2.2有理數的加減運算第1課時有理數的加法在足球循環賽中，通常把進球數記作正數，失球數記作負數，它們的和叫作凈勝球數。隊伍進球數失球數凈勝球數甲4－2？乙1－1？4＋(－2)1－(－1)我們又該怎樣進行計算呢?某班舉行知識競賽，評分標準是：答對1題加1分，答錯1題扣1分，不回答得0分。每個參賽隊的基本分均為0分。加1分、扣1分，得0分；扣1分加1分，得0分。“加1分、扣1分，得0分”“扣1分加1分，得0分”可以分別用如下算式表示：(＋1)＋(－1)＝0，(－1)＋(＋1)＝0。(1)第一環節和第二環節各有5道題。三個參賽隊在前兩個環節的得分情況見下表，你能把下表補充完整嗎?你是怎么做的?與同伴進行交流。52＋3＝5－5－1(－2)＋(－3)＝－5(－3)＋2＝－1(2)小明用1個表示＋1，用1個表示－1，用直觀表示(＋1)＋(－1)＝0，用直觀表示(－1)＋(＋1)＝0。他列出了兩個算式，并給出了直觀的解釋，你能理解他的做法嗎?(3)如果有第四個參賽隊，那么第四隊前兩個環節的得分可能會出現哪些情形，據此可以列出哪些算式?你能直觀解釋運算過程和結果嗎?還有可能出現第一環節加3分，第二環節扣2分(或第一環節扣4分，第二環節加4分)等的情形。你能用類似的方法計算3＋(－2)，(－4)＋4嗎？3＋(－2)＝1(－4)＋4＝0嘗試·交流(1)兩個有理數相加，有哪幾種情形?你是怎樣分類的?第一個加數第二個加數＋正數0負數正數0負數共3種類型：①同號兩數相加；②異號兩數相加；③一個數同0相加。(2)對于(1)中的每種情形，和是怎么確定的?與同伴進行交流。(－4)＋(－8)＝

－(4＋8)＝－12(－9)＋(＋2)＝－(9－2)＝－7同號兩數相加異號兩數相加取相同符號取絕對值較大的數的符號兩個加數的絕對值相加。較大的絕對值減較小的絕對值。和是綜合加數的正負性和絕對值的大小關系確定的。有理數加法(addition)法則同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。異號兩數相加，絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減較小的絕對值。一個數同0相加，仍得這個數。例1計算：(1)180＋(－10)；(2)(－10)＋(－1)；(3)5＋(－5)；(4)0＋(－2)。你能說出每一步運算的依據嗎?(1)180＋(－10)；(2)(－10)＋(－1)；解：180＋(－10)＝＋(180－10)

＝170；解：(－10)＋(－1)＝－(10＋1)＝－11；異號兩數相加取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值同號兩數相加取相同的符號，并把絕對值相加(3)5＋(－5)；(4)0＋(－2)。解：5＋(－5)＝0；解：0＋(－2)＝－2。互為相反數的兩數相加一個數同0相加思考·交流(1)根據有理數加法法則，如果兩個數互為相反數，那么它們的和等于0。反過來，如果兩個數的和等于0，那么這兩個數互為相反數嗎?如果兩個數的和等于0，那么這兩個數互為相反數。(2)根據有理數加法法則進行正數或0的運算，得到的結果與小學數學中的加法運算結果一致嗎?結果一致。(3)一個數加一個正數，所得的和與這個數有怎樣的大小關系?一個數加一個負數呢?與同伴進行交流。一個數加一個正數，所得的和大于這個數；一個數加一個負數，所得的和小于這個數。1.計算：(1)(－25)＋(－7)；(2)(－13)＋5；(3)(－23)＋0；(4)45＋(－45)。＝

