0時,f(x)有一個零點,不合題意;當a2>0,即a≠0且a≠1時,f(x)有兩個零點.∴-2≤a≤2且a≠0且a≠1.(2)當a<-2時,-1<2a<0,a2<-1,作出y=g(x)與y=h(x)設y=h(x)的兩個零點為x1,x2,且x1<x2,∵x1x2=1,y=h(x)圖象的對稱軸為直線x=a2,且a2<-1,∴x1<x2令k(x)=x2-ax+1,則k2a=∴2a<x2<0由k2a<g2a可知x2∴由圖可得,當a<-2時,g(x)的圖象與h(x)的圖象有兩個不同的交點.(3)當a>2時,0<2a<1,a2>1,作出y=g(x)與y=h(x)設y=h(x)的兩個零點為x1,x2,且x1<x2,k2a=4a2-2+1<0,∴∵x1x2=1,a2>1,∴0<x1<2∵g(x)的二次項系數a>2,k(x)的二次項系數為1,∴g(x)的圖象的開口小于k(x)的圖象的開口.∴由圖可得,當a>2時,g(x)的圖象與h(x)的圖象有兩個交點.綜上,a的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).2.(2022北京,14,5分)設函數f(x)=?ax+1,x<a,(x?2)2,x≥a.若答案12([0,1]中任意一個實數都可以,答案不唯一);解析當a<0時,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上為增函數,無最小值.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值為0,所以f(x)不存在最小值.當a=0時,f(x)=1,x<0,(x?2)2,x≥0,此時f(x)存在最小值,最小值為0.當0<a≤1時,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上單調遞減,所以f(x)>1-a2.因為a∈(0,1],所以1-a2∈[0,1),所以f(x)>0.而f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上存在最小值,最小值為0,所以f(x)在R上存在最小值.當a>1時,f(x)=-ax+1在(-∞,a)上單調遞減,所以f(x)>1-a2.f(x)=(x-2)2在[a,+∞)上的最小值大于或等于0,而1-a2<0,所以函數f(x)在R上不存在最小值.綜上,a考點2冪函數1.(2023天津,3,5分)設a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,則a,b,c的大小關系為()A.c>a>bB.c>b>aC.a>b>cD.b>a>c答案D∵f(x)=1.01x單調遞增,∴f(0.5)<f(0.6),即a<b.∵g(x)=x0.5單調遞增,∴g(1.01)>g(0.6),即a>c,∴b>a>c,故選D.2.(2016課標Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A因為a=243=423,c=2513=523,函數y=x23在又因為函數y=4x在R上單調遞增,所以425<42所以b<a<c,故選A.3.(2015天津文,7,5分)已知定義在R上的函數f(x)=2|x-m|-1(m為實數)為偶函數.記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關系為()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案B因為f(x)是偶函數,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上為增函數,由題意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因為log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故選B.4.(2013課標Ⅱ文,12,5分)若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D由2x(x-a)<1得a>x-12x,令f(x)=x-12x,即a>f(x)有解,則a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上遞增,所以f(x)>f(0)=-1,評析本題考查了函數的值域與最值的求法,考查了分離參變量的方法,熟悉基本初等函數的單調性是解題關鍵.

2.5指數與指數函數考點指數式與指數函數1.(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,則4a-3b=()A.25B.5C.25答案C由題意知b=log83=log233=13log23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×2.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=52,ab=ba,則a=,b=答案4;2解析令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=52得,t+1t=52,解得t=12或t=2(舍去),即logab=12,∴b=a,又ab=ba,∴aa=(a)a,即aa=aa評析本題考查對數式、指數式的運算,注意logab=1logba,先求出loga3.(2016課標Ⅲ,6,5分)已知a=243,b=425,c=2A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A因為a=243=423,c=2513=523,函數y=x23在又因為函數y=4x在R上單調遞增,所以425<42所以b<a<c,故選A.4.(2015天津文,7,5分)已知定義在R上的函數f(x)=2|x-m|-1(m為實數)為偶函數.記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關系為()A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.c<b<a答案B因為f(x)是偶函數,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上為增函數,由題意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因為log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故選B.5.(2013課標Ⅱ文,12,5分)若存在正數x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是()A.(-∞,+∞)B.(-2,+∞)C.(0,+∞)D.(-1,+∞)答案D由2x(x-a)<1得a>x-12x,令f(x)=x-12x,即a>f(x)有解,則a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上遞增,所以f(x)>f(0)=-1,評析本題考查了函數的值域與最值的求法,考查了分離參變量的方法,熟悉基本初等函數的單調性是解題關鍵.6.(2015山東理,14,5分)已知函數f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=.

