拓展專項三隱形圓及最值問題四點共圓問題1從圓的定義構造圓(折疊類問題)2圓中最值問題3四點共圓問題1若平面上A，B，C，D四個點滿足∠ABD＝∠ACD＝90°，則A，B，C，D在以AD的中點E為圓心、EA的長為半徑的圓上，如圖(可證EA＝EB＝EC＝ED)．如圖1，AD，BE，CF為△ABC的三條高，H為三條高線的交點，問：例1(1)圖中有多少組四點共圓？并指出圓心的位置；(圖1)解：圖中有6組四點共圓．①C，D，H，E四點共圓，圓心在CH的中點處；②D，B，F，H四點共圓，圓心在BH的中點處；③A，E，H，F四點共圓，圓心在AH的中點處；④C，B，F，E四點共圓，圓心在BC的中點處；⑤B，A，E，D四點共圓，圓心在AB的中點處；⑥C，D，F，A四點共圓，圓心在AC的中點處．(2)求證：∠ADF＝∠ADE.證明：如答圖1，由B，D，H，F四點共圓，得∠ADF＝∠1.同理，由A，B，D，E四點共圓，得∠ADE＝∠1.∴∠ADF＝∠ADE.(答圖1)如圖2，在正方形ABCD中，E，F為邊AB上的兩個三等分點，點A關于DE的對稱點為A′，AA′的延長線交BC于點G.例2(1)求證：DE∥A′F；證明：如答圖2，設AG與DE的交點為O.∵點A關于DE的對稱點為A′，∴AO＝A′O，AA′⊥DE.∵E，F為邊AB上的兩個三等分點，∴AE＝EF＝BF，∴EO是△AA′F的中位線，∴EO∥A′F，即DE∥A′F.(答圖2)(2)求∠GA′B的大小；解：如答圖2，連接GF，∵AA′⊥DE，四邊形ABCD是正方形，∴∠AOE＝90°＝∠DAE＝∠ABG，AD＝BA，∴∠ADE＋∠DEA＝90°＝∠DEA＋∠EAO，∴∠ADE＝∠EAO，即∠ADE＝∠BAG.在△ADE和△BAG中，

(答圖2)∴△ADE≌△BAG(ASA)，∴AE＝BG，∴BF＝BG，∴∠GFB＝∠FGB＝45°.易知∠FA′G＝90°，又∵∠FBG＝90°，∴點F，B，G，A′四點共圓，∴∠GA′B＝∠GFB＝45°.(3)求證：A′C＝2A′B.證明：設AE＝EF＝BF＝BG＝a，則AD＝BC＝3a，∴CG＝2a.在Rt△ADE中，DE＝

由(2)知△ADE≌△BAG，∴AG＝DE＝

a.∵∠EAO＝∠ADE，∴sin∠EAO＝sin∠ADE，∵∠FA′G＝∠FBG＝90°，∴∠A′FB＋∠A′GB＝180°.又∵∠A′GC＋∠A′GB＝180°，∴∠A′FB＝∠A′GC.從圓的定義構造圓(折疊類問題)2·類型1共端點，等線段模型(定點為圓心，相等距離為半徑)·類型2定點＋定長模型(先確定定點，定點為圓心，動點到定點的距離為半徑)圓的定義：平面內到定點的距離等于定值的所有點構成的集合．構造思路：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧．如圖3，若AB＝OA＝OB＝OC，則∠ACB的度數是________．例330°類型一

共端點，等線段模型(定點為圓心，相等距離為半徑)(圖3)如圖4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值為________．例4類型二

定點＋定長模型(先確定定點，定點為圓心，動點到定點的距離為半徑)(圖4)1.2·類型1求線段長最短·類型2求兩線段和最短(根據圓的對稱性，將線段轉換，再利用兩點之間線段最短求解)圓中最值問題3圓中求最值的方法：在圓中，注意圓的半徑為定值，要圍繞半徑構造模型解題．例5如圖5，在⊙O中，弦AB＝1，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于點D，則CD的最大值為________．類型一

求線段長最短1．線段有一端點在圓上，一端點在弦上(結合半徑，利用垂線段最短直接構造直角三角形求解)(圖5)【點撥】如答圖3，連接OD，設⊙O的半徑為r.∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝

∵OD的長度為定值，∴當OC的值最小時，CD的值最大，而OC⊥AB時，OC的值最小，此時D、B兩點重合，【答案】

(答圖3)例6如圖6，AC是⊙O的弦，AC＝5，點B是⊙O上的一個動點，且∠ABC＝45°，若點M，N分別是AC，BC的中點，則MN的最大值是________．2．兩點都在弦上(轉化成求相關的端點在圓上的線段，如直徑、半徑，再求解)(圖6)例7如圖7，在平面直角坐標系中，已知C(3，4)，以點C為圓心的圓與y軸相切．點A、B在x軸上，且OA＝OB.點P為⊙C上的動點，∠APB＝90°，則AB長度的最大值為________．3．線段兩端點在圓外(尋找隱含條件，如中位線、直角三角形斜邊上的中線等，構造直角三角形或隱形圓解題)(圖7)16類型二

求兩線段和最短(根據