－(25＋7)＝－32＝

－(13－5)＝

－8＝

－23＝0有理數加法法則仍得這個數。取相同的符號，并把絕對值相加。同號兩數相加異號兩數相加一個數同0相加絕對值相等時和為0；絕對值不等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減較小的絕對值；互為相反數的兩個數相加得0。第2課時有理數加法的運算律如圖2-7，數軸上的一個點，從原點出發沿著數軸先向左移動3個單位長度，再向右移動2個單位長度，到達原點左邊1個單位長度處。(1)根據圖2-7你能寫出怎樣的算式?這個算式的結果與根據運算法則計算得到的結果一致嗎?(－3)＋2＝－1結果一致。(2)對于(－3)＋(－2)，你能借助數軸解釋運算結果嗎?－5－4－3－2－1012數軸上的一個點，從原點出發沿著數軸先向左移動3個單位長度，再向左移動2個單位長度，到達原點左邊5個單位長度處，即(－3)＋(－2)＝－5.嘗試·交流小學學習過哪些加法運算律?這些運算律在有理數范圍內還成立嗎?請你舉一些例子試一試，并與同伴進行交流。事實上，加法交換律、加法結合律在有理數范圍內仍然成立。請用字母表示加法交換律(commutativepropertyofaddition)、加法結合律(associativepropertyofaddition)。加法交換律：___________________________；加法結合律：___________________________。a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)有理數加法滿足交換律和結合律，因此可以改變加數的順序，根據需要進行不同的組合。加法交換律：___________________________；加法結合律：___________________________。a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)例2計算：31＋(－28)＋28＋69。解：31＋(－28)＋28＋69＝31＋69＋[(－28)＋28]＝100＋0＝100。每一步運算的依據是什么?解：31＋(－28)＋28＋69＝31＋69＋[(－28)＋28]＝100＋0＝100。加法交換律加法結合律嘗試·思考

(1)20＋(－17)＋15＋(－10)；(2)(－1.8)＋(－6.5)＋(－4)＋6.5；＝20＋15＋[(－17)＋(－10)]＝35＋(－27)＝8同號結合法＝(－1.8)＋(－4)＋[(－6.5)＋6.5]＝

－5.8＋0＝

－5.8相反數結合法

＝(－12)＋(－38)＋(66＋34)＝(－50)＋100＝50同號結合法湊整法同分母結合法湊整法

回顧·反思對于有理數加法運算，你積累了哪些簡便計算的經驗?考慮使用加法運算律先結合相加符號相同分母相同(或易于通分)互為相反數相加得整數1.計算：(1)(－3)＋40＋(－32)＋(－8)；(2)13＋(－56)＋47＋(－34)；(3)43＋(－77)＋27＋(－43)。(1)(－3)＋40＋(－32)＋(－8)；解：(－3)＋40＋(－32)＋(－8)＝(－3)＋40＋[(－32)＋(－8)]＝(－3)＋40＋(－40)＝(－3)＋[40＋(－40)]＝

－3(2)13＋(－56)＋47＋(－34)；解：13＋(－56)＋47＋(－34)

＝(13＋47)＋[(－56)＋(－34)]

＝60＋(－90)

＝

－30(3)43＋(－77)＋27＋(－43)。解：43＋(－77)＋27＋(－43)

＝[43＋(－43)]＋[(－77)＋27]

＝0＋(－50)

