專題11二元一次方程組應用的四種考法目錄解題知識必備 1壓軸題型講練 1類型一、應用二元一次方程組之分配問題 1類型二、應用二元一次方程組之方案問題 3類型三、應用二元一次方程組之銷售、利潤問題 8類型四、應用二元一次方程組之圖表問題 11壓軸能力測評（10題） 15解題知識必備1.分析數量關系的常用方法1）直譯法分析數量關系:將題中關鍵性的數量關系的語句譯成含有未知數的代數式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數的等式。2）列表分析數量關系:當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數量之間的關系。壓軸題型講練類型一、應用二元一次方程組之分配問題例題：（23-24七年級·全國·課后作業）某服裝廠生產一批運動服，6米長的布料可做上衣4件或褲子6條，計劃用300米長的布料生產該批次運動服，(1)分別用多少米布料生產上衣和褲子才能恰好配套？(2)在（1）的條件下，若該布料的價格是25元/米，運動服售價80元/套，則生產該批次運動服能盈利多少元？【答案】(1)用180米布料生產上衣，120米布料生產褲子(2)2100元【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】此題考查了二元一次方程組的應用以及有理數混合運算的實際應用．（1）設用x米布料生產上衣，y米布料生產褲子，根據題意列出關于x，y的二元一次方程組，求解即可得出答案．（2）先計算出總的運動服套數，再根據利潤等于總盈利減去總成本計算即可．【詳解】（1）解：設用x米布料生產上衣，y米布料生產褲子，由題意可得：，解得：，答：用180米布料生產上衣，120米布料生產褲子．（2）由（1）可得300米布料可生產上衣（件），生產褲子（件），∴可生產120套運動服，（元）．答：生產該批次運動服能盈利2100元．【變式訓練1】（2023·吉林白山·一模）在“科技冬奧”的助力下，吉林省冰刀鞋生產技術有了很大突破．某工廠一月份生產甲、乙兩種冰刀鞋共800雙，其中甲種冰刀鞋的產量比乙種冰刀鞋產量的2倍少100雙．求該工廠一月份生產甲、乙兩種冰刀鞋各多少雙？【答案】該工廠一月份生產甲種冰刀鞋500雙，乙種冰刀鞋300雙【知識點】分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，設該工廠一月份生產甲種冰刀鞋x雙，乙種冰刀鞋y雙，根據題意，列出關于x，y的二元一次方程組，求解即可得出答案．【詳解】解：設該工廠一月份生產甲種冰刀鞋x雙，乙種冰刀鞋y雙，根據題意，得，解得．答：該工廠一月份生產甲種冰刀鞋500雙，乙種冰刀鞋300雙．【變式訓練2】（22-23八年級上·貴州畢節·期末）運輸公司要把120噸物資從A地運往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示．車型甲乙丙運載量（噸/輛）5810運費（元/輛）450600700解答下列問題：（假設每輛車均滿載）(1)若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？(2)若用甲、乙、丙型車共14輛同時參與運送，且一次運完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別需要多少輛？此時的總運費是多少？【答案】(1)甲、乙型車分別需要8輛、10輛(2)乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時的總運費為8800元【知識點】分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，熟練掌握建立方程組是解題關鍵．（1）設需要甲型車a輛，乙型車b輛，根據“120噸物資”和“運費9600元”建立方程組，解方程組即可得；（2）設需要乙型車x輛，丙型車y輛，根據“甲、乙、丙型車共14輛”，“一次運完全部物資”建立關于x，y的方程組，解方程組即可得．【詳解】（1）設甲、乙型車分別需要a輛、b輛．根據題意，得，解得，答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；（2）設乙、丙型車分別需要x輛、y輛，根據題意得，解得，此時總運費為（元）．答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時的總運費為8800元．類型二、應用二元一次方程組之方案問題例題：（24-25八年級上·全國·期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某4S店用120萬元購進A，B兩種新能源汽車進行銷售，這兩種汽車的進價和售價如下表所示，全部銷售后可獲毛利潤16萬元．[毛利潤（售價進價）銷售量]AB進價/（萬元/輛）1512售價/（萬元/輛）16.514(1)該4S店購進A，B兩種新能源汽車各多少輛？(2)由于銷售狀況特別好，該4S店決定再用240萬元同時購進A，B兩種新能源汽車（240萬元資金剛好用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案？