/河南省信陽市淮濱縣2023?2024學年高二下冊7月期末考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則下列結論不正確的是（

）A． B． C． D．2．某同學喜愛球類和游泳運動．在暑假期間，該同學上午去打球的概率為．若該同學上午不去打球，則下午一定去游泳；若上午去打球，則下午去游泳的概率為．已知該同學在某天下午去游了泳，則上午打球的概率為（

）A． B． C． D．3．已知定義在上的函數滿足，且，則的解集是（

）A． B． C． D．4．已知關于的不等式成立的一個必要不充分條件是，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．下列函數既是奇函數又在上單調遞增的是（

）A． B．C． D．6．等差數列前項和為，則（

）A．44 B．48 C．52 D．567．雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程為（

）A． B． C． D．8．已知分別是函數的零點，則（

）A． B． C．3 D．4二、多選題（本大題共3小題）9．已知是方程的實根，則下列各數為正數的是（

）A． B．C． D．10．如圖所示的空間幾何體是由高度相等的半個圓柱和直三棱柱組合而成，是上的動點.則（

）

A．為的中點時，平面平面B．為的中點時，平面C．存在點，使得三棱錐體積是8D．存在點，使得直線與平面所成的角為11．已知函數的定義域為，且滿足，，當時，，則下列結論正確的是（

）A．為偶函數B．在上單調遞增C．關于點中心對稱D．三、填空題（本大題共3小題）12．某不透明紙箱中共有8個小球，其中2個白球，6個紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個小球，摸出紅球個數為，則．13．已知是函數的零點，則.14．設函數，若且，則的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的內角A，，所對的邊分別為，，，的最大值為.(1)求角；(2)若點在上，滿足，且，，解這個三角形.16．已知函數（）．(1)當時，求函數的最小值；(2)若，求實數的取值范圍．17．某學校準備訂做新的校服，有正裝和運動裝兩種風格可供選擇，為了解學生和家長們的偏好，學校隨機調查了200名學生及每名學生的一位家長，得到以下的列聯表：更喜歡正裝更喜歡運動裝家長12080學生16040(1)根據以上數據，判斷是否有的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異；(2)若從家長中按不同偏好的人數比例用分層隨機抽樣的方法抽取5人進行座談，再從這5人中任選2人，記這2人中更喜歡正裝的家長人數為X，求X的分布列和數學期望．附：．0.10.050.010.0012.7063.8416.63510.82818．已知數列滿足，，數列的前項和為，且．(1)求數列，的通項公式，(2)求數列的前項和為．19．已知點，在雙曲線上，直線.(1)求雙曲線的標準方程；(2)當且時，直線與雙曲線分別交于，兩點，關于軸的對稱點為.證明：直線過定點；(3)當時，直線與雙曲線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸，軸于，兩點.當點運動時，求點的軌跡方程.

答案1．【正確答案】D【分析】根據交集、并集的定義求出、，再根據元素與集合的關系、集合與集合的關系判斷即可.【詳解】因為，，所以，，即，，.故選D.2．【正確答案】C【分析】上午打球為事件A，下午游泳為事件B，利用全概率公式求出，再利用條件概率公式計算即得.【詳解】設上午打球為事件A，下午游泳為事件，則，于是，因此，所以上午打球的概率為.故選C.3．【正確答案】C【分析】構造函數，可判斷在上的單調性，根據單調性即可求解.【詳解】令，，則，所以在單調遞減，因為，所以，時，不等式化為，即，即，所以，所以不等式的解集為.故選C.4．【正確答案】A【分析】由，得，由必要不充分條件可得的取值范圍.【詳解】由，得，因為不等式成立的一個必要不充分條件是，所以.故選A.5．【正確答案】D【分析】根據基本初等函數的性質，并結合奇函數的定義，即可判斷選項.【詳解】根據二次函數和指數函數的性質可知，和不是奇函數，故AB錯誤；的定義域為，且滿足，所以函數是奇函數，當時，，所以函數在先增后減，故C錯誤；的定義域為，且滿足，所以函數是奇函數，并且是增函數，也是增函數，所以在單調遞增，故D正確.故選D.6．【正確答案】C【分析】根據等差數列前n項和公式結合等差數列項的性質計算即可【詳解】.故選C.7．【正確答案】B【分析】根據雙曲線的離心率為，求得，即可得到雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為，即，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選B.【關鍵點撥】本題考查了雙曲線的幾何性質——漸近線方程的求解，根據雙曲線的離心率，得到是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力.8．【正確答案】C【分析】由題意可得函數與直線的交點為，與直線的交點為，而與互為反函數，則由反函數的性質可得和關于直線對稱，從而得，，進而可求得答案.【詳解】由題意可得函數的零點為函數與直線的交點的橫坐標，則兩函數圖象的交點坐標為，，函數的零點為函數與直線的交點的橫坐標，則兩函數圖象的交點坐標為，，因為與互為反函數，其圖象關于直線對稱，直線也關于直線對稱，所以點和關于直線對稱，所以，所以.故選C.9．【正確答案】BC【分析】根據是方程的實根可得，計算判斷各個選項.【詳解】因為是方程的實根，令，當時，，當時，，可得對于A，因為，所以，則，A錯誤；對于B，因為，所以，則，B正確；對于C，因為，所以，C正確；對于D，因為，所以，則，D錯誤；故選BC.10．【正確答案】ABC【分析】利用圓柱性質和等腰直角三角形性質證明平面，結合面面垂直判定定理可判斷A；利用直線平行的傳遞性證明，然后由線面平行判定定理可判斷B；建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用點到平面的距離向量公式求點到平面的距離，然后由棱錐體積公式列方程即可判斷C；求出平面的法向量，根據線面角的向量公式列方程求解可判斷D.【詳解】對于A，由題可知，半圓柱和三棱柱的底面在同一平面內，由圓柱性質可知平面，又平面，所以，因為為的中點，所以，因為，所以，所以，即，又因為是平面內的相交直線，所以平面，又平面，所以平面平面，A正確；對于B，因為為圓柱底面圓的直徑，所以，由上知，，所以，由棱柱性質可知，，所以，因為平面，平面，所以平面，B正確；

