專題2.10勾股定理與最短路徑問題的七大類型

【類型1平面圖形上的“捷徑”問題】

（2023春?安徽合肥?八年級期末）

1.課間休息時，嘉嘉從教室窗戶向外看，看到行人為了從A處快速到達(dá)圖書館B處,

直接從長方形草地中穿過.為保護(hù)草地，嘉嘉想在A處立一個標(biāo)牌：“少走■米，踏之

何忍？”如圖，若AB=17米，BC=8米，則標(biāo)牌上“■”處的數(shù)字是（）

A.6B.8C.10D.11

（2023春?湖南岳陽?八年級統(tǒng)考期末）

2.如圖，學(xué)校有一塊長方形花鋪，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出

了一條“路”.他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草..

（2023春?八年級單元測試）

3.如圖，有兩條互相垂直的街道a和b,a路上有一小商店A,b路上有一批發(fā)部B.小

商店主人每次進(jìn)貨都沿著A—O—B路線到達(dá)B處，然后原路返回.已A,B兩處距十字

路口0的距離分別為600米、800米，如果小商店主人重新選一條最近的路線，那

么往返一趟最多可比原來少走_(dá)______米.

（2023春?廣東深圳?八年級深圳市高級中學(xué)校考期末）

4.某小區(qū)在社區(qū)管理人員及社區(qū)居民的共同努力之下，在臨街的拐角建造了一塊綠化

地（陰影部分）.如圖，已知A8=9m,BC=12m,CD=17m,AO=8m.技術(shù)人員

通過測量確定了=90°.

（1）小區(qū)內(nèi)部分居民每天必須從點A經(jīng)過點B再到點C位置，為了方便居民出入，技術(shù)

人員打算在綠地中開辟一條從點A直通點C的小路，請問如果方案落實施工完成，居

民從點A到點C將少走多少路程？

（2）這片綠地的面積是多少？

（2023春?安徽合肥?八年級統(tǒng)考期末）

5.如圖，某學(xué)校進(jìn)大門是一直用通道（ATBTC）,為方便學(xué)生進(jìn)入教學(xué)樓，學(xué)校打開

了操場綠色通道（A-C）進(jìn)行分流，學(xué)生可以走“捷徑AC”直接到達(dá)教學(xué)樓，若AB=80

米,BC=60米,則走“捷徑AC”可以少走多少米?

教

學(xué)

樓

C

B通道A大門

【類型2平面圖形上的“飲水”問題】

（2023春?八年級課時練習(xí)）

6.如圖，已知直線〃"且a與b之間的距離為4,點A到直線a的距離為2,點B

到直線b的距離為3,AB2=\2O,試在直線a上找一點M,在直線b上找一點N,滿

足M7V1〃且AM+MN+M5的長度和最短，則此時4M+/V8=（）

/\

________、-Z*

b

A.6B.8C.10D.1

（2023春?河南許昌?八年級校考期末）

7.如圖，一個牧童在小河正南方向4km的A處牧馬，若牧童從A點向南繼續(xù)前行7km

到達(dá)點C.則此時牧童的家位于C點正東方向8km的8處.牧童打算先把在A點吃草

的馬牽到小河邊飲水后再回家，請問他應(yīng)該如何選擇行走路徑才能使所走的路程最短？

最短路程是多少？請先在圖上作出最短路徑，再進(jìn)行計算.

北

4*東

二二二二二二二二二二二二二二二小河

4;

I

（2023春?湖北武漢?八年級校考階段練習(xí)）

8.如圖，兩個村莊A、B在河CD的同側(cè),A、B兩村到河的距離分別為AC=I千米，=3

千米，a>=3千米.現(xiàn)要在河邊C。上建造一水廠，向A、B兩村送自來水（水管需直接

到A、B村）.

B

A

Hi-------匚D

(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短(請你在圖中設(shè)計出水廠的位置)：

(2)如果鋪設(shè)水管的工程費用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費用最節(jié)省，請求出最

節(jié)省的鋪設(shè)水管的費用為多少元？

(2023春?江蘇南京?八年級南京第五初中校考階段練習(xí))

9.“數(shù)學(xué)建模”：

(1)模型一一小馬喝水問題：直線MN表示一條河流的岸，在河流同側(cè)有A、B兩地，小

馬從A地出發(fā)到B地，中間要在河邊飲水一次，請在圖①中用三角板作出使小馬行走

最短路程的飲水點P的位置.(保留作圖痕跡)

(2)運用——和最小問題：如圖②，長方形ABCD,E是BC的中點，AB=4,BC=4>/3,

P是對角線BD上的一個動點，求PC+PE的最小值.