答案-3解析①當a>1時,f(x)在[-1,0]上單調遞增,則a?1②當0<a<1時,f(x)在[-1,0]上單調遞減,則a?1+b=0,評析本題主要考查指數函數的性質及分類討論的思想.

2.6對數與對數函數考點1對數運算1.(2024北京,9,4分,易)已知(x1,y1),(x2,y2)是函數y=2x的圖象上兩個不同的點,則()A.log2y1+y22<x1C.log2y1+y22<x1+x2 D.log29Blog2y1+y22=log22x1當且僅當2x1=2x2,即x1=x2又(x1,y1),(x2,y2)是函數y=2x圖象上不同的兩點,∴x1≠x2,∴log2y1+y222.(2021全國甲理,4,5分)青少年視力是社會普遍關注的問題,視力情況可借助視力表測量.通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據,五分記錄法的數據L和小數記錄法的數據V滿足L=5+lgV.已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據約為(1010≈1.259)()A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6答案C解題指導:將L=4.9代入L=5+lgV,結合對數與指數互化,即可求出V的值.解析將L=4.9代入L=5+lgV,得4.9=5+lgV,即lgV=-0.1=-110∴V=10?110=∴其視力的小數記錄法的數據約為0.8.故選C.3.(2024全國甲理,15,5分,中)已知a>1且1log8a-1loga15答案64解析∵1log8a-1loga4=-52即3loga2-12log設t=loga2,∵a>1,∴t>0,則3t-12t=-52,整理得6t2∵t>0,∴t=16,即loga2=16,∴a16=2,4.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=52,ab=ba,則a=,b=答案4;2解析令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=52得,t+1t=52,解得t=12或t=2(舍去),即logab=12,∴b=a,又ab=ba,∴aa=(a)a,即aa=aa評析本題考查對數式、指數式的運算,注意logab=1logba,先求出loga考點2對數函數1.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關系為()A.c<b<aB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案A本題考查指數函數與對數函數的圖象和性質;通過對對數式的估算或適當“縮放”考查學生的直觀想象與邏輯推理的核心素養.顯然c=0.30.2∈(0,1).因為log33<log38<log39,所以1<b<2.因為log27>log24=2,所以a>2.故c<b<a.選A.2.(2016課標Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0<c<1,則()A.logac<logbcB.logca<logcbC.ac<bcD.ca>cb答案B∵0<c<1,∴當a>b>1時,logac>logbc,A項錯誤;∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上單調遞減,又a>b>0,∴logca<logcb,B項正確;∵0<c<1,∴函數y=xc在(0,+∞)上單調遞增,又∵a>b>0,∴ac>bc,C項錯誤;∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上單調遞減,又∵a>b>0,∴ca<cb,D項錯誤.故選B.評析本題主要考查了冪函數、指數函數、對數函數的圖象和性質,熟練掌握冪函數、指數函數、對數函數的圖象和性質是解題的關鍵.3.(2013課標Ⅱ理,8,5分)設a=log36,b=log510,c=log714,則()A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c答案D由對數運算法則得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由對數函數圖象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故選D.4.(2013課標Ⅱ文,8,5分)設a=log32,b=log52,c=log23,則()A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b答案D∵3<2<3,1<2<5,3>2,∴log33<log32<log33,log51<log52<log55,log23>log22,∴12<a<1,0<b<1∴c>a>b.故選D.5.(2012課標文,11,5分)當0<x≤12時,4x<logax,則a的取值范圍是A.0,22B.22,1C.(1,答案B易知0<a<1,則函數y=4x與y=logax的大致圖象如圖,則只需滿足loga12>2,解得a>22,∴22評析本題考查了利用數形結合解指數、對數不等式.

