/廣東省潮州市2023?2024學年高一下冊7月期末數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知i是虛數單位，則復數的虛部為（

）A． B．2i C． D．2．棱長為4的正方體的內切球的體積為（

）A． B． C． D．3．在中，角的對邊分別為，若,,，則等于（

）A．30° B．150° C．60° D．120°4．已知某校高一、高二、高三的學生志愿者人數分別為240,160,160.現采用分層抽樣的方法從中抽取n名同學去某敬老院參加慈善活動，其中高一年級被抽取的人數為9，則n等于（

）A．21 B．24 C．27 D．305．已知某種設備在一年內需要維修的概率為0.2.用計算器產生1～5之間的隨機數，當出現隨機數1時，表示一年內需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設備，所以每3個隨機數為一組，代表3臺設備年內需要維修的情況，現產生20組隨機數如下：412

451

312

533

224

344

151

254

424

142435

414

335

132

123

233

314

232

353

442據此估計一年內這3臺設備都不需要維修的概率為（

）A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.66．正四棱臺中，上底面的邊長為2，下底面ABCD的邊長為4，棱臺的高為1，則該四棱臺的側棱長為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，P是線段BD上一點，若，則實數m的值為（

）A． B． C．2 D．8．已知空間四邊形中，,分別是,的中點，若，，，則與所成的角為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．維生素C又叫抗壞血酸，是種水溶性維生素，是高等靈長類動物與其他少數生物的必需營養素，現從獼猴桃、柚子兩種食物中測得每100克維生素C的含量（單位：mg），得到數據如下.則下列說法正確的是（

）獼猴桃102

104

106

107

113

116

119

121

132

134柚

子109

113

114

116

117

121

121

122

131

132A．每100克柚子維生素C含量的眾數為121B．每100克柚子維生素C含量的75%分位數為122C．每100克獼猴桃維生素C含量的極差高于每100克柚子維生素C含量的極差D．每100克獼猴桃維生素C含量的平均數高于每100克柚子維生素C含量的平均數10．已知是虛數單位，復數在復平面內對應的點在第二象限，則實數的取值可以是（

）A．0 B．1 C．3 D．511．下列命題正確的是（

）A．若向量,滿足，則或B．若向量,滿足，則向量,的夾角為鈍角C．若，，則向量在向量方向上的投影向量為D．設,是同一平面內兩個不共線的向量，若，，則,可作為該平面的一個基底三、填空題（本大題共3小題）12．設為三個隨機事件，其中A與B是互斥事件，B與C互為對立事件，，，則.13．某校為了解全校高中學生五一小長假參加實踐活動的情況，抽查了100名學生，統計他們假期參加實踐活動的時間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示.這100名學生中參加實踐活動時間在4～10小時內的人數為.14．某圓錐的側面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的底面半徑為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，.(1)若，求實數x的值；(2)若，，求向量與的夾角.16．流行性感冒多由病毒引起，據調查，空氣相對濕度過大或過小時，都有利于一些病毒的繁殖和傳播.科學測定，當空氣相對濕度大于65%或小于40%時，病毒繁殖滋生較快，當空氣相對濕度在45%～55%時，病毒死亡較快.現隨機抽取了全國部分城市，獲得了它們的空氣月平均相對濕度共300個數據，整理得到數據分組及頻數分布表，其中為了記錄方便，將空氣相對濕度在a%～b%時記為區間.組號12345678分組頻數23153030751205(1)求上述數據中空氣相對濕度使病毒死亡較快的頻率；(2)從區間的數據中任取兩個數據，求兩個數據都位于內的概率.17．如圖，正方形ABCD與直角梯形ADEF所在平面互相垂直，，，.(1)求證：平面平面；(2)求四面體BAEF的體積.18．某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他們是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為.(1)分別求甲、乙、丙在這一小時內需要照顧的概率；(2)求這一小時內至少有兩位小孩需要照顧的概率.19．如圖，在中，，，，點D在邊BC的延長線上.(1)求的面積；(2)若，，求CE的長.

答案1．【正確答案】C【分析】根據復數的概念直接求解.【詳解】根據復數的概念，復數的虛部為.故選C.2．【正確答案】B【分析】根據正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等可得結果.【詳解】因為棱長為4的正方體的內切球的直徑與正方體的棱長相等，所以直徑，內切球的體積為.故選B.3．【正確答案】D【分析】利用余弦定理，即可求解.【詳解】根據余弦定理，，由于，所以.故選D.4．【正確答案】A【分析】根據分層抽樣的特點列等式可求得的值.【詳解】由題意可得，解得.故選A.5．【正確答案】C【分析】找出代表事件“一年內沒有1臺設備需要維修”的數組，利用古典概型的概率公式可求得結果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年沒有1臺設備需要維修”的數組有：533