【答案】(1)購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛(2)共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程（組）．（1）設購買A型號的汽車a輛，B種型號的汽車b輛，根據題意列二元一次方程組，即可求解；（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，根據總價為240萬元列出二元一次方程，進而分析得出購買方案．【詳解】（1）解：設A種型號的汽車每輛進價為a萬元，B種型號的汽車每輛進價為b萬元，由題意可得，解得，答：購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛；（2）解：設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，由題意可得，∴，∵，，m和n均為整數，∴或或．答：共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛．【變式訓練1】（24-25八年級上·山東德州·開學考試）某汽車銷售公司計劃購進一批新能源汽車嘗試進行銷售，據了解1輛型新能源汽車和3輛型新能源汽車的進價共計55萬元；4輛型新能源汽車和2輛型新能源汽車的進價共計120萬元．(1)求，兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為多少萬元；(2)若該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車（兩種型號的新能源汽車均購買），請你通過計算幫該公司求出全部的購買方案．【答案】(1)，兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為，萬元(2)該公司共有三種購買方案：方案一：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛；方案二：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車10輛；方案三：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛【知識點】二元一次方程的解、方案問題(二元一次方程組的應用)、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組以及二元一次方程的應用，理解題意，找準等量關系，正確列出二元一次方程組以及二元一次方程是解此題的關鍵．（1）設，兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為，萬元，根據“1輛型新能源汽車和3輛型新能源汽車的進價共計55萬元；4輛型新能源汽車和2輛型新能源汽車的進價共計120萬元”列出二元一次方程組，解方程組即可得出答案；（2）設購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛，根據“該公司計劃正好用200萬元購進以上兩種型號的新能源汽車”列出二元一次方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：設，兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為，萬元，由題意得：，解得：，∴，兩種型號的新能源汽車每輛的進價分別為，萬元；（2）解：設購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛，由題意得：，整理得：，∵、均為正整數，∴或或，∴該公司共有三種購買方案：方案一：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛；方案二：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車10輛；方案三：購買型新能源汽車輛，型新能源汽車輛．【變式訓練2】（23-24八年級上·全國·單元測試）“臍橙結碩果，香飄引客來”，贛南臍橙以其“外表光潔美觀，肉質脆嫩，風味濃甜芳香”的特點飲譽中外．現欲將一批臍橙運往外地銷售，若用2輛A型車和1輛B型車載滿臍橙一次可運走；用1輛A型車和2輛B型車載滿臍橙一次可運走，現有臍橙，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿臍橙．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿臍橙一次可分別運送多少噸?(2)請你幫該物流公司設計租車方案；(3)若1輛A型車需租金100元/次，1輛B型車需租金120元/次．請選出費用最少的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送(2)一共有3種租車方案，方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛(3)最省錢的租車方案是方案一，即租A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為940元【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、二元一次方程的解、方案問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據等量關系，列出方程．