2.7函數的圖象考點函數圖象1.(2024全國甲理,7,5分,中)函數y=-x2+(ex-e-x)sinx在區間[-2.8,2.8]的圖象大致為()7B設f(x)=y=-x2+(ex-e-x)sinx,則f(-x)=-(-x)2+(e-x-ex)sin(-x)=-x2+(ex-e-x)sinx=f(x),定義域關于原點對稱,∴f(x)為偶函數,故排除A、C.又∵sin1>sinπ6=12,e-∴f(1)=-1+e-1esin1>-1+2×12.(2023天津,4,5分,易)函數f(x)的圖象如圖所示,則f(x)的解析式可能為()A.f(x)=5(ex?e?x)C.f(x)=5(ex+e?x)答案D由題圖可知f(x)為偶函數,而選項A,B中的函數均為奇函數,所以排除A,B.又因為選項C中,f(x)=5(ex+e?x3.(2022全國甲,理5,文7,5分)函數y=(3x-3-x)cosx在區間?π2,π答案A設f(x)=(3x-3-x)cosx.∵f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-f(x),且區間?π2∴f(x)為奇函數,故排除B,D.又f(1)=83cos1>0,故排除C.故選A4.(2022全國乙文,8,5分)下圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3,3]的大致圖象,則該函數是()A.y=?B.y=xC.y=2D.y=2sin答案A由題圖可知,當x=3時,y<0.對于B,當x=3時,y=33?332+1對于D,∵π2<3<π,∴sin3>0,∴當x=3時,y=2sin332+1>0對于C,當0<x≤3時,cosx<1,x2+1≥2x,∴0<2xx∴2xcosxx2+1≤cosx<1,由題圖可知當0<x<3時,函數的極大值大于1,5.(2021浙江,7,4分)已知函數f(x)=x2+14,g(x)=sinx,則圖象為右圖的函數可能是(A.y=f(x)+g(x)-14B.y=f(x)-g(x)-C.y=f(x)g(x)D.y=g答案D解題指導:由f(x)=x2+14,g(x)=sinx,結合題設所給函數圖象知,其所對應的函數具有以下特性:①奇函數,②在0,π4上先增后減解析由題圖可知函數為奇函數且在0,π4上先增后減.A選項,y=x2+sinx,B選項,y=x2-sinx均不符合奇函數這條性質,故排除;C選項,y=x2+14·sinx,顯然f(x),g(x)均在0,π4上單調遞增,且f(x)>0,g(x)>0,故y=x2+1方法總結:函數圖象的識辨問題,一般從以下幾個方面進行分析:①定義域,②奇偶性、單調性,③特殊點,④函數值的正負,⑤極限,利用排除法快速選出答案.6.(2017課標Ⅰ文,8,5分)函數y=sin2x1答案C本題考查函數圖象的識辨.易知y=sin2x1?cosx為奇函數,圖象關于原點對稱,故排除B選項;sin2≈sin120°=32,cos1則f(1)=sin21?cos1=3,故排除Af(π)=sin2π1?cosπ=0,故排除方法總結已知函數解析式判斷函數圖象的方法:(1)根據函數的定義域判斷圖象的左右位置,根據函數的值域判斷圖象的上下位置;(2)根據函數的單調性判斷圖象的變化趨勢;(3)根據函數的奇偶性判斷圖象的對稱性;(4)根據函數的周期性判斷圖象的循環往復.7.(2017課標Ⅲ文,7,5分)函數y=1+x+sinxx答案D當x∈(0,1)時,sinx>0,∴y=1+x+sinxx2>1+x>1,排除令f(x)=x+sinxx2,則∴f(x)=x+sinxx∴y=1+x+sinxx2的圖象關于點(0,1)對稱故選D.解后反思函數圖象問題,一般從定義域、特殊點的函數值、單調性、奇偶性等方面入手進行分析.選擇題通常采用排除法.8.(2016課標Ⅰ,理7,文9,5分)函數y=22-e|x|在[-2,2]的圖象大致為()答案D當x=2時,y=8-e2∈(0,1),排除A,B;易知函數y=2x2-e|x|為偶函數,當x∈[0,2]時,y=2x2-ex,求導得y'=4x-ex,當x=0時,y'<0,當x=2時,y'>0,所以存在x0∈(0,2),使得y'=0,故選D.9.(2016浙江,3,5分)函數y=sinx2的圖象是()答案D排除法.由y=sinx2為偶函數判斷函數圖象的對稱性,排除A,C;當x=π2時,y=sinπ22=sinπ24≠10.(2015課標Ⅱ,理10,文11,5分)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點.點P沿著邊BC,CD與DA運動,記∠BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數f(x),則y=f(x)的圖象大致為()答案B當點P與C、D重合時,易求得PA+PB=1+5;當點P為DC的中點時,有OP⊥AB,則x=π2,易求得PA+PB=2PA=22.顯然1+5>22,故當x=π2時,f(x)沒有取到最大值,則C、D選項錯誤.當x∈0,π4時,f(x)=tanx+4+tan211.(2015浙江,5,5分)函數f(x)=x?1xcosx(-π≤x≤π且x≠答案D因為f(-x)=?x+1xcos(-x)=-x?1xcosx=-f(x),所以函數f(x)為奇函數,排除A、B.當0<x<1時,x-1x<0,cos12.(2012課標理,10,5分)已知函數f(x)=1ln(x+1)?x答案B令g(x)=ln(x+1)-x,則g'(x)=1x+1-1=∴當-1<x<0時,g'(x)>0,當x>0時,g'(x)<0,∴g(x)max=g(0)=0.∴f(x)<0,排除A、C,又由定義域可排除D,故選B.評析本題考查了函數的圖象,考查了利用導數判斷函數單調性,求值域,考查了數形結合的數學思想.13.(2015安徽文,10,5分)函數f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖所示,則下列結論成立的是()A.a>0,b<0,c>0,d>0B.a>0,b<0,c<0,d>0C.a<0,b<0,c>0,d>0D.a>0,b>0,c>0,d<0答案A由f(x)的圖象易知d>0,且f'(x)=3ax2+2bx+c的圖象是開口向上的拋物線,與x軸正半軸有兩個不同的交點,則a>0,?b3評析本題考查導數的應用及運用圖象解題的能力.14.(2016課標Ⅱ,12,5分)已知函數f(x)(x∈R)滿足f(-x)=2-f(x),若函數y=x+1x與y=f(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),則∑i=1mA.0B.mC.2mD.4m答案B由f(-x)=2-f(x)可知f(x)的圖象關于點(0,1)對稱,又易知y=x+1x=1+1x的圖象關于點(0,1)對稱,所以兩函數圖象的交點成對出現,且每一對交點都關于點(0,1)對稱,∴∑i=1m(xi+yi)=0×思路分析分析出函數y=f(x)和y=x+1x的圖象都關于點(0,1)對稱,進而得兩函數圖象的交點成對出現,且每一對交點都關于點(0,1)對稱,15.(2015安徽文,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,若直線y=2a與函數y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則a的值為.

