第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式目錄TOC\o"1-2"\h\u24135第08講直線的方程（一）：直線方程的幾種形式 128279一、直線的點斜式、斜截式方程 211072基礎知識 218697考點1點斜式方程 224242考點2斜截式方程 320059二、直線的兩點式、截距式方程 413411基礎知識 420087考點3兩點式方程 56691考點4截距式方程 511796三、直線的一般式方程 732596基礎知識 720103考點5一般式方程 86537考點6直線一般式方程與其他形式之間的互化 819043四、方向向量與直線的參數方程 103882基礎知識 1021511考點7求解直線的方向向量 1016456考點8由直線的方向向量求直線方程 1111689五、課后作業 1226375單選題 1211933多選題 1321564填空題 1310215解答題 13

一、直線的點斜式、斜截式方程基礎知識1．直線的點斜式方程(1)直線的點斜式方程的定義：

設直線l經過一點，斜率為k，則方程叫作直線l的點斜式方程.

(2)點斜式方程的使用方法：

①已知直線的斜率并且經過一個點時，可以直接使用該公式求直線方程.②當已知直線的傾斜角時，若直線的傾斜角，則直線的斜率不存在，其方程不能用點斜式表示，但因為l上每一個點的橫坐標都等于x1，所以直線方程為x=x1；若直線的傾斜角，則直線的斜率，直線的方程為.2．直線的斜截式方程(1)直線的斜截式方程的定義：

設直線l的斜率為k，在y軸上的截距為b，則直線方程為y=kx+b，這個方程叫作直線l的斜截式方程.(2)斜截式方程的使用方法：

已知直線的斜率以及直線在y軸上的截距時，可以直接使用該公式求直線方程.考點1點斜式方程【例1.1】（23-24高二上·河南鄭州·期末）過點P2,?1，且傾斜角為90°的直線方程為（

A．y=?1 B．x=2 C．y=2 D．x【例1.2】（23-24高二上·四川達州·期末）經過點P2，2且傾斜角為πA．y=x B．y=x?2 C．y=?x+4 D．y=x+2【變式1.1】（23-24高二上·甘肅白銀·期末）若直線l過點1,3且與斜率為4的直線垂直，則直線l的方程為（

）A．x+4y?13=0 B．4x?y?1=0C．x+4y?8=0 D．4x?y?15=0【變式1.2】（23-24高二上·山東東營·期末）經過點(1,0)，傾斜角為150°的直線方程是（

A．y=?3x+1 B．y=?33x+1 考點2斜截式方程【例2.1】（23-24高二上·重慶南岸·期中）經過點A2,3，且傾斜角為π4的直線的斜截式方程為（A．y=x+1 B．y=x?1 C．y=?x?1【例2.2】（23-24高二·全國·課后作業）下面四個直線方程中，可以看作是直線的斜截式方程的是（

）A．x＝3 B．y＝－5C．2y＝x D．x＝4y－1【變式2.1】（23-24高二上·全國·課后作業）與直線y=?x+2垂直，且在x軸上的截距為2的直線的斜截式方程為（）.A．y=x+2 B．y=x?2C．y=?x+2 D．y=?x+4【變式2.2】（23-24高二上·四川南充·開學考試）與直線2x?y?1=0垂直，且在y軸上的截距為4的直線的斜截式方程是（

）A．y=?B．y=?12C．y=D．y=12

二、直線的兩點式、截距式方程基礎知識1．直線的兩點式方程(1)直線的兩點式方程的定義：設直線l經過兩點()，則方程叫作直線l的兩點式方程.

(2)兩點式方程的使用方法：

①已知直線上的兩個點，且時，可以直接使用該公式求直線方程.

②當時，直線方程為(或).

③當時，直線方程為(或).2．直線的截距式方程(1)直線的截距式方程的定義：設直線l在x軸上的截距為a，在y軸上的截距為b，且a≠0，b≠0，則方程叫作直線l的截距式方程.

(2)直線的截距式方程的適用范圍：

選用截距式方程的條件是a≠0，b≠0，即直線l在兩條坐標軸上的截距非零，所以截距式方程不能表示過原點的直線，也不能表示與坐標軸平行(或重合)的直線.

(3)截距式方程的使用方法：

①已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都不為0時，可以直接使用該公式求直線方程.