＝－502.某潛水員先潛入水下61m，然后又上浮32m，這時潛水員處在什么位置?解：用正號表示上浮，用負號表示潛人水下。由題意，得－61＋32＝－29(m).答：這時潛水員處在水下29m處.加法交換律：_____________________；加法結合律：_____________________。a＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)非負有理數有理數簡化計算解決實際問題適用范圍擴大應用第3課時有理數的減法圖2-8是2023年1月1日我國部分城市天氣情況(單位：℃)。從圖中你能得到哪些信息？北京的最高氣溫為5℃，最低氣溫為－7℃，這一天北京的溫差為多少?你是怎么算的?5－(－7)＝?減法是加法的逆運算。什么數加－7等于5呢?···，10，11，12。12＋(－7)＝5嘗試·交流(1)計算下列各式，你是怎么算的?15－6＝________，15＋(－6)＝__________；3－19＝________，3＋(－19)＝__________；(－12)－0＝________，(－12)＋0＝__________；(－8)－(－3)＝_________，(－8)＋3＝_________.99－16－16－12－12－5－5(2)再換一些數試試，你能得出什么結論?與同伴進行交流。結論：減一個數，等于加這個數的相反數。有理數減法(subtraction)法則減一個數，等于加這個數的相反數。a－b＝a＋(－b)。減法統一成加法了!例3計算：(1)9－(－5)；(2)(－3)－1；(3)0－8；(4)(－5)－0。解：(1)9－(－5)＝9＋5＝14；(2)(－3)－1＝(－3)＋(－1)＝－4；(3)0－8＝0＋(－8)＝－8；(4)(－5)－0＝(－5)＋0＝－5。觀察·思考觀察例3中的算式和結果，想一想：一個數減一個正數，結果會怎樣變化?如果減一個負數呢?一個數減一個正數，差小于這個數；一個數減一個負數，差大于這個數；例4世界上最高的山峰是珠穆朗瑪峰，其海拔大約是8848.86m，吐魯番盆地最低處的海拔大約是－154.31m。兩處海拔相差多少米?每層樓平均高度為3m，9003.17m約有多少層樓高?解：8848.86－(－154.31)＝8848.86＋154.31＝9003.17(m)。因此，兩處海拔相差9003.17m。每層樓平均高度為3m，9003.17m約有多少層樓高?解：9003.17÷3≈3001(層)因此，兩處的海拔差約有3001層樓高。1.口算：(1)3－5；(2)3－(－5)；(3)(－3)－5；(4)(－3)－(－5)；(5)(－6)－(－6)；(6)(－7)－0；(7)0－(－7)；(8)(－6)－6；(9)9－(－11)。－28－820－77－1220有理數的減法減一個數，等于加上這個數的相反數。法則運算步驟1.先把減號變為加號；2.再把減數變為它的相反教；3.最后按照有理數加法法則進行計算。第4課時有理數的加減混合運算讀一讀下面的兩個算式，你有什么發現？①(－7)＋(＋2)

②(－17)－8“＋”有時候讀“加”，有時候讀“正”；“－”有時候讀“減”，有時候讀“負”。例5計算：

(異號兩數的加法運算法則)(同號兩數的加法運算法則)

(異號兩數的加法運算法則)(減法法則)有理數的加減混合運算，可以根據運算順序從左往右依次計算，其中每兩個數間的運算根據加法或減法的法則進行。思考·交流一架飛機進行特技表演，起飛后的高度變化情況見下表：此時飛機比起飛點高了多少千米?下面有兩種算法：4.5－3.2＋1.1－1.4＝1.3＋1.1－1.4＝2.4－1.4＝1(km)。4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)＝1.3＋1.1＋(－1.4)

＝2.4＋(－1.4)＝1(km)。比較以上兩種算法，你發現了什么?與同伴進行交流。它們的結果相等。有理數的加減混合運算可以統一成加法運算，如算式“4.5－3.2＋1.1－1.4”可以看成4.5，－3.2，1.1，－1.4這4個數的和，因此在進行加減混合運算時可運用加法交換律和加法結合律簡化運算。例如，4.5－3.2＋1.1－1.4＝4.5＋1.1－3.2－1.4＝5.6－4.6＝1。4.5－3.2＋1.1－1.44.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4)省略括號及前面的加號4.5－3.2＋1.1－1.4＝4.5＋1.1－3.2－1.4＝5.6－4.6＝1可運用加法運算律簡化運算例6計算：

(統一為加法)(加法交換律)(加法結合律)

還可以怎樣計算?①兩個式子均可以不運用加法運算律，按照同級運算從左到右的順序逐步計算；②(2)中兩個分數的分母都比較簡單，可以將分數化為小數后再進行計算。還可以怎樣計算?有理數加減混合運算的一般步驟：①將加減混合運算統一成加法運算﹔②把算式改寫成省略括號及前面加號的形式(可選)；③結合算式中各加數的特征選擇是否運用加法的運算律簡化運算；④按有理數加法法則計算出最終結果。簡便運算的技巧及注意事項：①相加得整的可先相加；②同分母(或易通分)的可先相加；③互為相反數的可先相加；④正數，負數可分別相加。嘗試·思考下表是某年全年某加油站92號汽油價格的調整情況(正號表示比表中前次調價上漲，負號表示比表中前一次調價下降)。與上一年年底相比，11月9日該加油站92號汽油價格是上漲了還是下降了?變化了多少元?答：與上一年年底相比，11月9日該加油站92號汽油價格是上漲了，上漲了1520元/t。解：－140＋290＋400＋600－220＋300－190＋480＝(－140－220－190)＋(290＋400＋600＋300＋480)＝－550＋2070＝1520(元/t)1.計算：

(1)33.1－(－22.9)＋(－10.5)；(2)(－8)－(－15)＋(－9)－(－12)；＝33.1＋22.9－10.5＝56－10.5＝45.5.＝(－8)－15＋(－9)＋12＝[(－8)＋(－9)]＋(15＋12)＝－17＋27＝10.

