解答題滾動練81.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos2A＋eq\f(3,2)＝2cosA.(1)求角A的大小；(2)若a＝1，求△ABC的周長l的取值范圍.解(1)根據(jù)倍角公式cos2x＝2cos2x－1，得2cos2A＋eq\f(1,2)＝2cosA，即4cos2A－4cosA＋1＝0，所以(2cosA－1)2＝0，所以cosA＝eq\f(1,2)，又因為0＜A＜π，所以A＝eq\f(π,3).(2)根據(jù)正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得b＝eq\f(2,\r(3))sinB，c＝eq\f(2,\r(3))sinC，所以l＝1＋b＋c＝1＋eq\f(2,\r(3))(sinB＋sinC)，因為A＝eq\f(π,3)，所以B＋C＝eq\f(2π,3)，所以l＝1＋eq\f(2,\r(3))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinB＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))))＝1＋2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，因為0＜B＜eq\f(2π,3)，所以l∈(2，3].2.第96屆(春季)全國糖酒商品交易會于2017年3月23日至25日在四川舉辦.展館附近一家川菜特色餐廳為了研究參會人數(shù)與本店所需原材料數(shù)量的關(guān)系，在交易會前查閱了最近5次交易會的參會人數(shù)x(萬人)與餐廳所用原材料數(shù)量y(袋)，得到如下數(shù)據(jù)：第一次第二次第三次第四次第五次參會人數(shù)x(萬人)11981012原材料t(袋)2823202529(1)請根據(jù)所給五組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)若該店現(xiàn)有原材料12袋，據(jù)悉本次交易會大約有13萬人參加，為了保證原材料能夠滿足需要，則該店應(yīng)至少再補充原材料多少袋？(參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))(yi－\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－\x\to(x))2)

＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x))解(1)由數(shù)據(jù)，求得eq\x\to(x)＝eq\f(9＋11＋12＋10＋8,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(23＋28＋29＋25＋20,5)＝25，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝1×3＋(－1)×(－2)＋(－2)×(－5)＋0＋2×4＝23，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝12＋(－1)2＋(－2)2＋02＋22＝10，由公式，求得b＝2.3，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝2，y關(guān)于x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝2.3x＋2.(2)由x＝13，得eq\o(y,\s\up6(^))＝31.9，而31.9－12＝19.9≈20，所以該店應(yīng)至少再補充原材料20袋.3.如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝eq\f(1,2)AA1＝a，AB⊥AC，D是棱BB1的中點.(1)證明：平面A1DC⊥平面ADC；(2)求平面A1DC將此三棱柱分成的兩部分的體積之比.(1)證明在三棱柱中，有AA1⊥AC，又因為AB⊥AC，AB∩AA1＝A，所以AC⊥平面ABB1A1，因為A1D?平面ABB1A1，所以AC⊥A1D，因為AB＝AC＝eq\f(1,2)AA1＝a，AB⊥AC，D是棱BB1的中點，所以AD＝A1D＝eq\r(2)a，AA1＝2a，則AD2＋A1D2＝2a2＋2a2＝4a2＝AAeq\o\al(2,1)，所以AD⊥A1D，因為AD∩AC＝A，所以A1D⊥平面ADC.又因為A1D?平面A1DC，所以平面A1DC⊥平面ADC.(2)解平面A1DC將三棱柱分成上、下兩部分，其上面部分幾何體為四棱錐A1－B1C1CD，下面部分幾何體為四棱錐C－ABDA1.在平面A1B1C1中，過點A1作A1E⊥B1C1，垂足為E，則A1E⊥平面B1C1CD，所以A1E是四棱錐A1－B1C1CD的高，在Rt△A1B1C1中，因為A1B1＝A1C1＝a，所以A1E＝eq\f(\r(2),2)a.四邊形B1C1CD為直角梯形，其面積＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B1D＋C1C))·B1C1＝eq\f(3\r(2),2)a2，所以四棱錐A1－B1C1CD的體積·A1E＝eq\f(1,2)a3.因為三棱柱ABC－A1B1C1的體積＝S△ABC·AA1＝eq\f(1,2)a2·2a＝a3，所以下部分幾何體C－ABDA1的體積＝eq\f(1,2)a3，所以兩部分幾何體的體積之比為1∶1.4.(2017·廣東湛江二模)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(alnx＋x－c2，x≥c，,alnx－x－c2，0＜x＜c))(其中a＜0，c＞0).(1)當a＝2c－2時，若f(x)≥eq\f(1,4)對任意x∈(c，＋∞)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象在兩點P(x1，f(x1))，Q(x2，f(x2))處的切線分別為l1，l2，若x1＝eq\r(－\f(a,2))，x2＝c，且l1⊥l2，求實數(shù)c的最小值.解(1)依題意，當x≥c，a＝2c－2時，f′(x)＝eq\f(a,x)＋2(x－c)＝eq\f(2x2－2cx＋a,x)＝eq\f(2x－1\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－1)))),x).∵a＜0，c＞0，且c＝eq\f(a,2)＋1，∴0＜c＜1.當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：x(c，1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘極小值↗∴函數(shù)f(x)在(c，＋∞)上的最小值為f(1)＝(1－c)2＝eq\f(1,4)a2.∴要令f(x)≥eq\f(1,4)恒成立，只需eq\f(1,4)a2≥eq\f(1,4)恒成立，即a≤－1或a≥1(舍去).又∵c＝eq\f(a,2)＋1＞0，∴a＞－2.∴實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－1)).(2)由l1⊥l2可得f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))·f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c))＝－1，而f′(c)＝eq\f(a,c)，∴f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝－eq\f(c,a).當eq\r(－\f(a,2))≥c時，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))－2c\r(－\f(a,2))＋a,\r(－\f(a,2)))＝－2c＝－eq\f(c,a)，即a＝eq\f(1,2)，與a＜0矛盾.當eq\r(－\f(a,2))＜c時，則f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(－\f(a,2))))＝eq\f(－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2c\r(－\f(a,2))＋a,\r(－\f(a,2)))＝－eq\r(－8a)＋2c＝－eq\f(c,a)，∴c＝eq\f(a\r(－8a),2a＋1).∵a＜0，c＞0，∴2a＋1＜0.即a＜－eq\f(1,2)，令eq\r(－8a)＝t，則a＝－eq\f(t2,8)(t＞2)，∴c＝eq\f(－\f(t2,8)·t,－\f(t2,4)＋1)＝eq\f(t3,2t2－8).設(shè)geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＝eq\f(t3,2t2－8)，則g′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t))＝eq\f(2t2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t2－12)),\b\lc\(\rc