②已知直線在x軸上的截距、y軸上的截距，且都為0時，可設直線方程為y=kx，利用直線經過的點的坐標求解k，得到直線方程.考點3兩點式方程【例1.1】（23-24高二上·河北邢臺·階段練習）下列直線方程是兩點式方程的是（

）A．y=kx+b B．y?C．xa+y【例1.2】（22-23高二上·浙江溫州·期末）過兩點A3,?5，B?5,5的直線在y軸上的截距為（A．?54 B．54 C．?【變式1.1】（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習）過1,2，5,3的直線方程是（

）A．y?25?1=x?13?1 B．y?23?2=【變式1.2】（23-24高二·全國·課后作業）經過兩點x1,y1、A．x?x1xC．y?y1x考點4截距式方程【例2.1】（23-24高二上·山西太原·期末）直線y=4x+2在x軸和y軸上的截距分別為（

）A．12，2 B．?12，2 C．12，?2 【例2.2】（23-24高二上·北京順義·期中）過點A1,2的直線在兩坐標軸上的截距之和為零，則該直線方程為（

A．x?y+3=0 B．x+y?3=0C．2x?y=0或x?y+1=0 D．2x+y=0或x+y+1=0【變式2.1】（23-24高二上·天津和平·期中）經過點1,3且在兩坐標軸上的截距互為相反數的直線方程是（

）A．x+y=4 B．y=x+2C．y=3x或x+y=4 D．y=3x或y=x+2【變式2.2】（22-23高二上·甘肅金昌·階段練習）已知直線l過A?2,1，且在兩坐標軸上的截距為相反數，那么直線l的方程是（

A．x+2y=0或x?yC．x?y?1=0或x+y

三、直線的一般式方程基礎知識1．直線的一般式方程(1)直線的一般式方程的定義：在平面直角坐標系中，任何一個關于x，y的二元一次方程都表示一條直線.我們把關于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同時為0)叫作直線的一般式方程.

對于方程Ax+By+C=0(A,B不全為0)：當B≠0時，方程Ax+By+C=0可以寫成y=x，它表示斜率為，在y軸上的截距為的直線.特別地，當A=0時，它表示垂直于y軸的直線.

當B=0時，A≠0，方程Ax+By+C=0可以寫成x=，它表示垂直于x軸的直線.

(2)一般式方程的使用方法：

直線的一般式方程是直線方程中最為一般的表達式，它適用于任何一條直線.2．辨析直線方程的五種形式方程形式直線方程局限性選擇條件點斜式不能表示與x軸垂直的直線①已知斜率；②已知

一點斜截式y=kx+b不能表示與x軸垂直的直線①已知在y軸上的截距；②已知斜率兩點式不能表示與x軸、

y軸垂直的直線①已知兩個定點；②已知兩個截距截距式不能表示與x軸垂直、與y軸垂直、過原點的直線①已知兩個截距；②已知直線與兩條坐標軸圍成的三角形的面積一般式Ax+By+C=0

(A,B不全為0)表示所有的直線求直線方程的最后結果均可以化為一般式方程考點5一般式方程【例1.1】（2024高二上·全國·專題練習）過點(?3,0)和(0,4)，的直線的一般式方程為（

）A．4x+3y+12=0 B．4x+3y?12=0C．4x?3y+12=0 D．4x?3y?12=0【例1.2】（21-22高二上·北京通州·期中）已知直線l經過點A(1，1)，且斜率為2，則直線l的一般式方程為（A．y?1=2(x?1) B．y=2x?1 C．2x?y?1=0 D．x?2y+1=0【變式1.1】（2024高二上·全國·專題練習）根據下列條件求直線的一般式方程．(1)直線的斜率為2，且經過點A1,3(2)斜率為3，且在y軸上的截距為4；(3)經過兩點A2,?3,B(4)在x,y軸上的截距分別為2,?4．【變式1.2】（23-24高二上·湖北·期中）求分別滿足下列條件的直線l的一般式方程．(1)斜率是34(2)經過點4,?3，且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等．考點6直線一般式方程與其他形式之間的互化【例2.1】（23-24高二上·安徽淮北·期中）根據條件寫出下列直線的方程，并化成一般式：(1)直線的斜率為2，在y軸上的截距是?5；(2)直線的傾斜角是直線y=?3x+1的傾斜角的一半，且過點【例2.2】（23-24高二上·湖北武漢·階段練習）求分別滿足下列條件的直線l的方程，化成一般形式.(1)經過點B?2,0，且與x(2)斜率為－4，在y軸上的截距為7；(3)經過C?1,5，D【變式2.1】（23-24高二上·河南南陽·階段練習）根據下列條件，寫出下列直線方程的一般式：(1)經過點(0,2)，且傾斜角為π(2)經過點(1,2)，且一個方向向量為v(3)在△ABC中，點A(8,4),B(4,?1),C(?6,3)，求BC邊上中線所在直線的方程【變式2.2】（2024高二·全國·專題練習）（1）已知直線l的一般式方程為2x?3y+6=0，請把一般式方程寫成為斜截式和截距式方程，并指出斜率和它在坐標軸上的截距；（2）根據下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式.①斜率是?12，經過點②經過點B4,2，平行于x③在x軸和y軸上的截距分別是32，?3④經過兩點P

