專題3.5冪函數知識點一冪函數的概念一般地，函數y＝xα叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數．思考如何判斷一個函數是冪函數？知識點二五個冪函數的圖象與性質1．在同一平面直角坐標系內函數(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個冪函數的性質y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識點三一般冪函數的圖象特征1．所有的冪函數在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過點(1,1)．2．當α>0時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間[0，＋∞)上單調遞增．特別地，當α>1時，冪函數的圖象下凸；當0<α<1時，冪函數的圖象上凸．3．當α<0時，冪函數在區間(0，＋∞)上單調遞減．4．冪指數互為倒數的冪函數在第一象限內的圖象關于直線y＝x對稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數圖象相交，按交點從下到上的順序，冪指數按從小到大的順序排列．冪函數的概念冪函數的判斷及應用(1)判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，需滿足：①指數為常數，②底數為自變量，③xα的系數為1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函數都不是冪函數．(2)若一個函數為冪函數，則該函數也必具有y＝xα(α為常數)這一形式．現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：形如為常數）的函數叫做冪函數，①、⑥是冪函數，故①⑥滿足條件；而②、⑦是指數函數，故②⑦不滿足條件；顯然，③、④；⑤不是冪函數，故③④⑤不滿足條件；故其中冪函數的個數為2，故選：．在函數①，②，③，④，⑤，⑥中，是冪函數的是A．①②④⑤ B．①⑤⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥【解答】解：根據冪函數的定義，在函數①，②，③，④，⑤，⑥中，是冪函數的有①⑤⑥，故選：．已知冪函數的圖象經過點，則A． B．0 C．1 D．2【解答】解：冪函數的圖象經過點，，，故選：．冪函數的圖像過點，且，則實數的值為A．4或 B． C． D．或2【解答】解：冪函數的圖像過點，，，即．，則實數，故選：．已知冪函數的圖象經過點，則A． B．1 C． D．2【解答】解：冪函數的圖象經過點，，解得，，．故選：．冪函數的圖象及應用(1)冪函數圖象的畫法①確定冪函數在第一象限內的圖象：先根據α的取值，確定冪函數y＝xα在第一象限內的圖象．②確定冪函數在其他象限內的圖象：根據冪函數的定義域及奇偶性確定冪函數f(x)在其他象限內的圖象．(2)解決與冪函數有關的綜合性問題的方法首先要考慮冪函數的概念，對于冪函數y＝xα(α是常數)，由于α的取值不同，所以相應冪函數的單調性和奇偶性也不同．同時，注意分類討論思想的應用．冪函數及直線，，將平面直角坐標系的第一象限分成八個“卦限”：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧（如圖所示），則冪函數的圖象經過的“卦限”是A．①，⑦ B．④，⑧ C．③，⑦ D．①，⑤【解答】解：取得，，故在第⑤卦限；再取得，，故在第①卦限，故選：．如圖，①②③④對應四個冪函數的圖像，其中①對應的冪函數是A． B． C． D．【解答】解：由于①對應的冪函數圖象是上凸型的，故有冪指數，故選：．冪函數的圖象過點，則冪函數的圖象是A． B． C． D．【解答】解：設冪函數的解析式為，冪函數的圖象過點，，解得，其定義域為，，且是增函數，當時，其圖象在直線的上方．對照選項．故選：．函數，和的圖象如圖所示，有下列四個說法：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果時，那么．其中正確的是A．①④ B．① C．①② D．①③④【解答】解：易知函數，和的圖象交點坐標為，函數與的圖象還有一個交點，當三個函數的圖象依，，次序呈上下關系時，，故①正確，當三個函數的圖象依，，次序呈上下關系時，或，故②錯誤，由于三個函數的圖象沒有出現，，次序的上下關系，故③錯誤，當三個函數的圖象依，，次序呈上下關系時，，故④正確，所以正確的有①④，故選：．已知冪函數在內是單調遞減函數，則實數．【解答】解：由題意得，，解得．故答案為：．已知冪函數是上的增函數，則的值為3．【解答】解：函數是冪函數，則，即，解得或；當時，不是上的增函數，不滿足題意；當時，是上的增函數，滿足題意．則的值為3故答案為：3冪函數在區間上單調遞增，則（3）A．27 B．9 C． D．【解答】解：冪函數在區間上單調遞增，，解得，，（3）．