第02講空間向量的數量積運算目錄TOC\o"1-2"\h\u11991第02講空間向量的數量積運算 15585一、空間向量的夾角與數量積 218005基礎知識 212198考點1計算空間向量數量積 316780考點2計算空間向量的夾角 39980考點3由空間向量的數量積求模 422321考點4向量垂直的應用 520275二、向量的投影 63768基礎知識 621817考點5求解投影向量 616251考點6向量數量積的應用 78342三、課后作業 921006單選題 925083多選題 107462填空題 1125349解答題 11

一、空間向量的夾角與數量積基礎知識1．空間向量的夾角(1)定義：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉．(2)范圍：0≤〈a，b〉≤π.特別地，當〈a，b〉＝eq\f(π,2)時，a⊥b.2．空間向量的數量積定義已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規定：零向量與任何向量的數量積都為0.性質①a⊥b?a·b＝0②a·a＝a2＝|a|2運算律①(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R.②a·b＝b·a(交換律)．③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律).3．空間向量夾角的計算求兩個向量的夾角：利用公式＝求，進而確定．4．空間向量數量積的計算求空間向量數量積的步驟：(1)將各向量分解成已知模和夾角的向量的組合形式．(2)利用向量的運算律將數量積展開，轉化為已知模和夾角的向量的數量積．(3)代入求解．考點1計算空間向量數量積【例1.1】（23-24高二上·天津靜海·階段練習）已知向量a和b的夾角為120°，且a=2，b=5，則(2aA．12 B．8+13 C．4 【例1.2】（23-24高二上·山東威海·階段練習）在正四面體P?ABC中，棱長為2，且E是棱AB中點，則PE?BC的值為（A．?1 B．1 C．3 D．7【變式1.1】（23-24高二上·廣東河源·期末）如圖，在正三棱錐P?ABC中，高PO=6，AB=33，點E,F分別為PB,PC的中點，則OE?OFA．634 B．638 C．214【變式1.2】（2024·江西贛州·二模）已知球O內切于正四棱錐P?ABCD，PA=AB=2，EF是球O的一條直徑，點Q為正四棱錐表面上的點，則QE?QF的取值范圍為（A．[0,2] B．[4?23,2] C．[0,4?3考點2計算空間向量的夾角【例2.1】（23-24高二上·山東煙臺·期中）已知空間向量a，b，c滿足a=2，b=3，c=7且a+b+A．30° B．60° C．120° D．150°【例2.2】（23-24高二·全國·課后作業）已知空間向量a+b+c=A．12 B．13 C．?1【變式2.1】（23-24高二下·江蘇連云港·期中）已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AAA．23 B．?23 C．3【變式2.2】（23-24高二上·北京順義·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD=AA

A．?33 B．63 C．?考點3由空間向量的數量積求模【例3.1】（23-24高二上·新疆和田·期中）已知a、b、c均為單位向量，a,b=b,c=A．4 B．2 C．2 D．3【例3.2】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）已知ABCD?A1B1C1D1是平行六面體，AB=AD=AAA．25 B．20 C．5 D．【變式3.1】（23-24高二上·天津濱海新·期中）在平行六面體ABCD?A1B1C1DA．12 B．23 C．6 D．【變式3.2】（23-24高二上·安徽·階段練習）在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，A．6 B．26 C．3 D．考點4向量垂直的應用【例4.1】（23-24高二上·山西朔州·期末）如圖，PA⊥面ABCD,ABCD為矩形，連接AC、BD、PB、PC、PD，下面各組向量中，數量積不一定為零的是（

）

A．PC與BD B．PB與DAC．PD與AB D．PA與CD【例4.2】（23-24高二上·全國·課后作業）已知a，b是異面直線，a⊥b，e1，e2分別為取自直線a，b上的單位向量，且m=2e1+3eA．?6 B．6 C．3 D．?3【變式4.1】（23-24高二·全國·課后作業）已知空間向量a，b，a=1，b=2，且a?b與a垂直，則aA．60° B．30° C．135°【變式4.2】（23-24高二上·山東·階段練習）如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AB=AD，

A．1 B．12 C．23

二、向量的投影基礎知識1．向量的投影(1)如圖(1)，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖(2))．(2)如圖(3)，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到eq\o(A′B′,\s\up6(———→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(———→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(———→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．考點5求解投影向量【例1.1】（23-24高二上·河北唐山·期中）在空間四邊形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD，則BD在AC上的投影向量為（

）A．12AC B．14AC C．【例1.2】（23-24高二上·遼寧營口·期末）已知a=4，空間向量e為單位向量，a,e=2π3，則空間向量A．2 B．?2 C．?12 【變式1.1】（22-23高二下·安徽合肥·開學考試）已知空間向量a=13，b=5，且a與b夾角的余弦值為?91365，則A．?91313b B．91313【變式1.2】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若空間向量e1，e2滿足e1A．3 B．0 C．?332考點6向量數量積的應用【例2.1】（23-24高二上·江西·期末）已知A，B，C，P為空間內不共線的四點，G為△ABC的重心．(1)證明：PA+(2)若向量PA，PB，PC的模長均為2，且兩兩夾角為π3，求PG【例2.2】（23-24高二上·重慶長壽·期末）如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，底面ABCD是邊長為(1)AC(2)直線BD′與【變式2.1】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知a,b,c是空間中的三個單位向量,且a⊥b,a,(1)求MB;(2)求MB和OA夾角的余弦值.【變式2.2】（2023高二·全國·專題練習）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長是(1)求CD(2)判斷AO與CD

三、課后作業單選題1．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知a=3p?2q,A．1 B．2C．3 D．42．（23-24高二下·四川涼山·期中）對于任意空間向量a，b，c，下列說法正確的是（

）A．若a//b且b//c，則C．若a?b=a?c，且3．（23-24高二下·江蘇·課前預習）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=AB=AA1

A．30° B．45°C．60° D．90°4．（23-24高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，設AB=

A．1 B．?1 C．0 D．25．（23-24高二上·江西萍鄉·期末）已知a，b，c是空間中兩兩垂直的單位向量，則3a+bA．14 B．14 C．2 D．26．（23-24高二上·湖南益陽·期末）已知空間向量a+b+c=A．3 B．13 C．21 D．217．（23-24高二上·甘肅隴南·期末）已知a=2i?2j+λk，b=4i?j+5k（A．?1 B．1 C．?2 D．28．（23-24高三下·北京·開學考試）正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，動點M在線段CC1上，動點P在平面A．1,2 B．62,3 C．多選題9．（23-24高二下·江蘇常州·階段練習）在正方體ABCD－A1A．AB．AC．AD．正方體ABCD?A110．（23-24高二上·河北滄州·期末）在棱長為2的正四面體A-BCD中，E，F分別是AD，BC的中點，G是△BCD的重心，則下列結論正確的是（

）A．AB?CD=0C．EF在AB上的投影向量為13AB 填空題11．（23-24高二下·云南保山·開學考試）已知a,b是兩個空間向量，若|a|=2,|b|=2，|12．（23-24高二下·上海·期中）如圖，圓柱O1O2的底面半徑為2，高為5,A,B分別是上、下底面圓周上的兩個點，若O1A⊥O解答題13．（23-24高二下·江蘇·課前預習）已知正四面體OABC的棱長為1，如圖所示.(1)確定向量OA在直線OB上的投影向量，并求OA·OB；(2