（1）設1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，根據2輛A型車和1輛B型車載滿臍橙一次可運走，用1輛A型車和2輛B型車載滿臍橙一次可運走，列出方程組，解方程組即可；（2）根據1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，現有臍橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整數解即可；（3）分別求出三種方案的租車費用，然后進行比較，即可得出答案．【詳解】（1）解：設1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，依題意得：解得：，答：1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送；（2）解：依題意得：，∵a，b均為正整數，∴或或，∴一共有3種租車方案：方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛．（3）解：方案一所需租金為：（元）；方案二所需租金為：（元）；方案三所需租金為：（元）；∵，∴最省錢的租車方案是方案一，即租A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為940元．【變式訓練3】（22-23七年級下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發了一款新能源汽車，計劃一年生產安裝360輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成安裝任務，工廠決定招聘部分新工人，他們經過培訓后也能獨立進行新能源汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發放4000元的工資，給每名新工人每月發2400元的工資，那么工廠應招聘多少名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【答案】(1)每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車(2)工廠有3種新工人的招聘方案：①新工人9人，熟練工2人；②新工人6人，熟練工3人；③新工人3人，熟練工4人(3)應招聘6名新工人【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、工程問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是要能夠理解題意，正確找到等量關系和不等關系，熟練解方程組和根據條件分析不等式中未知數的值．（1）設每名熟練工每月可以安裝輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動汽車．根據“1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車”和“2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車”列方程組求解．（2）設工廠有名熟練工．根據新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，根據，都是正整數和，進行分析的值的情況；（3）根據總費用熟練工人的費用新工人的費用列出代數式，分別代入（2）中方案，計算比較即可得出結論．【詳解】（1）解：設每名熟練工每月可以安裝輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動汽車．根據題意得：，解得：．答：每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）解：設工廠有名熟練工．根據題意，得，，，又，都是正整數，，所以，6，3．即工廠有3種新工人的招聘方案：①，，即新工人9人，熟練工2人；②，，即新工人6人，熟練工3人；③，，即新工人3人，熟練工4人．（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的數量多于熟練工，則，或，；根據題意得：．當時，（元）當時，（元），當，時，即工廠應招聘6名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額（元）盡可能少．類型三、應用二元一次方程組之銷售、利潤問題例題：（22-23八年級下·遼寧本溪·開學考試）某商場購進2022年冬奧會吉祥物冰墩墩與冬殘奧會吉祥物雪容融兩種毛絨玩具共100個，共花去10000元，這兩種吉祥物毛絨玩具的進價、標價如下表：冰墩墩雪容融進價（元/個）12070標價（元/個）160100(1)求該商場冰墩墩和雪容融這兩種毛絨玩具分別購進了多少個?