有理數加減混合運算的步驟利用有理數加減混合運算解決實際問題加減混合運算統一成加法用加法法則和加法運算律計算省略括號和前面加號第5課時有理數加減混合運算的實際應用請按下列規則做游戲：(1)每人每次抽取4張卡片。若抽到白底卡片，則加卡片上的數學；若抽到紅底卡片，則減卡片上的數字。(2)比較兩人所抽4張卡片的計算結果，結果大的為勝者。小麗抽到的4張卡片依次為：她抽到的卡片的計算結果是多少?(－3)＋7－0＋5＝9小彬抽到的4張卡片依次為：獲勝的是誰?

因為9＞7，所以小麗獲勝。思考·交流圖2-9呈現了流花河的水位情況(單位：m)，取河流的警戒水位作為0點，那么圖中的其他數據可以分別記作什么?水位高度/m記作最高水位35.3警戒水位33.40平均水位22.6最低水位11.5

＋1.9－10.8－21.9下表是某年雨季流花河一星期內的水位變化情況(正號表示水位比前一天上升，負號表示水位比前一天下降；上星期日的水位達到警戒水位)。(1)本星期哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它們位于警戒水位之上還是之下?到警戒水位的距離分別是多少米?星期二的水位最高，在警戒線之上。距離警戒線：0.20＋0.81＝1.01(m)(1)本星期哪一天河流的水位最高?哪一天河流的水位最低?它們位于警戒水位之上還是之下?到警戒水位的距離分別是多少米?星期一水位最低，在警戒線之上。距離警戒線：0.20m。(2)與上星期日相比，本星期日河流水位是上升了還是下降了?因為0.20＋0.81－0.35＋0.03＋0.28－0.36－0.01＝0.60(m)所以本星期日河流水位上升了。(3)完成本星期水位記錄表：34.4134.0634.0934.3734.0134.00(4)以警戒水位為0點，在圖2-10中畫折線表示本星期的水位情況。(5)你還能提出什么數學問題?與同伴進行交流。請觀察折線圖回答，本星期六河流水位對比上星期六是上升了還是下降了?1.某運動隊隊員的平均身高是180cm。下表給出了該運動隊6名隊員的身高情況(單位：cm)。(1)試完成上表。182180－6183＋2(2)這6名隊員中誰最高，誰最矮?(3)這6名隊員中，最高與最矮的隊員身高相差多少?182180－6183＋2E隊員最高，D隊員誰最矮。183－174＝9(cm)答：最高與最矮的隊員身高相差9cm。有理數的加減混合運算運算步驟方法應用：利用有理數的加減混合運算求解實際問題習題2.2〉〉知識技能1.計算：(1)(－8)＋(－9)；(2)(－17)＋21；(3)(－12)＋25；(4)45＋(－23)；(5)(－45)＋23；(6)(－29)＋(－31)；(7)(－39)＋(－45)；(8)(－28)＋37；(9)(－13)＋0。(1)(－8)＋(－9)；(2)(－17)＋21；(3)(－12)＋25；(4)45＋(－23)；(5)(－45)＋23；(6)(－29)＋(－31)；＝－(8＋9)＝－17.＝21－17＝4.＝25－12＝13.＝45－23＝22.＝－(45－23)＝－22.＝－(29＋31)＝－60.(7)(－39)＋(－45)；(8)(－28)＋37；(9)(－13)＋0。＝－(39＋45)＝－84.＝37－28＝8.＝－132.土星表面的夜間平均溫度為－150℃，白天平均溫度比夜間平均溫度高27℃，那么白天的平均溫度是多少?解：(－150)＋27＝－123(℃)因此，白天的平均溫度是－123℃。3.計算：(1)(－25)＋34＋156＋(－65)；(2)(－64)＋17＋(－23)＋68；(3)(－42)＋57＋(－84)＋(－23)；(4)63＋72＋(－96)＋(－37)；(5)(－301)＋125＋301＋(－75)；(6)(－52)＋24＋(－74)＋12；(7)41＋(－23)＋(－31)＋0；(8)(－26)＋52＋16＋(－72)。