故選：．若冪函數在上單調遞減，則A．或2 B．2 C． D．【解答】解：冪函數在上單調遞減，，解得，故選：．比較冪值的大小比較冪值大小的方法(1)若兩個冪值的指數相同或可化為兩個指數相同的冪值時，則可構造函數，利用冪函數的單調性比較大小．(2)若底數、指數均不同，則考慮用中間值法比較大小，這里的中間值可以是“0”或“1”．若，則，，，的大小關系是A． B． C． D．【解答】解：，函數是上的增函數，，，故選：．已知，，，則A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，函數在上是增函數，．故選：．若，，，則，，的大小關系為A． B． C． D．【解答】解：構造函數，因為函數，為單調遞減函數．且，所以，即，所以．故選：．三個數，，之間的大小關系是A． B． C． D．【解答】解：冪函數在上為增函數，，即，，，故選：．冪函數綜合問題已知冪函數的圖象關于軸對稱．（1）求的解析式；（2）求函數在，上的值域．【解答】解：（1）因為是冪函數，所以，解得或．又的圖象關于軸對稱，所以，故．（2）由（1）可知，．因為，，所以，，所以．故在，上的值域為．已知冪函數的圖象關于軸對稱，集合．（1）求的值；（2）當時，的值域為集合，若是成立的充分不必要條件，求實數的取值范圍．【解答】解：（1）由冪函數，可知，解得或，當時，的圖象不關于軸對稱，舍去，當時，的圖象關于軸對稱，滿足條件，因此，．（2）當，時，的值域為，則集合，由題意知，得，解得，所以的取值范圍為，．已知冪函數的圖象經過點．（Ⅰ）求函數的解析式；（Ⅱ）若函數滿足條件，試求實數的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）冪函數的圖象經過點，，，．（Ⅱ）函數為偶函數，在上單調遞增，且滿足，不等式可化為，，兩邊平方得，解得，即實數的取值范圍為．1．若函數為冪函數，則實數A．2 B． C．或2 D．3【解答】解：函數為冪函數，，求得或2，故選：．2．現有下列函數：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中冪函數的個數為A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：形如為常數）的函數叫做冪函數，①、⑥是冪函數，故①⑥滿足條件；而②、⑦是指數函數，故②⑦不滿足條件；顯然，③、④；⑤不是冪函數，故③④⑤不滿足條件；故其中冪函數的個數為2，故選：．3．若函數是冪函數，則實數的值是A．1或 B． C．2 D．或2【解答】解：冪函數的系數為1，，解得或．故選：．4．設和是兩個不同的冪函數，則它們圖像交點的個數為A．1或2或0 B．1或2或3 C．1或2或3或4 D．0或1或2或3【解答】解：取，，由可得或或，故和是有3個交點，取，，由可得或，故和是有2個交點，取，，由可得，故和是有1個交點，任意冪函數的圖像必過點，即和至少有1個交點，任意兩個冪函數的圖像不可能有4個交點，故和交點個數為1或2或3，故選：．5．已知冪函數的圖象過點，則的值為A．27 B． C． D．【解答】解：設冪函數的解析式為，，因為的圖象過點，所以，解得，所以，所以．故選：．6．如圖所示的曲線是冪函數在第一象限內的圖象．已知分別取，1，，2四個值，則與曲線，，，相應的依次為A．2，1，， B．2，，1， C．，1，2， D．，1，2，【解答】解：根據冪函數在第一象限內的圖象，已知分別取，1，，2四個值，在圖象中，做出直線，根據直線和曲線交點的縱坐標的大小，可得曲線，，，相應的依次為：2，1，，，故選：．7．已知冪函數的圖象過函數的圖象所經過的定點，則的值等于A． B． C．2 D．【解答】解：函數是冪函數，，解得，；令，解得，函數的圖象經過定點，，解得．故選：．8．函數的圖象關于A．軸對稱 B．直線對稱 C．坐標原點對稱 D．直線對稱【解答】解：函數的定義域是實數集合，關于原點對稱，，是偶函數，函數圖象關于原點軸對稱，故選：．9．已知對數函數的圖象經過點，則冪函數的圖象是A． B． C． D．【解答】解：對數函數的圖象經過點，，，故冪函數，它的圖象如圖所示，故選：．10．寫出一個同時滿足下列性質的冪函數．①偶函數；②在上遞增．【解答】解：根據冪函數是偶函數，且在上遞增，可以寫出．故答案為：．11．函數是冪函數，且為偶函數，則實數的值是．【解答】解：由函數是冪函數，得，即，解得或；又為偶函數，即為偶數，所以實數的值是3．故答案為：3．12．冪函數在區間上單調遞增，則（3）A．27 B．9 C． D．【解答】解：冪函數在區間上單調遞增，，解得，，（3）．故選：．13．函數的圖象經過點，，則（9）的值為A． B．3 C． D．81【解答】解：函數的圖象經過點，，，，則（9），故選：．14．已知冪函數的圖象關于軸對稱．（1）求的解析式；（2）求函數在，上的值域．【解答】解：（1）因為是冪函數，所以，解得或．又的圖象關于軸對稱，所以，故．（2）由（1）可知，．因為，，所以，，所以．故在，上的值域為．15．已知函數．（1）為何值時此函數為冪函數？（2）