(2023春?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期中)

10.如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC、BD,已

知AC=200米，BD=600米，且67)=600米.

B

A

CD

(1)牧童從A處放牛牽到河邊飲水后再回家，試問在何處飲水，所走路程最短？

(2)所走最短路程是多少？

(2023春?全國?八年級專題練習(xí))

11.在進(jìn)行13.4《最短路徑問題》的學(xué)習(xí)時，同學(xué)們從一句唐詩“白日登山望烽火，黃

昏飲馬傍交河”(唐?李欣《古從軍行》出發(fā)，一起研究了蘊含在其中的數(shù)學(xué)問題一一“將

軍飲馬”問題.同學(xué)們先研究了最特殊的情況，再利用所學(xué)的軸對稱知識，將復(fù)雜問題

轉(zhuǎn)化為簡單問題，找到了問題的答案，并進(jìn)行了證明.下列圖形分別說明了以上研究過

程.

圖1圖2圖3圖4

證明過程如下：如圖4,在直線1上另取任一點C',連結(jié)

???點B,ZT關(guān)于直線1對稱，點C,C'在1上，

:.CB=,C'B=,：.AC+CB=AC+CB,=.

,

在△ACB'中，：AH'<AC+CB',..AC+CI3<AC+CBt即AC+C8最小.

（1）請將證明過程補充完整.（直接填在橫線上）

（2）課堂小結(jié)時，小明所在的小組同學(xué)提出，如圖1,A,B是直線1同旁的兩個定點.在

直線1上是否存在一點P,使的值最大呢？請你類比“將軍飲馬”問題的探究過程,

先說明如何確定點P的位置，再證明你的結(jié)論是正確的.

（3）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，M（2,2）,N（4,-l）,MN=jm,P是坐標(biāo)軸上的點，則

|?〃一耽|的最大值為,此時P點坐標(biāo)為.（直接寫答案）

（2023春?浙江?八年級專題練習(xí)）

12.直線】同旁有兩個定點A、B,在直線1上存在點P,使得P4+P4的值最小.解法:

如圖1,作點A關(guān)于直線1的對稱點連接48,則48與直線1的交點即為P,且

必+總的最小值為A'B.

請利用上述模型解決卜.列問題：

圖1圖2圖3

（1）幾何應(yīng)用：如圖2,乂5。中，ZC=90\AC=BC=2,E是人8的中點，P是8c邊

上的一動點，則尸A+尸E的最小值為二

（2）幾何拓展：如圖3,A48C中，AC=2,Z4=30\若在A8、AC上各取一點M、

N使CM+MW的值最小，畫出圖形，求最小值并簡要說明理由.

【類型3圓柱上的最短路徑問題】

（2023春?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期末）

13.如圖，已知圓柱底面的周長為6,圓柱高為3,在圓柱的側(cè)面上，過點A和點C嵌

有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長最小為（）

C.3岳D.672

（2023春?河南新鄉(xiāng)?八年級新鄉(xiāng)市第十中學(xué)校考期末）

14.如圖，小冰想用一條彩帶纏繞圓柱4圈，正好從A點繞到正上方的B點，已知知

圓柱底面周長是3m,高為16m,則所需彩帶最短是（）m.

A.8B.5C.20D.10

（2023春?湖北省直轄縣級單位?八年級統(tǒng)考期末）

15.如圖，已知圓柱高為8cm,底面圓的周長為12cm,螞蟻在圓柱側(cè)面爬行，從點A爬

到點8處吃食，那么它爬行的最短路程是（）

A.20cmB.15cmC.12cmD.10cm

（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）

16.如圖，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U形池可以看作是一個長方體去

掉一個“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為12m的半圓，其邊緣

48=CD=2（）m（邊緣的寬度忽略不計），點石在CD上，CE=4m.一滑板愛好者從A點

滑到E點，則他滑行的最短距離為（）

C.20mD.18m

（2023春?四川樂山?八年級統(tǒng)考期末）

17.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,在容器內(nèi)壁離

容器底部1.5cm的點8處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，位于離容器上沿

1.5cm的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15cm,則該圓柱底面周長為（）

A

A.9cmB.12cmC.18cmD.24cm

（2023春?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末）

18.如圖，透明的圓柱形玻璃容器（容器厚度忽略不計）的高為12cm,在容器內(nèi)壁離容

器底部4cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿4cm

的點A處，若螞蟻吃到蜂蜜需爬行的最短路徑為15cm,則該圓柱底面周長為（）cm.

