/黑龍江省大慶市2024_2025學年高一下冊第二階段考試數學試卷一、單選題1．下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，，則C．若非零向量與是共線向量，則、、、四點共線D．若，均為非零向量，則2．的內角，，的對邊分別為，，，且，則（

）A． B．C．1 D．3．已知，則與的夾角為（

）A． B． C． D．4．在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，，則（

）A．25 B．5 C．4 D．5．如圖，在中，為中點，在線段上，且，則（

）

A． B．C． D．6．如圖，為了測量河對岸的塔高，某測量隊選取與塔底在同一水平面內的兩個測量基點與．現測量得，米，在點，處測得塔頂的仰角分別為，，則塔高（

）A．15米 B．米C．30米 D．米7．已知的外接圓圓心為，且，則向量在向量上的投影向量為(

)A． B． C． D．8．下列命題正確的是（

）A．若，則存在唯一實數使得B．若，則或C．若平面向量，，兩兩的夾角相等，且，，則D．若非零向量，滿足，則二、多選題9．已知的內角，，的對邊分別為，，，且，，，則下列結論正確的是（

）A．是銳角三角形 B．C．的面積為 D．若為中點，則10．已知的內角，，的對邊分別為，，，則下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則是鈍角三角形C．若，則為等腰三角形D．若，，這樣的三角形有兩解，則的取值范圍為11．已知矩形中，、交于點，，，點是矩形所在平面內的一點，且滿足，．則下列說法正確的是（

）A． B．的最大值是為C．的最小值為 D．的最大值為40三、填空題12．已知中，角，，所對的邊分別為，，，，，．則．13．已知平行四邊形中，A、B、C的坐標分別為，則點D的坐標為．14．在銳角中，內角，，所對的邊分別為，，．且．則的取值范圍是．四、解答題15．設，，向量，，，且，．（1）求；（2）求向量與夾角的余弦值．16．如圖，等腰梯形中，，，．

（1）求；（2）求．17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且．（1）求角B的大小；（2）若，D為邊上的一點，，且______，求的面積．請在下列兩個條件中選擇一個作為條件補充在橫線上，并解決問題．①是的平分線；②D為線段的中點．（注：如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答記分．）18．用向量方法證明：

（1）如圖（i），在中，點，分別是，邊的中點，，分別與交于，兩點，求證：；（2）對于任意的，恒有不等式；（3）如圖（ii），直線與的邊，分別相交于點，．設，，，，求證：．19．“費馬點”是三角形內部與其三個頂點的距離之和最小的點．對于每個給定的三角形，都存在唯一的費馬點，當的三個內角均小于時，使的點即為費馬點．已知中，角，，所對的邊分別為，，，，，點是的費馬點．（1）求；（2）若，求的面積；（3）求周長的取值范圍．

答案1．【正確答案】D【詳解】對于選項A：向量不能比較大小，故A錯誤；對于選項B：例如，滿足，，但不一定共線，故B錯誤；對于選項C：若非零向量與是共線向量，則、、、四點共線或，故C錯誤；對于選項D：根據向量加減的運算法則，可得，故D正確；故選D.2．【正確答案】D【詳解】因為，可設，所以.故選D.3．【正確答案】A【詳解】設與的夾角為，,，由題意可知，，，則，即，故，結合,，解得．故選A．4．【正確答案】B【詳解】已知余弦定理，因為，所以，那么.又因為完全平方公式，可得，將其代入中，就得到.已知，，將其代入可得：，所以.故選B.5．【正確答案】B【詳解】求得關于、的表達式，利用平面向量的減法法則可得出關于、的表達式.【詳解】為的中點，則，，，.故選B.6．【正確答案】C【詳解】在中，因為，可得在中，因為，可得在中，因為由余弦定理得即，可得解得或（舍去），即塔的高度為30米.故選C.7．【正確答案】A【詳解】因為，所以外接圓圓心為的中點，即為外接圓的直徑，如圖，又，所以為等邊三角形，則，故，所以向量在向量上的投影向量為：．故選A．8．【正確答案】D【詳解】對于選項A：例如，不為零向量，滿足，但不存在實數使得，故A錯誤；對于選項B：例如非零向量，，，滿足，故B錯誤；對于選項C：例如向量，，同向，滿足兩兩的夾角相等，可得，故C錯誤；對于選項D：若，則，可得，整理可得，且向量，為非零向量，所以，故D正確.故選D.9．【正確答案】BCD【詳解】對于選項A：因為，則，且，可知為鈍角，所以是鈍角三角形，故A錯誤；對于選項B：因為，且，所以，故B正確；對于選項C：的面積為，故C正確；對于選項D：若為中點，則，可得，所以，故D正確；故選BCD.10．【正確答案】AD【詳解】對于A，因為，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于B，因為，可得，可知為銳角，但是無法判斷角A和角C是否為鈍角，所以無法判斷是否為鈍角三角形，故B錯誤；對于C，因為，所以，即，又，所以，所以或，即或，即為等腰三角形或直角三角形，故C錯誤；對于D，因為三角形有兩解，所以，即，所以的取值范圍為，故D正確.故選AD.11．【正確答案】ACD【詳解】因為四邊形是矩形，是的交點，所以是的中點．根據向量加法的平行四邊形法則可得：，．則．已知，即，所以，故選項A正確．以為坐標原點，分別以所在直線為，軸建立平面直角坐標系．

則，，，．設，則，，．因為，所以，即，．設，則，.（其中）.所以的最大值為，故選項B錯誤．對于C，，，則．由可得．所以．因為，所以．

當時，取得最小值為，故選項C正確．對于D，．因為，所以．當時，取得最大值為，故選項D正確．故選ACD．12．【正確答案】1【詳解】因為三角形內角和為，已知，，所以.由正弦定理可得.已知，，，可得.13．【正確答案】【詳解】設，則，，因為四邊形是平行四邊形，所以，則，解得，，所以.14．【正確答案】【詳解】因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，又因為，則，可得，即，因為為銳角三角形，則，可得，解得，所以的取值范圍是.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）向量，，，且，，可得且，解得，，即，，則，則；（2）因為，，所以，，設向量與夾角為，則，即向量與夾角的余弦值為．16．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）由題意可知：，，則，可得，即，可得，即，則，且，所以.（2）由（1）可得，所以.17．【正確答案】（1）（2）選擇①②，答案均為【詳解】（1）由正弦定理知，，∵，代入上式得，∵，∴，，∵，∴．（2）若選①：由平分得，，∴，即．在中，由余弦定理得，又，∴，聯立得，解得，（舍去），∴．若選②：因為，所以，即，得，在中，由余弦定理得，即，聯立，可得，∴．18．【正確答案】（1）證明見詳解（2）證明見詳解（3）證明見詳解【詳解】（1）因為四邊形為平行四邊形，則，設，因為是的中點，所以，可得，又因為三點共線，可設，即，即，故，相加可得，解得，即，同理可證，可知為的三等分點，所以.（2）構造向量，，為向量、的夾角，因為，且，可得，當且僅當，即、同向共線時取等號，可得，當且