答案-1解析若直線y=2a與函數y=|x-a|-1的圖象只有一個交點,則方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-12

2.8函數的零點與方程的根考點函數的零點1.(2024新課標Ⅱ,6,5分,中)設函數f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cosx+2ax.當x∈(-1,1)時,曲線y=f(x)與y=g(x)恰有一個交點.則a=()A.-1 B.12 C.1 6D令f(x)=g(x),則a(x+1)2-1=cosx+2ax,即a=1+cos顯然y=1+cosx1+x若曲線f(x)與g(x)恰有一個交點,則曲線y=1+cosx1+x2與直線y=a恰有一個交點,故此交點必在y軸上,即x=0,此時2.(2015天津文,8,5分)已知函數f(x)=2?|x|,xA.2B.3C.4D.5答案A由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=|x?2|+1,x≥0,3?x2,x<0.由圖可知函數y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個交點,所以函數y=f(x)-g(x)的零點個數為2,選A.3.(2014北京文,6,5分)已知函數f(x)=6x-log2x.在下列區間中,包含f(x)零點的區間是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)答案C∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(4)=64-log24=32-2<0,∴包含f(x)零點的區間是(2,4),4.(2011課標,10,5分)在下列區間中,函數f(x)=ex+4x-3的零點所在的區間為()A.?14C.14,答案C顯然f(x)為定義域R上的連續函數.如圖作出y=ex與y=3-4x的圖象,由圖象知函數f(x)=ex+4x-3的零點一定落在區間0,34內,又f14=4e-2<0,f12評析本題考查函數零點的概念及求解方法,考查學生分析問題、解決問題的能力,屬中等難度試題.5.(2023天津,15,5分,難)若函數f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,則a的取值范圍為.

