第11講圓的方程目錄TOC\o"1-2"\h\u32437第11講圓的方程 123663一、圓的方程 229647基礎知識 214136考點1求圓的標準方程 216081考點2求圓的一般方程 310040二、二元二次方程和圓的方程 421091基礎知識 415855考點3二元二次方程表示圓的條件 49619考點4圓過定點問題 523425三、點與圓的位置關系 628695基礎知識 622627考點5點與圓的位置關系 64548四、軌跡方程 88579基礎知識 818066考點6圓相關的軌跡問題 8689五、圓相關的對稱問題 105091基礎知識 1031056考點7圓相關的對稱問題 10235六、課后作業 1231134單選題 1231594多選題 138970填空題 134881解答題 13

一、圓的方程基礎知識1．圓的定義圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合(軌跡)是圓(定點為圓心,定長為半徑).圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小.2．圓的標準方程(1)圓的標準方程：方程(r>0)叫作以點(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標準方程.(2)圓的標準方程的優點：根據圓的標準方程很容易確定圓心坐標和半徑.

(3)圓的標準方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的標準方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的標準方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個圓的一般方程中含有三個字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個獨立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點，將三點坐標代入圓的一般方程，求待定系數D，E，F；

②已知圓上兩點，圓心所在的直線，將兩個點代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數D，E，F.考點1求圓的標準方程【例1.1】（23-24高二上·天津武清·階段練習）圓心為?1,1，半徑為2的圓的方程為（

）A．x+12+y?1C．x?12+y+1【例1.2】（23-24高二上·陜西·期中）過四點0,0，4,0，?1,1，4,2中的三點的圓的方程可能為（

）A．x2+yC．x?432【變式1.1】（23-24高二上·河北石家莊·期中）過點A?1,1,B3,?3A．(x?1)2+(y+1)C．(x?1)2+(y+1)【變式1.2】（23-24高二上·遼寧·階段練習）若圓C經過點A(2,5)，B(4,3)，且圓心在直線l:2x+y?7=0上，則圓C的方程為（

）A．(x?3)2+(y?6)C．(x?2)2+(y?3)考點2求圓的一般方程【例2.1】（23-24高二上·陜西西安·階段練習）直線x4+y2=1與x軸，y軸分別交于點A,BA．x2+yC．x2+y【例2.2】（23-24高三上·北京順義·期中）已知圓C的圓心坐標為(?3,2)，且點(?1,1)在圓C上，則圓C的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【變式2.1】（23-24高二上·浙江·期中）若直線4x+3y?12=0與兩坐標軸的交點為A,B，則以AB為直徑的圓的方程為（

）A．x2+yC．x2+y【變式2.2】（23-24高二上·河北保定·期中）過圓C:x2+y2A．2x?y?1=0 B．2x+y?7=0C．x?2y+5=0 D．x+y?5=0

二、二元二次方程和圓的方程基礎知識1．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關系：

二元二次方程，對比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個二元二次方程，但一個二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是考點3二元二次方程表示圓的條件【例1.1】（23-24高二上·北京順義·期中）若x2+y2+4x?2y?m=0A．5,+∞ B．?∞,5 C．?【例1.2】（23-24高二上·河北·期中）若方程x2+y2+4x+2y?m=0A．?∞,?5 B．?5,+∞ C．?【變式1.1】（23-24高二上·四川成都·期中）已知方程x2+y2+4x?2y?5c=0A．c>?1 B．c≥?1C．c>1 D．c≤1【變式1.2】（23-24高二上·浙江舟山·階段練習）若a∈?2,?1,0,12,3A．1 B．2 C．3 D．4考點4圓過定點問題【例2.1】（23-24高二上·安徽·階段練習）若圓C：x2+y2A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1【例2.2】（23-24高二上·湖北荊州·期末）圓C:x2+y2+ax?2ay?5=0恒過的定點為（

）A．?2,1,(2,?1) B．C．?1,?2,(1,2) 【變式2.1】（23-24高二下·上海徐匯·期中）對任意實數m，圓x2+y2?3mx?6my+9m?2=0【變式2.2】（23-24高二下·上海·開學考試）對任意實數m，圓x2+y2?2mx?4my+6m?2=0

三、點與圓的位置關系基礎知識1．點與圓的位置關系(1)如圖所示，點M與圓A有三種位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.(2)圓A的標準方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內一點.位置關系判斷方法幾何法代數法(標準方程)代數法(一般方程)點在圓上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點在圓內|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2點在圓外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2考點5點與圓的位置關系【例1.1】（23-24高二上·內蒙古呼和浩特·期中）若點2,1在圓x2+y2?x+y+a=0A．(?4,+∞) B．?∞,12【例1.2】（2023高二上·江蘇·專題練習）已知點P(a,10)，圓的標準方程為x?12+y?1A．在圓內 B．在圓上C．在圓外 D．與a的取值有關【變式1.1】（23-24高二上·廣東惠州·期中）點P(m,3)與圓x?22+y?1A．點在圓外 B．點在圓內 C．點在圓上 D．與m的值無關【變式1.2】（2024高二上·全國·專題練習）點(?1,?1)在圓(x+a)2+(y?a)2=4A．?1<a<1 B．0<a<1C．a<?1或a>1 D．a=±1