(2)如果商場將冰墩墩毛絨玩具按標價的9折出售，雪容融毛絨玩具按標價的8折出售，那么商場將這兩種毛絨玩具全部售出后會獲利多少元?【答案】(1)該商場冰墩墩毛絨玩具購進60個，雪容融毛絨玩具購進40個.(2)商場將毛絨玩具全部售出后會獲利1840元.【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．（1）設該商場冰墩墩毛絨玩具購進個，雪容融毛絨玩具購進個，根據某商場購進2022年冬奧會吉祥物冰墩墩與冬殘奧會吉祥物雪容融兩種毛絨玩具共100個，共花去10000元，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）由題意列式計算即可．【詳解】（1）設該商場冰墩墩毛絨玩具購進個，雪容融毛絨玩具購進個，由題意得：，解得：，答：該商場冰墩墩毛絨玩具購進60個，雪容融毛絨玩具購進40個；（2）（元，答：商場將這兩種毛絨玩具全部售出后會獲利1840元．【變式訓練1】（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某學年計劃從商場批發帽子和手套獎勵給部分同學，商場標價，帽子單價是50元，手套單價為元，并且學年用于購進帽子和手套的總金額相等．（一頂帽子為一件，一副手套為一件）．(1)第一次購進的帽子和手套共件，求第一學年購買帽子和手套各多少件？(2)第二次購買時從商場得知，帽子件起售，超過件的部分每件打八折，不超過件的部分不予以優惠；手套50件起售，超過50件的部分，每件優惠2元，不超過50件的部分不予以優惠，經過學年統計，此次需購買帽子超過件，購買手套也超過50件，且第二次購買帽子和手套共件，則該學年第二次需準備多少資金用來購買手套和帽子．【答案】(1)帽子件，手套件(2)元【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意是解題關鍵．（1）設第一次購買頂帽子，副手套，由題意得，即可求解；（2）設第二次購買了頂帽子，副手套，由題意得：，求出即可求解；【詳解】（1）解：設第一次購買頂帽子，副手套，由題意得：，解得：，故：第一學年購買帽子件，手套件（2）解：設第二次購買了頂帽子，副手套，由題意得：，解得：，∴學校需要準備資金：（元）【變式訓練2】（24-25八年級上·福建福州·開學考試）古田水蜜桃有果大質優、色澤艷麗、汁多味甜三大特點．當季是水蜜桃成熟的季節，市場上水蜜桃的銷量也與日俱增，某水蜜桃種植大戶為了能讓居民品嘗到物美價廉的水蜜桃，對總計1000斤的水蜜桃進行打包優惠出售，打包方式及售價如下：禮盒裝每箱8斤，售價100元；簡易裝每箱18斤，售價180元．假如用這兩種打包方式恰好全部裝完這1000斤水蜜桃（箱數為整數且兩種方式至少各有一箱）．(1)若這批水蜜桃全部售完，銷售總收入10700元，請問禮盒裝共包裝了多少箱，簡易裝共包裝了多少箱？(2)若水蜜桃種植大戶留下箱禮盒裝水蜜桃送人，其余水蜜桃全部售出，應該如何分配兩種打包方式才能使銷售總收入達到11420元，求此時a的值．【答案】(1)禮盒裝共包裝了35箱，簡易裝共包裝了40箱；(2)禮盒裝共包裝了116箱，則簡易裝共包裝了4箱，此時a的值為9．【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】此題考查了二元一次方程組及二元一次方程的應用，解答本題的關鍵是仔細審題，理解題目所述的意思，轉化為方程思想求解．（1）設禮盒裝共包裝了箱，則簡易裝共包裝箱，根據等量關系可得出方程組，解出即可；（2）設禮盒裝共包裝了箱，則簡易裝共包裝了箱，根據等量關系可得出關于的方程，根據，都是正整數，據此求解即可．【詳解】（1）解：設禮盒裝共包裝了箱，簡易裝共包裝了箱，由題意，得：，解得：，答：禮盒裝共包裝了35箱，簡易裝共包裝了40箱；（2）解：設禮盒裝共包裝了箱，則簡易裝共包裝了箱，由題意，得：，解得：，∵，都是正整數，且，∴且，∴，∵，，都是正整數∴，∴，，答：禮盒裝共包裝了116箱，則簡易裝共包裝了4箱，此時a的值為9．類型四、應用二元一次方程組之圖表問題例題：（23-24七年級下·河北唐山·期中）某班數學課上采用小組積分制記錄同學們回答問題情況，上課前每組有20分的基本分，積分規則如下：①答錯一次減x分；②答對一次加y分．下表是某堂課上記錄的兩個組得分情況：第一組第二組答錯次數12答對次數79最終分數4045(1)求x，y的值；(2)如果第三組答錯3次，最終分數是41，求出第三組答對多少次？【答案】(1)，(2)第三組答對8次【知識點】比賽積分(一元一次方程的應用)、圖表信息題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次方程解決實際問題．（1）根據“最終得分＝基本分－答錯失分＋答對得分”即可列出二元一次方程組，求解即可；（2）設第三組答對n次，根據根據“最終得分＝基本分－答錯失分＋答對得分”即可列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：根據題意，得：，解得：（2）解：設第三組答對n次，根據題意，得，解得，答：第三組答對8次．【變式訓練1】（23-24七年級下·河南新鄉·期中）某山區有若干名中學生、小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元．