答案(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞)解析f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且僅有兩個零點,即方程ax2-2x=|x2-ax+1|有兩個不等實根,即函數g(x)=ax2-2x與h(x)=|x2-ax+1|的圖象有兩個交點.(1)當a2-4≤0,即-2≤a≤2時,x2-ax+1≥0恒成立,∴h(x)=|x2-ax+1|=x2-ax+1,f(x)=ax2-2x-x2+ax-1=(a-1)x2+(a-2)x-1,①當a-1=0,即a=1時,f(x)有一個零點,不合題意;②當a-1≠0,即a≠1時,Δ=(a-2)2+4(a-1)=a2,當a2=0,即a=0時,f(x)有一個零點,不合題意;當a2>0,即a≠0且a≠1時,f(x)有兩個零點.∴-2≤a≤2且a≠0且a≠1.(2)當a<-2時,-1<2a<0,a2<-1,作出y=g(x)與y=h(x)設y=h(x)的兩個零點為x1,x2,且x1<x2,∵x1x2=1,y=h(x)圖象的對稱軸為直線x=a2,且a2<-1,∴x1<x2令k(x)=x2-ax+1,則k2a=∴2a<x2<0由k2a<g2a可知x2∴由圖可得,當a<-2時,g(x)的圖象與h(x)的圖象有兩個不同的交點.(3)當a>2時,0<2a<1,a2>1,作出y=g(x)與y=h(x)設y=h(x)的兩個零點為x1,x2,且x1<x2,k2a=4a2-2+1<0,∴∵x1x2=1,a2>1,∴0<x1<2∵g(x)的二次項系數a>2,k(x)的二次項系數為1,∴g(x)的圖象的開口小于k(x)的圖象的開口.∴由圖可得,當a>2時,g(x)的圖象與h(x)的圖象有兩個交點.綜上,a的取值范圍為(-∞,0)∪(0,1)∪(1,+∞).6.(2016山東文,15,5分)已知函數f(x)=|x|,x≤m,x2?2mx+4m,x答案(3,+∞)解析f(x)的圖象如圖所示,若存在實數b,使得關于x的方程f(x)=b有三個不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.方法總結分段函數問題、函數零點個數問題或方程根的個數問題通常采用數形結合的思想方法來解決.評析本題考查基本初等函數及分段函數的圖象,考查數形結合的思想方法,屬于難題.7.(2016天津文,14,5分)已知函數f(x)=x2+(4a?3)x+3a,x<0,loga(x+1)+1,x≥0答案1解析∵函數f(x)在R上單調遞減,∴?4a?32≥0,0<a<1,3a≥1,解得1方程|f(x)|=2-x3恰有兩個不相等的實數解等價于y=|f(x)|的圖象與y=2-x3的圖象恰有兩個交點,則需滿足3a<2,得a<23,綜上可知,13易錯警示(1)f(x)在R上單調遞減,需滿足?4a(2)由方程解的個數求參數范圍往往利用數形結合思想將問題轉化為兩個函數圖象交點個數的問題是解決這類問題常用的方法.評析本題主要考查分段函數的單調性及函數與方程,利用數形結合思想,將方程解的個數問題轉化為兩個函數圖象交點個數的問題是求解這類問題的常用方法.8.(2015湖南理,15,5分)已知函數f(x)=x3,x≤a,x2,x>答案(-∞,0)∪(1,+∞)解析當a<0時,若x∈(a,+∞),則f(x)=x2,當b∈(0,a2)時,函數g(x)=f(x)-b有兩個零點,分別是x1=-b,x2=b.當0≤a≤1時,f(x)的圖象如圖所示,易知函數y=f(x)-b最多有一個零點.當a>1時,f(x)的圖象如圖所示,當b∈(a2,a3]時,函數g(x)=f(x)-b有兩個零點,分別是x1=3b,x2=b綜上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).9.(2015北京理,14,5分)設函數f(x)=2①若a=1,則f(x)的最小值為;

②若f(x)恰有2個零點,則實數a的取值范圍是.