224

344

254

424

435

335

233

232

353

442共11組，因此，所求概率為.故選C.6．【正確答案】B【分析】連接，作平面，平面，側棱.【詳解】連接，作平面，平面，，因為為正四棱臺，則在上，因為上底面的邊長為2，下底面的邊長為4，，側棱.故選B.7．【正確答案】A【分析】根據向量線性運算得，再利用三點共線的結論即可得到值.【詳解】根據題意，得，又，因為B，P，D三點共線，所以，即.故選A.8．【正確答案】C【分析】設為的中點，連接，，即可得到與所成的角即為與所成的角，再由銳角三角函數計算可得.【詳解】設為的中點，連接，，又,分別是,的中點，所以,分別為,的中線，所以且，且，所以與所成的角即為與所成的角，又，所以，所以為直角三角形，且，所以，所以，即與所成的角為.故選C.【方法總結】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．9．【正確答案】ABC【分析】由眾數、百分位數的概念可直接判斷AB，由極差、平均數的計算公式可分別判斷CD.【詳解】對于A：每100克柚子維生素C含量的眾數為121，故A正確；對于B：，則每100克柚子維生素C含量的75%分位數為第8個數，為122，故B正確；對于C：每100克獼猴桃維生素C含量的極差為，每100克柚子維生素C含量的極差為，故C正確；對于D：每100克獼猴桃維生素C含量的平均數為，每100克柚子維生素C含量的平均數為，故D錯誤．故選ABC．10．【正確答案】BC【分析】首先根據復數的乘方化簡復數，再根據復數的幾何意義得到不等式組，解得即可.【詳解】因為，所以，則復數在復平面內對應的點為，依題意可得，解得，所以符合題意的有B，C.故選BC.11．【正確答案】CD【分析】對于A，可舉出反例；對于B，利用向量數量積公式即可判斷；對于C，根據投影向量公式進行求解；對于D，先求出以，不共線，從而得到D正確.【詳解】對于A：當非零向量滿足時，，故A錯誤；對于B：當向量，滿足，向量，的夾角為鈍角或反向，故B錯誤；對于C：由，，向量在向量方向上的投影向量為，故C正確；對于D：，是同一平面內兩個不共線的向量，設，則，故，無解，所以，不共線，故，可作為該平面的一個基底，故D正確.故選CD.12．【正確答案】【分析】先利用對立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件的概率公式即可求得的值.【詳解】由與是對立事件，可得由與是互斥事件，可得.13．【正確答案】82【分析】由頻率分布直方圖求出時間在4～10小時內的頻率，再求人數.【詳解】依題意，100名學生中參加實踐活動的時間在4～10小時內的人數為，即這100名學生中參加實踐活動時間在4～10小時內的人數為82.14．【正確答案】【分析】設圓錐的底面半徑為，母線為，根據扇形的面積公式及弧長公式計算可得.【詳解】設圓錐的底面半徑為，母線為，因為圓錐的側面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得（負值已舍去），所以，解得.15．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據平面向量數量積的坐標表示列出方程，解方程即可；（2）根據共線向量的坐標表示列出方程，解得，結合數量積的定義計算即可求解.【詳解】（1）已知，因為，所以，解得；（2）因為，又，所以，解得，所以，所以，因為，所以.16．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）利用樣本在上的頻數除以可得所求頻率；（2）設區間中的兩個數據為，，區間中的三個數據為，，，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；【詳解】（1）由已知，當空氣相對濕度在時，病毒死亡較快，而樣本在上的頻數為，所以所求頻率為；（2）設事件為“從區間的數據中任取兩個數據，兩個數據都位于內”，設區間中的兩個數據為，，區間中的三個數據為，，，因此，從區間的數據中任取兩個數據，包含，，，，，，，，，，共個樣本點，而事件包含，，，共個樣本點，所以.17．【正確答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）先根據面面垂直性質定理證明線面垂直，再根據線面垂直判定定理結合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據三棱錐的體積公式即可求得答案.【詳解】（1）由題意，因為，所以，又平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，則，在正方形中，，又平面平面，則平面，平面,所以平面平面；（2）因為平面，平面平面，，所以平面，又，故，所以.18．【正確答案】(1)，，(2)【分析】（1）設甲、乙、丙三位小孩在這一小時內需要照顧的概率分別是，，，根據已知條件以及事件的相互獨立性列出方程組求解即可；（2）將至少有兩位小孩需要照顧分類，結合互斥事件以及對立事件的概率公式進行求解即可.【詳解】（1）設甲、乙、丙三位小孩在這一小時內需要照顧的概率分別是，，，則由題意得，解得.即甲、乙、丙三位小孩在這一小時內需要照顧的概率分別是，，；（2）設事件A:這一小時內至少有兩位小孩需要照顧，這一小時內恰好有兩位小孩需要照顧的概率為，這一小時內三位小孩都需要照顧的概率為，則，即這一小時內至少有兩位小孩需要照顧的概率.1