某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與其捐助貧困中學生和小學生人數的部分情況如下表：捐款數額/元資助貧困中學生人數/名資助貧困小學生人數/名七年級400024八年級420033九年級4000(1)求a，b的值；(2)當地政府下達新政策給予補貼，秉持九年級學生捐多少補多少原則幫助貧困學生，與九年級學生的捐款總額恰好解決了剩余貧困中、小學生的學習費用（中小學生均要資助），請求出政府和九年級學生的捐款總額可捐助的貧困中、小學生人數的所有方案．【答案】(1)a，b的值分別為800，600(2)方案一：中學生7人，小學生4人；方案二：中學生4人，小學生8人；方案三：中學生1人，小學生12人【知識點】圖表信息題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程（組）的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程組，再求解．（1）根據題意可知，本題中的相等關系是捐款額，列方程組求解即可．（2）利用九年級的捐款額8000列方程求人數．【詳解】（1）解：由題意得

解得：∴a，b的值分別為800，600；（2）由題意得捐款總額為：（元）設九年級資助貧困的中學生人數為x，資助貧困的小學生人數為y；可得：；整理得：，即；又∵x、y均為正整數，∴

；即方案一：中學生7人，小學生4人；方案二：中學生4人，小學生8人；方案三：中學生1人，小學生12人；【變式訓練2】（23-24七年級下·全國·課后作業）某學校現有甲種材料，乙種材料，制作A，B兩種型號的工藝品，用料情況如下表：需甲種材料需乙種材料1件A型工藝品1件B型工藝品(1)利用這些材料能制作A，B兩種型號的工藝品各多少件？(2)若每千克甲、乙兩種材料分別為8元和10元，問：制作A，B兩種型號的工藝品各需材料費多少錢？【答案】(1)制作A種型號的工藝品30件，B種型號的工藝品20件(2)306元，264元【知識點】圖表信息題(二元一次方程組的應用)、有理數四則混合運算的實際應用【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，另外還涉及有理數混合運算的應用；（1）設利用這些材料能制作A種型號的工藝品x件，B種型號的工藝品y件，根據等量關系：兩種工藝品所需甲種材料為，兩種工藝品所需乙種材料為，列出二元一次方程組，并求解即可；（2）分別計算出制作1件兩種型號的工藝品需要的費用，則可計算出制作A，B兩種型號的工藝品各需材料費．【詳解】（1）解：設利用這些材料能制作A種型號的工藝品x件，B種型號的工藝品y件，由題意，得，解得；答：利用這些材料能制作A種型號的工藝品30件，B種型號的工藝品20件．（2）解：制作1件A種型號的工藝品需要（元），則制作A種型號的工藝品需材料費（元）；制作1件B種型號的工藝品需要（元），則制作B種型號的工藝品需材料費（元）．答：制作A，B兩種型號的工藝品各需材料費306元，264元．【變式訓練3】（23-24七年級下·浙江杭州·期中）某電器超市銷售每臺進價為200元，170元的A、B兩種型號的電風扇．如表所示是近2周的銷售情況：（進價、售價均保持不變，利潤＝銷售收入－進貨成本）銷售時段銷售數量銷售收入A種型號B種型號第一周351750元第二周4103000元(1)求A、B兩種型號電風扇的銷售單價；(2)超市銷售完A、B兩種型號的電風扇共25臺，能否實現利潤為1200元的目標？請說明理由．(3)一家公司打算花費4000元同時購買A、B兩種型號的電風扇若干臺，請你為該公司設計不同的購買方案．【答案】(1)種型號電風扇的銷售單價為250元，種型號電風扇的銷售單價為200元(2)不能，理由見解析(3)見解析【知識點】二元一次方程的解、圖表信息題(二元一次方程組的應用)【分析】（1）設種型號電風扇的銷售單價為元，種型號電風扇的銷售單價為元，根據近2周的銷售情況表格中的數據，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）不能實現利潤為1200元的目標，設銷售臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，利用總利潤每臺的銷售利潤銷售數量，結合銷售完、兩種型號的電風扇共25臺且共獲得1200元利潤，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出，的值，結合，需為正整數，即可得出不能實現利潤為1200元的目標；（3）設購買臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，利用總價單價數量，即可得出關于，的二元一次方程，結合，均為正整數，即可得出各購買方案．【詳解】（1）解：設種型號電風扇的銷售單價為元，種型號電風扇的銷售單價為元，依題意得：，解得：．答：種型號電風扇的銷售單價為250元，種型號電風扇的銷售單價為200元．（2）不能實現利潤為1200元的目標，理由如下：設銷售臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，依題意得：，解得：，又，均為正整數，不符合題意，舍去，即不能實現利潤為1200元的目標．