四、軌跡方程基礎知識1．軌跡方程求符合某種條件的動點的軌跡方程，實質上就是利用題設中的幾何條件，通過“坐標法”將其轉化為關于變量x,y之間的方程.(1)當動點滿足的幾何條件易于“坐標化”時，常采用直接法；當動點滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時，常采用定義法；當動點隨著另一個在已知曲線上的動點運動時，可采用代入法(或稱相關點法).(2)求軌跡方程時，一要區分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗，去掉不合題設條件的點或線等.2.求軌跡方程：(1)建立適當的直角坐標系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點M的坐標；(2)列出關于x,y的方程；(3)把方程化為最簡形式；(4)除去方程中的瑕點(即不符合題意的點)；(5)作答.考點6圓相關的軌跡問題【例1.1】（2024高二上·江蘇·專題練習）已知等腰三角形的頂點是A4,2，底邊一個端點是B3,5，另一個端點是C，求線段AC中點【例1.2】（2024高二·全國·專題練習）如圖，已知點B的坐標為(2,0)，P是以點O為圓心的單位圓上的動點(不與點C,D重合)，∠POB的角平分線交直線PB于點Q，求點Q的軌跡方程．【變式1.1】（23-24高二上·廣東佛山·期末）已知點A2,0，圓O:x2+y2=10(1)當點B在第一象限且橫坐標為3時，求AD邊所在直線的方程；(2)求點D的軌跡方程．【變式1.2】（2024高三·全國·專題練習）已知A(2，0)為圓O：x2＋y2＝r2上一點，點B(1，1)，P，Q為圓O上的動點.(1)求線段AP中點的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程.

五、圓相關的對稱問題基礎知識1．與圓有關的對稱問題(1)圓的軸對稱性：圓關于直徑所在的直線對稱.

(2)圓關于點對稱

①求已知圓關于某點對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關于某點對稱，則此點為兩圓圓心連線的中點.

(3)圓關于直線對稱

①求已知圓關于某條直線對稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關于某直線對稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.考點7圓相關的對稱問題【例1.1】（23-24高二上·江蘇南通·期中）圓C：x2+y2+2x?4y+4=0關于直線y=x?1A．x?12+y+1C．x?22+y+3【例1.2】（23-24高二上·天津河東·期中）若圓x2+y2+4x?12y+1=0關于直線x?by+6=0A．0 B．32 C．2 D．【變式1.1】（23-24高二·全國·課后作業）如果圓x2+y2+Dx+Ey+F=0（DA．D+EB．D=EC．D=FD．E=F【變式1.2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知圓C與圓x2+y2?2y=0關于直線x?y?2=0A．x+12+yC．x+32+y?2

六、課后作業單選題1．（23-24高二上·安徽馬鞍山·階段練習）已知圓的圓心在(?3,4)，半徑為5，則它的方程為（

）A．x?32+y?4C．(x+3)2+(y?4)2．（23-24高二上·福建廈門·期中）若a∈?2,?1,0,34,1，則方程A．1 B．2 C．3 D．43．（23-24高二上·全國·課后作業）圓x2+y2?2x?2y+1=0A．(x+1)2+(y?1)C．x2+(y?1)4．（23-24高二上·全國·課后作業）下列方程能表示圓的是（

）A．x2+yC．x2+y5．（23-24高二上·四川樂山·期末）已知圓C的圓心在x軸上且經過A1,1，B2,?2兩點，則圓C的標準方程是（A．x?32+yC．x+32+y6．（23-24高二上·吉林長春·期末）已知點A5,0，點B在圓(x?1)2+y2=4上運動，則線段A．x2+yC．x2+y7．（2024高一·全國·課后作業）圓x2A．4,?6，16 B．2,?3，4C．?2,3，4 D．2,?3，168．（23-24高二上·浙江溫州·期中）點Px,y是直線2x+y?5=0上任意一點，O是坐標原點，則以OP為直徑的圓經過定點（

A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1多選題9．（23-24高二下·廣東深圳·期中）已知圓M的標準方程為(x?4)2+(y+3)A．圓M的圓心為4,?3 B．點1,0在圓內C．圓M的半徑為5 D．點?3,1在圓內10．（23-24高二上·廣西河池·階段練習）已知方程x2+yA．方程表示圓，且圓的半徑為1時，a=4B．當a=5時，方程表示圓心為1,?2的圓C．當a=0時，方程表示圓且圓的半徑為5D．當a<5時，方程表示圓心為1,?2的圓填空題11．（23-24高二下·湖南邵陽·期中）圓心在y軸，半徑為1且過點(1,2)的圓的標準方程為：.12．（23-24高二上·上海青浦·階段練習）已知兩點A(?5,0)，B(5,0)，動點P到點A的距離是它到點B的距離的3倍，則點P的軌跡方程是．解答題13．（2024高二上·全國·專題練習）下列方程各表示什么圖形？若表示圓，