對于C，以中點為原點，所在直線為軸，圓柱的旋轉軸為軸，過點垂直于平面的直線為軸建立如圖所在空間直角坐標系，則，因為點在以CD為直徑的半圓上，所以設，則，設為平面的法向量，則，令，得，則點到平面的距離為，易知，為正三角形，所以，所以，令，則，因為，所以，所以，所以，顯然有解，所以存在點（與不重合），使得三棱錐體積是8，C正確；對于D，由上可得，設平面的法向量為，則，令得，若存在點，使得直線與平面所成的角為，則，整理得，因為，所以，即，，此時，點與點重合，無法確定平面，不符合題意，D錯誤.故選ABC.11．【正確答案】ABD【分析】由，結合偶函數定義及性質判斷C，結合條件及偶函數定義判斷A，結合指數函數單調性及周期性判斷B，由條件結合周期性，對稱性求判斷D.【詳解】因為，所以函數為偶函數，所以函數的圖象關于直線對稱，C錯誤；由，可得，由，可得，所以，所以函數為偶函數，A正確；因為當時，，又函數，在上單調遞增，所以函數在上單調遞增，因為，所以函數為周期函數，為函數的一個周期，所以函數在上單調遞增，B正確；因為為函數的一個周期，所以，又，所以，D正確；故選ABD.12．【正確答案】3【分析】根據給定條件，可得服從超幾何分布，再利用超幾何分布的期望公式計算即得.【詳解】依題意，摸出紅球個數服從超幾何分布，，所以.故3.13．【正確答案】1【分析】利用三次導數判斷的單調性，結合可得，然后可得.【詳解】由題可得，記，則，記，則，所以在上單調遞增，又，所以，所以在上單調遞增，又，所以當時，，在上單調遞增，因為，所以在上存在唯一零點，所以.故1.14．【正確答案】【分析】畫出函數的圖象，判斷的范圍，進而可得，然后利用導數研究函數的性質，進而推出的取值范圍．【詳解】函數，若且，如圖畫出函數的大致圖象，由已知條件可知：，，，，由，故在為減區間，，的取值范圍是：．故．15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡函數式，再利用三角函數的性質求A；（2）利用平面向量的基本定理及數量積計算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C.【詳解】（1）由，由題意及三角函數的性質可知：，即，又，∴；（2）

如圖所示，易得，∴(負值舍去)，由余弦定理可得：，∴，顯然：，由勾股定理逆定理可得.綜上.16．【正確答案】(1)；(2).【分析】(1)求導，根據導數判斷函數單調性，進而可得最值；(2)由，可知，可初步確定的取值范圍，再變換主元，根據關于函數單調性可得，再根據(1)可知當時恒成立.【詳解】(1)當時，，，可得，，令，解得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，則函數的最小值為；(2)由題意有，又由函數（）單調遞減，且，可得，下面證明：當時，，由關于的函數（）單調遞減，則有，由(1)有，故有在時恒成立，故若，則實數的取值范圍為．17．【正確答案】(1)有(2)分布列見解析，【分析】（1）計算，與臨界值比較可得結論；（2）利用超幾何分布寫出分布列和期望.【詳解】（1）由題可知：更喜歡正裝更喜歡運動裝總計家長12080200學生16040200總計280120400則，因為，所以有的把握認為學生與家長對校服風格的偏好有差異；（2）座談的家長中更喜歡正裝的人數為，更喜歡運動裝的人數為，由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，則，，，故X的分布列為：X012P所以X的數學期望．18．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）根據構造法可得數列的通項公式，再根據退一相減法可得數列的通項公式；（2）利用錯位相減法可得數列前項和.【詳解】（1），，數列是以為首項，為公差的等差數列，，；，當時，，即，當時，，所以，即，當時，，；（2）由（1）得，，作差可得，.19．【正確答案】(1)；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）將點的坐標代入方程，求出a，b，即可得雙曲線方程；