答案①-1②12,1解析①當a=1時,f(x)=2x?由圖可知f(x)的最小值為-1.②當a≤0時,顯然函數f(x)無零點;當0<a<1時,易知f(x)在(-∞,1)上有一個零點,要使f(x)恰有2個零點,則當x≥1時,f(x)有且只有一個零點,結合圖象可知,2a≥1,即a≥12,則12當a≥1時,2a>1,由二次函數的性質可知,當x≥1時,f(x)有2個零點,則要使f(x)恰有2個零點,則需要f(x)在(-∞,1)上無零點,則2-a≤0,即a≥2.綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是12,110.(2015湖北文,13,5分)函數f(x)=2sinxsinx+π2-x2答案2解析f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函數f(x)的零點個數可轉化為函數y1=sin2x與y2=x2圖象的交點個數,在同一坐標系中畫出y1=sin2x與y2=x2的圖象如圖所示:由圖可知兩函數圖象有2個交點,則f(x)的零點個數為2.11.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lgx|-kx-2,給出下列四個結論:①若k=0,則f(x)有兩個零點;②?k<0,使得f(x)有一個零點;③?k<0,使得f(x)有三個零點;④?k>0,使得f(x)有三個零點.以上正確結論的序號是.

答案①②④解析令f(x)=|lgx|-kx-2=0,得|lgx|=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零點個數即函數g(x)與h(x)圖象的交點個數.當k=0時,如圖a,g(x)與h(x)的圖象有兩個交點,則f(x)有兩個零點,故①正確;當k>0時,如圖b,存在h(x)=k0x+2的圖象與函數g(x)=lgx(x>1)的圖象相切,此時h(x)與g(x)的圖象有兩個交點,當0<k<k0時,g(x)與h(x)的圖象有三個交點,則f(x)有三個零點,故④正確;當k<0時,如圖c,g(x)與h(x)的圖象最多有兩個交點,g(x)與h(x)相切時有一個交點,如圖d,故②正確,③不正確.綜上,正確結論的序號為①②④.圖a圖b圖c圖d解題指導:由f(x)=0得|lgx|=kx+2,令g(x)=|lgx|,h(x)=kx+2,則f(x)零點個數轉化為g(x)與h(x)圖象的交點個數,再利用圖象解決問題.

2.9.函數模型及應用考點函數模型及應用1.(2024北京,7,4分,易)生物豐富度指數d=S-1lnN是河流水質的一個評價指標,其中S,N分別表示河流中的生物種類數與生物個體總數,生物豐富度指數d越大,水質越好.如果某河流治理前后的生物種類數S沒有變化,生物個體總數由N1變為N2,生物豐富度指數由2.1提高到3.15,則A.3N2=2N1 B.2N2=3N1C.N22=N13 7D由題意知S-1lnN1=2.1①,即3lnN2=2lnN1,即lnN23=lnN12,所以N22.(多選)(2023新課標Ⅰ,10,5分,中)噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱,定義聲壓級Lp=20×lgpp0,其中常數p0(p0>0)是聽覺下限閾值,p是實際聲壓.聲源與聲源的距離/m聲壓級/dB燃油汽車1060~90混合動力汽車1050~60電動汽車1040已知在距離燃油汽車、混合動力汽車、電動汽車10m處測得實際聲壓分別為p1,p2,p3,則()A.p1≥p2B.p2>10p3C.p3=100p0D.p1≤100p2答案ACD對于C,由題意知20×lgp3p0=40,即lgp3p0=2,所以p3對于