四、方向向量與直線的參數方程基礎知識1．方向向量與直線的參數方程除了直線的點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式方程外，還有一種形式的直線方程與向量有緊密的聯系，它由一個定點和這條直線的方向向量唯一確定，與直線的點斜式方程本質上是一致的.如圖1，設直線l經過點，=(m,n)是它的一個方向向量，P(x,y)是直線l上的任意一點，則向量與共線.根據向量共線的充要條件，存在唯一的實數t，使=t，即()=t(m,n)，所以

①.

在①中，實數t是對應點P的參變數，簡稱參數.

由上可知，對于直線l上的任意一點P(x,y)，存在唯一實數t使①成立；反之，對于參數t的每一個確定的值，由①可以確定直線l上的一個點P(x,y).我們把①稱為直線的參數方程.考點7求解直線的方向向量【例1.1】（23-24高二上·四川綿陽·期末）直線2x?3y+1=0的一個方向向量是（

）A．3,2 B．2,3 C．3,?2 D．2,?3【例1.2】（23-24高三上·江西·階段練習）已知直線3x+2y?1=0的一個方向向量為v=1,m，則mA．233 B．?233 【變式1.1】（23-24高二上·山西呂梁·階段練習）直線2x+y+2=0的一個方向向量為（

）A．(1,?2) B．0,?2 C．1,2 D．2,1【變式1.2】（23-24高二上·四川自貢·期末）已知直線l的方程為3x+3y+1=0，則下列說法正確的是（A．傾斜角為120° B．傾斜角為C．方向向量可以為?3,1 考點8由直線的方向向量求直線方程【例2.1】（2023高三·全國·專題練習）過點A1,4的直線的方向向量為mA．2x?y+2=0 B．2x+y?6=0C．x?2y+7=0 D．x+y?5=0【例2.2】（23-24高二上·浙江·期中）已知直線l的一個方向向量n=?1,2，且過點?1,2，則直線l的方程為（A．2x+y=0 B．x?2y+5=0 C．x+2y?3=0 D．2x?y+4=0【變式2.1】（23-24高二下·河南·開學考試）已知經過點2,?1的直線l的一個方向向量為1,2，則l的方程為（

）A．x?2y?4=0 B．2x?y?5=0C．x+2y=0 D．2x+y?3=0【變式2.2】（22-23高二上·山西運城·階段練習）已知直線l：2m+1x+m+1y+m=0經過定點P，直線l′經過點P，且l′的方向向量aA．2x?3y+5=0 B．2x?3y?5=0C．3x?2y+5=0 D．3x?2y?5=0

五、課后作業單選題1．（23-24高二下·河南周口·階段練習）過點M1,2且傾斜角為45°的直線方程為（

A．y=x?1 B．y=x+1 C．y=?x+3 D．y2．（23-24高二上·山西大同·期末）直線l過點A4,5，B1,?1，則直線l在y軸上的截距是（A．32 B．3 C．?323．（23-24高二上·安徽滁州·期末）在平面直角坐標系xOy中，直線x4?y8=1A．?8 B．8 C．?184．（2024高二·全國·專題練習）經過兩點x1,yA．x?x1B．x?x2C．y?D．y?y15．（23-24高二下·河南·階段練習）過原點且與直線2x+y?1=0垂直的直線方程為（

）A．y=2x B．y=?2xC．y=12x6．（23-24高二上·河北邢臺·期末）已知經過點3,1的直線l的一個方向向量為3,2，則l的方程為（

）A．3x+2y?11=0 B．2x?3y?3=0C．2x+3y?9=0 D．3x?2y?7=07．（23-24高二上·廣東佛山·期末）斜率為?34，且經過點1,?1的直線方程為（A．3x+4y?1=0 B．3x+4y+1=0C．3x?4y?7=0 D．3x?4y?1=08．（2023高二·江蘇·專題練習）直線l的傾斜角是直線5x+12y?1=0傾斜角的一半，且直線l與坐標軸所圍成的三角形的面積為10，則直線l的方程可能是（

）A．5x+y?10=0???????????????????????????????????????????????????? B．C．x?2+y多選題9．（23-24高二上·浙江舟山·期末）下列說法正確的是（

）A．直線x?y?2=0的傾斜角為πB．直線x?y?2=0與兩坐標軸圍成的三角形的面積是2C．過點1,4的直線在兩坐標軸上的