(1)(－25)＋34＋156＋(－65)；(2)(－64)＋17＋(－23)＋68；＝(34＋156)＋[(－25)＋(－65)]＝190＋(－90)＝＋(190－90)＝100.＝(17＋68)＋[(－64)＋(－23)]＝85＋(－87)＝－(87－85)＝－2.(3)(－42)＋57＋(－84)＋(－23)；(4)63＋72＋(－96)＋(－37)；＝＋(57－42)＋(－84)＋(－23)＝15＋(－107)＝－92.＝(63＋72)＋[(－96)＋(－37)]＝135＋(－133)＝＋(135－133)＝－2(5)(－301)＋125＋301＋(－75)；(6)(－52)＋24＋(－74)＋12＝[(－301)＋301]＋[125＋(－75)＝0＋50＝50.＝[(－52)＋12]＋[24＋(－74)＝(－40)＋(－50)＝－90.(7)41＋(－23)＋(－31)＋0；(8)(－26)＋52＋16＋(－72)。＝[41＋(－31)＋(－23)＝＋(41－31)＋(－23)＝10＋(－23)＝－13.＝[(－26)＋16]＋[52＋(－72)]＝(－10)＋(－20)＝－30.4.某只股票一星期的漲跌情況見下表(正號表示價格比前一天上漲，負號表示價格比前一天下跌；股市周末不開盤，股價無變化)：該只股票星期五的價格與上星期五相比情況如何?解：4.18－3.24＋0.25－1.73＋1.46＝0.92(元)因此，該只股票星期五的價格與上星期五相比漲了0.92元。5.某日小明在一條南北方向的健身步道上跑步。他從A地出發，每隔10min記錄下自己的跑步情況(向南為正方向，單位：m)：－1008，1100，－976，1010，－827，946。1h后他停下來休息，此時他在A地的什么方向，距A地多遠?小明共跑了多少米?解：(－1008)＋1100＋(－976)＋1010＋(－827)＋946＝245(m)，|－1008|＋|1100|＋|－976|＋|1010|＋|－827|＋|946|＝5867(m).因此，小明在A地的南邊，距A地245m.小明共跑了5867m.6.分別列出一個滿足下列條件的算式：(1)所有的加數是負整數，和是－5；(2)一個加數是0，和是－5；(3)至少有一個加數是正整數，和是－5.(－2)＋(－3)＝－5.(答案不唯一)(－5)＋0＝－5.(＋6)＋(－11)＝－5.(答案不唯一)7.分別找出一個滿足下列條件的整數：(1)加－15，和大于0；(2)加－15，和小于0；(3)加－15，和等于0。16.(答案不唯一)14.(答案不唯一)158.計算：(1)(－3)－(－7)；

(2)(－10)－3；(3)33－(－27)；(4)0－12；(5)(－11)－0；(6)(－4)－16。＝(－3)＋7＝4.＝(－10)＋(－3)＝－13.＝33＋27＝60.＝－12.＝－11＝(－4)＋(－16)＝－20.9.計算：(1)(－72)－(－37)－(－22)－17；(2)(－16)－(－12)－24－(－18)；(3)23－(－76)－36－(－105)；(4)(－32)－(－27)－(－72)－87(1)(－72)－(－37)－(－22)－17；＝(－72)＋37＋22＋(－17)

＝(37＋22)＋[(－72)＋(－17)]＝59＋(－89)＝－30.(2)(－16)－(－12)－24－(－18)；＝(－16)＋12＋(－24)＋18

＝[(－16)＋(－24)]＋(12＋18)＝(－40)＋30＝－10.(3)23－(－76)－36－(－105)；＝23＋76＋(－36)＋105＝(23＋105)＋[76＋(－36)]＝128－40＝168.(4)(－32)－(－27)－(－72)－87＝(－32)＋27＋72＋(－87)＝[(－32)＋(－87)]＋(27＋72)＝(－119)＋99＝－20.10.計算：(1)27－18＋(－7)－32；

＝27－18－7－32＝(27－7)＋(－18－32)＝20－(－50)＝－30.