【類型4圓錐上的最短路徑問題】

（2023?內(nèi)蒙古赤峰?統(tǒng)考期末）

19.某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽.如圖，這個圓錐的底面圓盾長

為20ncm,母線A4長為30cm,為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要

粘貼一條從點A處開始，繞側(cè)面一周又回到點A的彩帶（彩帶寬度忽略不計），這條彩

帶的最短長度是（）

A.30cmB.3O>/3cmC.60cmD.2（）兀cm

（2023春?全國?八年級專題練習(xí)）

20.如圖，底面半徑為1,母線長為4的圓錐，一只小螞蟻若從A點出發(fā)，繞側(cè)面一周

（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級統(tǒng)考期末）

21.已知圓錐的底面半徑是40〃，母線長為12cm,C為母線尸月的中點，螞蟻在圓錐側(cè)

面上從A爬到C的最短距離是

（2023春?河北保定?八年級統(tǒng)考期末）

22.如圖，小明用半徑為20,圓心角為夕的扇形，圍成了一個底面半徑r為5的圓堆.

（1）扇形的圓心角。為；

（2）一只蜘蛛從圓錐底面圓周上一點A出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點A的最

短路程是.

【類型5止方體上的最短路徑問題】

（2023春?北京西城?八年級北京十四中校考期中）

23.如圖，正方體的校長為2cm,點8為一條楂的中點.螞蟻在正方體側(cè)面爬行，從點

A爬到點8的最短路程是（）

A.4cmB.5cmC.ViOcmD.yfllcm

（2023春?廣東茂名?八年級茂名市第一中學(xué)校考期中）

24.固定在地面上的一個正方體木塊（如圖①），其棱長為4cm,沿其相鄰三個面的對

角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的

表面從點A爬行到點B的最短路程為（）

圖①圖②

A.2（也+而B.4x/2+4C.472+2D.2#+4

（2023春?湖南湘西?八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）

25.如右圖，一只螞蟻從棱長為4cm的正方體紙箱的A點沿紙箱外表面爬到B點，那

么它的最短路線的長是cm.

（2023春?安徽合肥?八年級校考期中）

26.如圖，正方體盒子的棱長為2月，。為AE的中點，現(xiàn)有一只螞蟻位于點C處，它

想沿正方體的表面爬行到點0處獲取食物，則螞蟻需爬行的最短路程為

（2023春?遼寧沈陽?八年級統(tǒng)考期中）

27.一只螞蟻沿著邊長為3的止方體表血從點A出發(fā)，按照如圖所示經(jīng)過3個血爬到

點B,則它運動的最短路徑長為.

（2023春?河南鄭州?八年級校考期中）

28.棱長分別為5cm,3cm兩個正方體如圖放置，點P在片片上，且石/=；￡片，一只

螞蟻如果要沿著長方體的表面從點A爬到點P,需要爬行的最短距離是.

【類型6長方體上的最短路徑問題】

（2023春?四川成都?八年級統(tǒng)考期末）

29.一個長方體盒子的長、寬、高分別為15cm,1Ocm,20cm，點B離點C的距離是5cm,

一只螞蟻想從盒底的點A沿盒的表面爬到點8,螞蚊爬行的最短路程是（）

A.10\/5cmB.25cmC.5V29cmD.55/37cm

（2023春?貴州貴陽?八年級校考期中）

30.已知長方體的長、寬、高分別為2cm,4cm,8cm,一只螞蟻沿著長方體表面從點

A爬到點B,則需要爬行的最短距離為（）

B

A

A.2cmB.4cmC.10cmD.14cm

（2023春?山西大同?八年級統(tǒng)考期中）

31.如圖，在墻角處放著一個長方體木柜（木柜與墻面和地面均沒有縫腺），一只螞蟻

從柜角A處沿著木柜表面爬到柜角G處.若48=3,BC=4,CC,=5,則螞蟻爬行的

最短路程是（）

A.>/74B.3710C.屈D.12

（2023春?全國?八年級期末）

32.如圖是一個長方體盒子，其長、寬、高分別為4,2,9,用一根細(xì)線繞側(cè)面綁在點

A,B處，不計線頭，細(xì)線的最短長度為（）

A.12B.15C.18D.21

（2023春?遼寧丹東?八年級統(tǒng)考期末）

33.如圖所示的長方體，AB=BC=2,皿）=1,點F是DE的中點，一只螞蟻從點A

（2015秋?江蘇蘇州?八年級統(tǒng)考期末）

34.現(xiàn)有一個長、寬、高分別為5dm、4dm、3dm的無蓋長方體木箱（如

g|,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm）.