（3）設購買臺種型號電風扇，臺種型號電風扇，依題意得：，，又，均為正整數，或或，該公司共有3種購買方案，方案1：購買4臺種型號電風扇，15臺種型號電風扇；方案2：購買8臺種型號電風扇，10臺種型號電風扇；方案3：購買12臺種型號電風扇，5臺種型號電風扇．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組（或二元一次方程）是解題的關鍵．壓軸能力測評（10題）一、解答題1．（23-24八年級上·河南鄭州·期末）某校準備組織師生共300人參加一項公益活動，學校聯系租車公司提供車輛，該公司現有A，B兩種座位數不同的車型，如果租用A型車3輛，B型車3輛，則空余15個座位；如果租用A型車5輛，B型車1輛，則有15個人沒座位．(1)求A，B兩種車型各有多少個座位．(2)若最終租用了兩種車型的車，且座位恰好坐滿，則兩種車型的車各租用了多少輛？【答案】(1)每個A型車有45個座位，B型車有60個座位(2)需租用A型車4輛，B型車2輛【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程（組）的應用，解題的關鍵是根據題意找出等量關系．（1）設該公司，兩種車型各、個座位，根據題意得：，即可求解；（2）設需租A型車m輛，B型車n輛，可得，再利用正整數解的含義可得答案．【詳解】（1）解：設每個A型車有x個座位，B型車有y個座位，依題意，得：，解得：．答：每個A型車有45個座位，B型車有60個座位．（2）設需租A型車m輛，B型車n輛，依題意，得：，∴．∵m，n均為正整數，∴．答：需租用A型車4輛，B型車2輛．2．（24-25八年級上·全國·期末）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某4S店用120萬元購進A，B兩種新能源汽車進行銷售，這兩種汽車的進價和售價如下表所示，全部銷售后可獲毛利潤16萬元．[毛利潤（售價進價）銷售量]AB進價/（萬元/輛）1512售價/（萬元/輛）16.514(1)該4S店購進A，B兩種新能源汽車各多少輛？(2)由于銷售狀況特別好，該4S店決定再用240萬元同時購進A，B兩種新能源汽車（240萬元資金剛好用完且兩種汽車均購買），有哪幾種購買方案？【答案】(1)購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛(2)共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出二元一次方程（組）．（1）設購買A型號的汽車a輛，B種型號的汽車b輛，根據題意列二元一次方程組，即可求解；（2）設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，根據總價為240萬元列出二元一次方程，進而分析得出購買方案．【詳解】（1）解：設A種型號的汽車每輛進價為a萬元，B種型號的汽車每輛進價為b萬元，由題意可得，解得，答：購進A型號的汽車4輛，B型號的汽車每5輛；（2）解：設購買A型號的汽車m輛，B種型號的汽車n輛，由題意可得，∴，∵，，m和n均為整數，∴或或．答：共有三種購買方案：購買A型號的汽車12輛，B種型號的汽車5輛；購買A型號的汽車8輛，B種型號的汽車10輛；購買A型號的汽車4輛，B種型號的汽車15輛．3．（23-24八年級上·全國·單元測試）“臍橙結碩果，香飄引客來”，贛南臍橙以其“外表光潔美觀，肉質脆嫩，風味濃甜芳香”的特點飲譽中外．現欲將一批臍橙運往外地銷售，若用2輛A型車和1輛B型車載滿臍橙一次可運走；用1輛A型車和2輛B型車載滿臍橙一次可運走，現有臍橙，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛，一次運完，且恰好每輛車都載滿臍橙．根據以上信息，解答下列問題：(1)1輛A型車和1輛B型車都載滿臍橙一次可分別運送多少噸?(2)請你幫該物流公司設計租車方案；(3)若1輛A型車需租金100元/次，1輛B型車需租金120元/次．請選出費用最少的租車方案，并求出最少租車費．【答案】(1)1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送(2)一共有3種租車方案，方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛(3)最省錢的租車方案是方案一，即租A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為940元【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、二元一次方程的解、方案問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是根據等量關系，列出方程．（1）設1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，根據2輛A型車和1輛B型車載滿臍橙一次可運走，用1輛A型車和2輛B型車載滿臍橙一次可運走，列出方程組，解方程組即可；（2）根據1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，現有臍橙，列出二元一次方程，再求出二元一次方程的正整數解即可；（3）分別求出三種方案的租車費用，然后進行比較，即可得出答案．