PAGEPAGE12.4正態分布,[A基礎達標]1．已知隨機變量X聽從正態分布N(a，4)，且P(X>1)＝0.5，則實數a的值為()A．1 B.eq\r(3)C．2 D．4解析：選A.因為隨機變量X聽從正態分布N(a，4)，所以P(X>a)＝0.5.由P(X>1)＝0.5，可知a＝1.2．設有一正態總體，它的概率密度曲線是函數f(x)的圖象，且f(x)＝φμ，σ(x)＝eq\f(1,\r(8π))e－eq\f(（x－10）2,8)，則這個正態總體的均值與標準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與10解析：選B.由正態密度函數的定義可知，總體的均值μ＝10，方差σ2＝4，即σ＝2.3．已知隨機變量X聽從正態分布N(3，1)，且P(2≤X≤4)＝0.6827，則P(X>4)＝()A．0.1588 B．0.15865C．0.1586 D．0.1585解析：選B.由于X聽從正態分布N(3，1)，故正態分布曲線的對稱軸為x＝3.所以P(X>4)＝P(X<2)，故P(X>4)＝eq\f(1－P（2≤X≤4）,2)＝eq\f(1－0.6827,2)＝0.15865.4．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)聽從正態分布N(0，32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3，6)內的概率為()(附：若隨機變量ξ聽從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)≈95.45%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%解析：選B.由正態分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)≈0.6827，P(－6＜ξ＜6)≈0.9545，故P(3＜ξ＜6)＝eq\f(P（－6＜ξ＜6）－P（－3＜ξ＜3）,2)≈eq\f(0.9545－0.6827,2)＝0.1359＝13.59%，故選B.5．(2024·洛陽模擬)某班有50名學生，一次數學考試的成果X聽從正態分布N(105，102)，已知P(95≤X≤105)＝0.32，估計該班學生數學成果在115分以上的人數為()A．10 B．9C．8 D．7解析：選B.因為考試的成果X聽從正態分布N(105，102)，所以正態曲線關于x＝105對稱．因為P(95≤X≤105)＝0.32，所以P(X≥115)＝eq\f(1,2)×(1－0.32×2)＝0.18.所以該班學生數學成果在115分以上的人數為0.18×50＝9.6．設隨機變量ξ～N(2，2)，則D(eq\f(1,2)ξ)＝________．解析：因為ξ～N(2，2)，所以D(ξ)＝2.所以D(eq\f(1,2)ξ)＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)7．設隨機變量X～N(4，σ2)，且P(4＜X＜8)＝0.3，則P(X＜0)＝________．解析：概率密度曲線關于直線x＝4對稱，在4右邊的概率為0.5，在0左邊的概率等于在8右邊的概率，即0.5－0.3＝0.2.答案：0.28．在某項測量中，測量結果X聽從正態分布N(1，σ2)(σ＞0)．若X在(0，1)內取值的概率為0.4，則X在(0，2)內取值的概率為________．解析：如圖，易得P(0＜X＜1)＝P(1＜X＜2)，故P(0＜X＜2)＝2P(0＜X＜1)＝2×0.4＝0.8.答案：0.89．在一次測試中，測試結果X聽從正態分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0，2)內取值的概率為0.2，求：(1)X在(0，4)內取值的概率；(2)P(X>4)．解：(1)由X～N(2，σ2)，對稱軸x＝2，畫出示意圖，因為P(0<X<2)＝P(2<X<4)，所以P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3.10．生產工藝工程中產品的尺寸誤差(單位：mm)X～N(0，1.52)，假如產品的尺寸與規定的尺寸偏差的肯定值不超過1.5mm為合格品，求：(1)X的密度函數；(2)生產的5件產品的合格率不小于80%的概率．解：(1)依據題意，知X～N(0，1.52)，即μ＝0，σ＝1.5，所以密度函數φ(x)＝eq\f(1,1.5\r(2π))eeq\s\up6(\f(－x2,4.5)).(2)設Y表示5件產品中的合格品數，每件產品是合格品的概率為P(|X|≤1.5)＝P(－1.5≤X≤1.5)＝0.6827，而Y～B(5，0.6827)，合格率不小于80%，即Y≥5×0.8＝4，所以P(Y≥4)＝P(Y＝4)＋P(Y＝5)＝Ceq\o\al(4,5)×0.68274×(1－0.6827)＋0.68275≈0.4929.