（1）求線段BG的長；

（2）現(xiàn)在箱外的點A處有一只蜘蛛，箱內(nèi)的點C處有一只小蟲正在午睡，保持不動.請

你為蜘蛛設(shè)計一種捕蟲方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小蟲.（木板的厚度忽略

不計）

【類型7臺階上的最短路徑問題】

（2023春?廣東肇慶?八年級統(tǒng)考期末）

35.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為9、3和和8是這個臺階

兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到8點去吃可口的食物.則這只螞蟻沿著臺階面

爬行的最短路程是（）

A.18B.15C.12D.8

（2023春?陜西渭南?八年級統(tǒng)考期中）

36.如圖是一個二級臺階，每一級臺階的長、寬、高分別為60cm、30cm、10cm.A和

A是這個臺階兩個相對的端點，在A點有一只螞蟻，想到4點去受食，那么它爬行的最

短路程是,

（2023春?四川宜賓?八年級統(tǒng)考期末）

37.如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、

B是這個臺階上兩個相對的頂點，A點處有一只螞蟻，它想到B點去吃可口的食物，則

螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是米.

B

0.3

A4

（2023春?遼寧沈陽?八年級校考期中）

38.如圖，臺階階梯每一層高20cm,寬40cm,長50cm.一只螞蟻從A點爬到B點,

（2023春?山東淄博?八年級統(tǒng)考期末）

39.如圖所示是一個三級臺階，它的每一級的長、寬、高分別等于5cm、3cm、lcm,

A和B是這兩個臺階的兩個相對的端點，則一只螞蟻從點A出發(fā)經(jīng)過臺階爬到點B的

最短路線有多長？

（2023春?重慶九龍坡?八年級統(tǒng)考期末）

40.如圖有一個四級臺階，它的每一級的長、寬分別為18分米、4分米.

(1)如果給臺階表面8個矩形區(qū)域鋪上定制紅毯，需要定制紅毯的面積為432平方分米，

那么每一級臺階的高為多少分米？

(2)A和C是這個臺階上兩個相對的端點，臺階角落點A處有一只螞蟻，想到臺階頂端

點C處去吃美味的食物，則螞蟻沿著臺階面從點A爬行到點C的最短路程為多少分米？

參考答案：

1.A

【分析】利用勾股定理求出AC,即可得出答案.

【詳解】在RSABC中，由勾股定理得，

AC=JAB2-BC2=V172-82=15(米)，

.-.AC+BC-AB=15+8-l7=6(米)，

故選：A.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

2.4

【分析】先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長，與直角邊進(jìn)行比較即可求得結(jié)果.

【詳解】解：依據(jù)題意可得：ZC=90°,AC=3m,AC=4m,

AB=y]AC2+BC2=V32+42=5m，

「?少走了3+4-5=2m,

2步為1米，

.?.2x2=4,

故答案為：4.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理，會用勾股定理解決問題是解

題的關(guān)鍵.

3.800

【分析】連接AB,由勾股定理解得AB=1000,根據(jù)兩點之間線段最短，可知最近的路線是

從A直接到B,往返一趟需要走2000米，再求出原來走的路線往返一趟需要走2800米，

據(jù)此求出差即可解答.

【詳解】解：連接AB.

vzAOB=90°,

???AB=y]c)A2+OR2=JaxF=1000,

根據(jù)兩點之間線段最短，可知最近的路線是從A直接到B,往返一趟需要走1000x2=2000

米，

原來走的路線往返一趟需要走2x(600+800)=2800X,

最近路線比原來路線少走2800-2000=800米，

故答案為：800.

【點睛】本題主:要考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求出AB的長是解題的關(guān)鍵.

4.(l)6m

(2)114m?

【分析】(1)連接AC,利用勾股定理求出8。=衍隹=跖茂=l5(m),問題隨之得解;

(2)先利用勾股定理逆定理證明△4DC是直角三角形，ZZMC=90°,再根據(jù)三角形的面

積公式即可求解.