【詳解】（1）解：設1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送，依題意得：解得：，答：1輛A型車載滿臍橙一次可運送，1輛B型車載滿臍橙一次可運送；（2）解：依題意得：，∵a，b均為正整數，∴或或，∴一共有3種租車方案：方案一：租A型車1輛，B型車7輛；方案二：租A型車5輛，B型車4輛；方案三：租A型車9輛，B型車1輛．（3）解：方案一所需租金為：（元）；方案二所需租金為：（元）；方案三所需租金為：（元）；∵，∴最省錢的租車方案是方案一，即租A型車1輛，B型車7輛，最少租車費為940元．4．（22-23七年級下·江蘇南通·期中）隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具．某汽車制造商開發了一款新能源汽車，計劃一年生產安裝360輛．由于抽調不出足夠的熟練工來完成安裝任務，工廠決定招聘部分新工人，他們經過培訓后也能獨立進行新能源汽車的安裝．生產開始后，調研部門發現：1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車；2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車．(1)每名熟練工和新工人每月分別可以安裝多少輛新能源汽車？(2)如果工廠招聘n（）名新工人，使得招聘的新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，那么工廠有哪幾種新工人的招聘方案？(3)在（2）的條件下，工廠給安裝新能源汽車的每名熟練工人每月發放4000元的工資，給每名新工人每月發2400元的工資，那么工廠應招聘多少名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額W（元）盡可能少？【答案】(1)每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車(2)工廠有3種新工人的招聘方案：①新工人9人，熟練工2人；②新工人6人，熟練工3人；③新工人3人，熟練工4人(3)應招聘6名新工人【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、工程問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查二元一次方程組和二元一次方程的應用，解題的關鍵是要能夠理解題意，正確找到等量關系和不等關系，熟練解方程組和根據條件分析不等式中未知數的值．（1）設每名熟練工每月可以安裝輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動汽車．根據“1名熟練工和3名新工人每月可安裝12輛新能源汽車”和“2名熟練工和5名新工人每月可以安裝22輛新能源汽車”列方程組求解．（2）設工廠有名熟練工．根據新工人和抽調的熟練工剛好能完成一年的安裝任務，根據，都是正整數和，進行分析的值的情況；（3）根據總費用熟練工人的費用新工人的費用列出代數式，分別代入（2）中方案，計算比較即可得出結論．【詳解】（1）解：設每名熟練工每月可以安裝輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝輛電動汽車．根據題意得：，解得：．答：每名熟練工每月可以安裝6輛電動汽車，每名新工人每月可以安裝2輛電動汽車．（2）解：設工廠有名熟練工．根據題意，得，，，又，都是正整數，，所以，6，3．即工廠有3種新工人的招聘方案：①，，即新工人9人，熟練工2人；②，，即新工人6人，熟練工3人；③，，即新工人3人，熟練工4人．（3）解：由（2）新工人的招聘方案：要使新工人的數量多于熟練工，則，或，；根據題意得：．當時，（元）當時，（元），當，時，即工廠應招聘6名新工人，使新工人的數量多于熟練工，同時工廠每月支出的工資總額（元）盡可能少．5．（24-25七年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習）某學年計劃從商場批發帽子和手套獎勵給部分同學，商場標價，帽子單價是50元，手套單價為元，并且學年用于購進帽子和手套的總金額相等．（一頂帽子為一件，一副手套為一件）．(1)第一次購進的帽子和手套共件，求第一學年購買帽子和手套各多少件？(2)第二次購買時從商場得知，帽子件起售，超過件的部分每件打八折，不超過件的部分不予以優惠；手套50件起售，超過50件的部分，每件優惠2元，不超過50件的部分不予以優惠，經過學年統計，此次需購買帽子超過件，購買手套也超過50件，且第二次購買帽子和手套共件，則該學年第二次需準備多少資金用來購買手套和帽子．【答案】(1)帽子件，手套件(2)元【知識點】銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解題意是解題關鍵．（1）設第一次購買頂帽子，副手套，由題意得，即可求解；（2）設第二次購買了頂帽子，副手套，由題意得：，求出即可求解；【詳解】（1）解：設第一次購買頂帽子，副手套，由題意得：，解得：，故：第一學年購買帽子件，手套件（2）解：設第二次購買了頂帽子，副手套，由題意得：，解得：，∴學校需要準備資金：（元）6．