/山東省菏澤魯西新區2024_2025學年高一下冊4月月考數學試卷一、單選題1．下列向量中，與向量共線的一個單位向量是（

）A． B． C． D．2．已知復數，則（

）A．的虛部為 B．C． D．3．定義行列式，已知函數，若在區間上，始終存在兩個不相等的實數，，滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．已知中，角所對的邊分別為，設向量，若，則是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形5．平面向量與向量滿足,且，,則向量與的夾角為A． B． C． D．6．已知，，滿足，，，則點依次是的（

）A．重心，外心，垂心 B．重心，外心，內心C．外心，重心，垂心 D．外心，重心，內心7．已知，則在復平面內對應的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．若，，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知a，，，，則下列說法正確的是（

）A．z的虛部是 B．C． D．z對應的點在第二象限10．下列命題錯誤的有（

）A．若非零向量與平行，則四點共線B．若滿足且與同向，則C．若，則的充要條件是D．若，則存在唯一實數使得11．中，角所對的邊分別為，且，則下列說法正確的是（

）A．B．若，則面積的最大值為C．不可能為銳角三角形D．若為的外心，則三、填空題12．已知，與的夾角為，若向量與的夾角是鈍角，則實數的取值范圍.13．已知平面向量，若，則.14．十七世紀法國數學家、被譽為業余數學家之王的皮埃爾?德?費馬提出的一個著名的幾何問題：“已知一個三角形，求作一點，使其與這個三角形的三個頂點的距離之和最小”，意大利數學家托里拆利給出了解答，當的三個內角均小于時，使得的點即為費馬點；當有一個內角大于或等于時，最大內角的頂點為費馬點.已知，，分別是三個內角，，的對邊，且，若點為的費馬點，，則實數的取值范圍為.四、解答題15．如圖，在直角三角形中，．點分別是線段上的點，滿足．（1）求的取值范圍；（2）是否存在實數，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．16．已知復數為虛數單位.（1）求和；（2）若復數是關于的方程的一個根（其中），求的值.17．三角形中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知，點D是的中點，點E在線段上，且，線段與線段交于點M.（1）求角B的大小;（2）若，求的值；（3）若點G是三角形的重心，求的最小值.18．如圖，在平面四邊形中，．（1）若，求；（2）若，求四邊形的面積．19．在中，內角所對的邊分別為，（1）求角的值;（2）若的面積，且，求；（3）求的值.

答案1．【正確答案】B【詳解】對于A，因為向量的模為，故A錯誤；對于B，因為，且向量的模為，故B正確；對于C，因為向量的模為，故C錯誤；對于D，因為，所以向量與向量不共線，故D錯誤.故選B.2．【正確答案】C【詳解】由已知可得的虛部為，故錯誤；，故錯誤；，故正確；虛部不為0的復數不能比較大小，故錯誤.故選C.3．【正確答案】C【詳解】由題中所給定義可知，，當時，，所以，所以，當時，，，所以，解得；當時，，，，所以，解得，綜上，a的取值范圍是．故選C.4．【正確答案】A【詳解】在中，因為，且，所以，由正弦定理得，所以，即，又，則，則，所以，所以該三角形為等腰三角形.故選A5．【正確答案】C【詳解】，則又，解得設向量與的夾角為，則，即解得，，故選6．【正確答案】C【詳解】依題意，由得，到的三個頂點的距離相等，所以為外心；設的中點為，則由得，所以為重心；由得，所以，同理可得，所以為垂心．故選C7．【正確答案】D【詳解】由，可得，所以復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第四象限．故選D．8．【正確答案】A【詳解】因為，，且，所以，當且僅當，，，即，時等號成立，所以的最大值為．故選A.9．【正確答案】BC【詳解】由復數相等可得解得所以，對于A，的虛部是2，故A錯誤；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，對應的點在虛軸上，故D錯誤.故選BC10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，若非零向量與平行，則四點可能共線，也可能是，此時不共線，A錯誤；對于B，由于向量是既有大小又有方向的量，故向量是不能比較大小的，B錯誤；對于C，由于，則，故可得，反之也成立，C正確；對于D，若，則不存在實數使得，D錯誤.故選ABD.11．【正確答案】BD【詳解】對A，因為，由正弦定理可得，即，即，且，所以，故A錯誤；對B，因為，則，由余弦定理可得，即，當且僅當時，等號成立，則面積的最大值為，故B正確；對C，當時，為銳角三角形，故C錯誤；

對D，如圖，作交于點，則點為的中點，且，設，則，所以，故D正確；故選BD12．【正確答案】【詳解】依題意可得，若向量與的夾角是鈍角，可得且向量與不反向，所以，解得；當兩向量方向相反時可得，且，解得；因此可得或；即實數的取值范圍為.13．【正確答案】1【詳解】因為，所以，因為，所以，解得．14．【正確答案】【詳解】因為，則，整理得，由正弦定理得，則，且，則，所以，可得，又由點為的費馬點，可得,設，由，可得，由余弦定理得，，因為，即，可得，且，則，當且僅當時，即時，等號成立，又因為，則，解得或（舍去），所以實數的取值范圍為.15．【正確答案】（1）（2）存在，【詳解】（1）在直角三角形中，．∴，，，∵，∴．（2）令，得或（舍）.∴存在實數，使得．16．【正確答案】（1），（2）【詳解】（1）（2）復數是關于的方程的一個根，，，解得17．【正確答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理可得，整理得，故，因為，所以.（2）如圖，由題意可得，因為三點共線，故可設，又因三點共線，故，所以，故.（3）因為所以，因為，所以，于是，兩邊平方化簡得：，當且僅當時取等號，所以，即.所以的最小值為.18．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）連接，在中，，且，，所以．在中，由余弦定理得，所以．所以（2）在中，由余弦定