[B實力提升]11．已知隨機變量X聽從正態分布，其正態分布密度曲線為函數f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up6(\f(－（x－2）2,2))的圖象，若∫eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2,0))f(x)dx＝eq\f(1,3)，則P(X>4)＝()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)解析：選A.因為隨機變量X聽從正態分布，其正態分布密度曲線為函數f(x)＝eq\f(1,\r(2π))eeq\s\up6(\f(－（x－2）2,2))的圖象，所以μ＝2，即函數f(x)的圖象關于直線x＝2對稱，因為∫eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(2,0))f(x)dx＝eq\f(1,3)，所以P(0<X≤2)＝eq\f(1,3)，所以P(2<X≤4)＝eq\f(1,3)，因為P(2<X≤4)＋P(X>4)＝eq\f(1,2)，所以P(X>4)＝eq\f(1,2)－P(2<X≤4)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).故選A.12．已知正態分布N(μ，σ2)的密度曲線是f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈R的圖象．給出以下四個命題：①對隨意x∈R，f(μ＋x)＝f(μ－x)成立；②假如隨機變量X聽從N(μ，σ2)，且F(x)＝P(X<x)，那么F(x)是R上的增函數；③假如隨機變量X聽從N(108，100)，那么X的期望是108，標準差是100；④隨機變量X聽從N(μ，σ2)，P(X<1)＝eq\f(1,2)，P(X>2)＝p，則P(0<X<2)＝1－2p.其中，真命題的序號是________．(寫出全部真命題的序號)解析：假如隨機變量X～N(108，100)，所以μ＝108，σ2＝100，即σ＝10，故③錯，又f(μ＋x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up6(\f(－（μ＋x－μ）2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up6(\f(－x2,2σ2))，f(μ－x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up6(\f(（μ－x－μ）2,2σ2))＝eq\f(1,\r(2π)σ)eeq\s\up6(\f(－x2,2σ2))，故①正確，由正態分布密度函數性質以及概率的計算知②④正確，故填①②④.答案：①②④13．已知隨機變量X～N(μ，σ2)，且正態分布密度函數在(－∞，80)上是增函數，在(80，＋∞)上為減函數，P(72<X≤88)≈0.6827.(1)求參數μ，σ的值；(2)求P(64<X≤72)．解：(1)由于正態分布密度函數在(－∞，80)上是增函數，在(80，＋∞)上是減函數，所以正態曲線關于直線x＝80對稱，即參數μ＝80.又P(72<X≤88)≈0.6827，P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，所以σ＝8.(2)因為P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(64<X≤96)≈0.9545，P(72<X≤88)≈0.6827，所以P(64<X≤72)＝eq\f(1,2)[P(64<X≤96)－P(72<X≤88)]＝eq\f(1,2)×(0.9545－0.6827)＝0.1359.14．(選做題)從某校的一次學科學問競賽成果中，隨機抽取了50名同學的成果，統計如下：組別[30，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻數3101215622(1)求這50名同學成果的樣本平均數x(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)；(2)由頻數分布表可以認為，本次學科學問競賽的成果Z聽從正態分布N(μ，196)，其中μ近似為樣本平均數x.①利用該正態分布，求P(Z>74)；②某班級共有20名同學參與此次學科學問競賽，記X表示這20名同學中成果超過74分的人數，利用①的結果，求E(X)．附：若Z～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9545.解：(1)樣本平均數x＝35×eq\f(3,50)＋45×eq\f(10,50)＋55×eq\f(12,50)＋65×eq\f(15,50)＋