（22-23八年級上·貴州畢節·期末）運輸公司要把120噸物資從A地運往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號的車輛的運載量和運費如表所示．車型甲乙丙運載量（噸/輛）5810運費（元/輛）450600700解答下列問題：（假設每輛車均滿載）(1)若全部物資僅用甲、乙型車一次運完，需運費9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？(2)若用甲、乙、丙型車共14輛同時參與運送，且一次運完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別需要多少輛？此時的總運費是多少？【答案】(1)甲、乙型車分別需要8輛、10輛(2)乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時的總運費為8800元【知識點】分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用，熟練掌握建立方程組是解題關鍵．（1）設需要甲型車a輛，乙型車b輛，根據“120噸物資”和“運費9600元”建立方程組，解方程組即可得；（2）設需要乙型車x輛，丙型車y輛，根據“甲、乙、丙型車共14輛”，“一次運完全部物資”建立關于x，y的方程組，解方程組即可得．【詳解】（1）設甲、乙型車分別需要a輛、b輛．根據題意，得，解得，答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；（2）設乙、丙型車分別需要x輛、y輛，根據題意得，解得，此時總運費為（元）．答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時的總運費為8800元．7．（23-24七年級下·江蘇無錫·階段練習）輔成中學欲購置規格分別為和的甲、乙兩種洗手液，已知購買3瓶甲和2瓶乙洗手液需要80元，購買1瓶甲和4瓶乙洗手液需要110元．(1)求甲、乙兩種洗手液的單價；(2)學校師生共1000人，平均每人每天需要使用的免洗手洗手液，若采購兩種洗手液共花費2500元，則這批洗手液可供全校師生使用多少天？(3)為節約成本，購買散裝洗手液進行分裝，現需要將的洗手液裝進最大容量為和的兩種空瓶中（每瓶需裝滿），若分裝時平均每瓶需會損耗，請問如何分裝可使總損耗最小，求出此時需要的兩種空瓶數量．【答案】(1)甲種免洗手消毒液的單價為10元，乙種免洗手消毒液的單價為25元(2)這批消毒液可使用10天(3)分裝時需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使總損耗最小【知識點】二元一次方程的解、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）（3）找準等量關系，正確列出二元一次方程．（1）設甲種免洗手消毒液的單價為元，乙種免洗手消毒液的單價為元，根據“購買3瓶甲和2瓶乙免洗手消毒液需要80元，購買1瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要110元”，即可得出關于，的二元一次方程組，解之即可得出結論；（2）設購進甲種免洗手消毒液瓶，乙種免洗手消毒液瓶，根據總價單價數量，即可得出關于，的二元一次方程，再結合可使用時間免洗手消毒液總體積每天需消耗的體積，即可求出結論；（3）設分裝的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，根據需將的免洗手消毒液進行分裝且分裝時平均每瓶需損耗，即可得出關于，的二元一次方程，結合，均為正整數即可得出各分裝方案，選擇最小的方案即可得出結論．【詳解】（1）設甲種免洗手消毒液的單價為元，乙種免洗手消毒液的單價為元，依題意，得：，解得：．答：甲種免洗手消毒液的單價為10元，乙種免洗手消毒液的單價為25元．（2）設購進甲種免洗手消毒液瓶，乙種免洗手消毒液瓶，依題意，得：，，．答：這批消毒液可使用10天．（3）設分裝的免洗手消毒液瓶，的免洗手消毒液瓶，依題意，得：，．，均為正整數，和．要使分裝時總損耗最小，，即分裝時需的空瓶6瓶，的空瓶14瓶，才能使總損耗最小．8．（23-24七年級下·河南新鄉·期中）某山區有若干名中學生、小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元．某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與其捐助貧困中學生和小學生人數的部分情況如下表：捐款數額/元資助貧困中學生人數/名資助貧困小學生人數/名七年級400024八年級420033九年級4000(1)求a，b的值；(2)當地政府下達新政策給予補貼，秉持九年級學生捐多少補多少原則幫助貧困學生，與九年級學生的捐款總額恰好解決了剩余貧困中、小學生的學習費用（中小學生均要資助），請求出政府和九年級學生的捐款總額可捐助的貧困中、小學生人數的所有方案．【答案】(1)a，b的值分別為800，600(2)方案一：中學生7人，小學生4人；方案二：中學