＝0.5－0.25＋2.75＋0.5＝0.5＋0.5＋2.75－0.25＝1＋2.75－0.25＝3.5.

11.計算：(1)7＋(－2)－3.4；

(1)7＋(－2)－3.4；

＝7－2－3.4＝1.6＝－21.6＋3－7.4－0.4＝(－21.6－0.4)＋3－7.4＝－22＋3－7.4＝－19－7.4＝－26.4.

＝31－1.25＋0.25＝31＋(0.25－1.25)＝31＋(－1)＝30.＝7＋(0.5＋1.5)＝7＋2＝9

＝49＋20.6－0.6＝49＋(20.6－0.6)＝49＋20＝69.＝－1.2－7＋3.2－1＝(－1.2＋3.2)＋(－7－1)＝2＋(－8)＝－6〉〉數學理解12.教科書中為加法運算和減法運算提供了實際背景，請你設計一種新的情境來表示加法算式(－4)＋3、減法算式(－3)－(－2)。解：(－4)＋3：一只蝸牛在一條數軸上從原點向左爬行了4個單位長度，吃到食物后又向右爬行了3個單位長度，此時蝸牛所在的位置為(－4)＋3＝－1.(－3)－(－2)：今天的最高氣溫為－3℃，天氣預報報道明天的最高氣溫為－2℃，那么今天和明天的最高氣溫的差為(－3)－(－2)＝－1(℃)，即今天的最高氣溫比明天的最高氣溫低1℃。(答案不唯一)13.請借助圖形直觀解釋算式2＋(－5)＝－3的運算過程和結果。解：如圖所示。一個點從原點出發向右移動2個單位長度，再向左移動5個單位長度，到達原點左邊3個單位長度處，即2＋(－5)＝－3。14.小明用下圖直觀解釋4－(－3)＝7，請你解釋一下小明的想法，并用類似的方法直觀解釋(－5)－(－2)＝－3。解：解釋小明的想法略.

解釋(－5)－(－2)＝－3如圖所示.〉〉問題解決15.2020年11月10日，我國自主研發的載人潛水器“奮斗者”號，在西太平洋馬里亞納海溝成功坐底，坐底深度10909m，創造了中國載人深潛的新紀錄。馬里亞納海溝是地球海洋最深的地方，最深處深約11000m，“奮斗者”號此次坐底深度與馬里亞納海溝最深處大約相差多少米?解：11000－10909＝91(m)。因此，“奮斗者”號此次坐底深度與馬里亞納海溝最深處大約相差91m.16.王大爺把今年收獲的土豆裝在大小相同的袋子里，一共裝了10袋。每袋稱重結果如下：這10袋土豆的總質量是多少?你是怎么算的?解：方法一：54十49＋51＋50＋48＋52＋50＋47＋53＋46＝500(kg)因此，這10袋土豆的總質量是500kg.方法二：以50kg為標準質量，用正號表示超過標準質量，用負號表示低于標準質量，50×10＋(4－1＋1＋0－2＋2－0－3＋3－4)＝500(kg)。因此，這10袋土豆的總質量是500kg。17.下圖是一頁賬單，但有一部分破損了，請你根據上面殘余的信息算出這一頁最后的結余。解：9546.00＋(－150.00)＋280.00＋(－315.00)＋(－540.00)＋(－470.00)＝(9546.00－280.00)＋[(－150.00)＋(－315.00)＋(－540.00)＋(－470.00)]＝9826.00＋(－1475.00)＝8351.00(元).因此，這一頁最后的結余為8351.00元。18.下表列出了國外幾個城市與北京的時差。

(1)如果現在的北京時間是7:00，那么現在的東京時間是幾點?解：7＋1＝8.因此，現在的東京時間是8:00.(2)小麗想在北京時間7:00給在巴黎的姑媽打電話，你