【詳解】(1)如圖，連接AC,

vZABC=90°,AB=9m,8c=12m,

:.AC=JAB2+BC2=\I92+122=15(m),

A3+8C—AC=9+12-l5=6(m),

答：居民從點A到點C將少走6m路程.

(2)???C/)=17m,AO=8m.AC=\5m,

AD2+AC2=DC2,

???△ADC是直角三角形，/DAC=90。,

22

?.SinM.ke.=-2ADAC=-2x8xl5=60(m),S.r?=-2>4fi?C=-2x9xl2=54(m),

??如邊吃曲=60+54=114(mb，

答：這片綠地的面積是114m2.

【點睛】本題主要考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解答本題的關(guān)鍵.

5.走“捷徑AC”可以少走40米.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC即可解決問題.

【詳解】解：在Rt_A4C中，

???A8=80米，8C=60米，

：.AC=+BC2=7?02+602=1(X)(米)，

/lB+BC-AC=60+8()-KX)=40(米)，

答：走“捷徑AC”可以少走40米.

【點睛】本題考查了勾股定理.，解題的關(guān)鍵是理解題意求出AC的長.

6.B

【分析】MN表示直線a與直線b之間的距離，是定值，只要滿足4M+A?的值最小即可.過

A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A,使得/W=4,連接48,與直線b交于點N,過

N作直線a的垂線，交直線a于點M,連接AM,過點B作4E_LA4'，交射線4A于點E,

則A4為所求，最后利用勾股定理可求得其值.

【詳解】解：如圖，過A作直線a的垂線，并在此垂線上取點A,使得A4'=4,連接48,

與直線b交于點N,過N作直線a的垂線，交直線a于點M,連接AM,過點B作

交射線A4'于點E,

MNLa,

A4'//MN,

又???A4'=M/V=4,

四邊形A4WM是平行四邊形，

.?.AM=AN,

由于AM+MN+N8要最小，且MN固定為4,

.?.4M+N8最小，

由兩點之間線段最短，可知AM+NB的最小值為4B，

vAE=2+3+4=9,AB:=120>

BE1=AB--AEr=39

-A,E=AE-AA,=9-4=5,

A'B=〃'爐+BE?=8，

.?.AV/+N8的最小值為8.

故答案為：B.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用、平行線之間的距離，平行四邊形的判定和性質(zhì)、

兩點間距離最短等知識點，解答本題的關(guān)鍵是找到點M、點N的位置.

7.畫圖見詳解，牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時，所走的路程最短，最短路程

為17km.

【分析】作圖：先取A點關(guān)于河岸1的對稱點D,連接BD交直線1于點F,連接AF,即最

短路徑為：BD.根據(jù)題意可知：牧童的行走路線為AF+BF,根據(jù)A點關(guān)于河岸1的對稱點

為D,可得AF+BF=DF+BF,即根據(jù)兩點之間線段最短，可知當(dāng)點D、F、B三點共線時，

路徑最短，且最短路徑為BD,根據(jù)題意可得AD=4X2=8(km),DC=AD+AC=8+7=15(km),

利用勾股定理即可求出BD.

【詳解】作圖：先取A點關(guān)于河岸】的對?稱點D,連接BD交直線1于點F,連接AF,即最

短路徑為：BD,如圖：

北

?由東

二侖二二二二二二二二二二二小河

???牧童先由A點去河邊，再從河邊直接返阿I家中,

???牧童的行走路線為AF+BF,

???A點關(guān)于河岸1的對稱點為D,

???AF=DF,

.-.AF+BF=DF+BF,

即根據(jù)兩點之間線段最短，可知當(dāng)點D、F、B三點共線時，路徑最短，且最短路徑為BD,

,:A點距離河岸1為4km,

■,.AD=4x2=8(km),

,?"AC=7km,

.-.DC=AD+AC=8+7=15(km),

根據(jù)題意可知"=90。，BC=8km,

??.△BCD是直角三角形，

???BD=4DC?+BC2=V152+82=17，

答：牧童選擇如圖所示的AF+FB的回家路線時，所走的路程最短，最短路程為17km.

【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確作出圖形，找到最短回家路線是解答本題的

關(guān)鍵.

8.(1)見解析

(2)100000元

【分析】(1)屬于“將軍飲馬”類型的題目，作點A的對稱點E,連接出3與C。的交點的位

置就是修建水廠的位置

(2)先作出直角三角形，再利用勾股定理即可

【詳解】(1)如圖，作點A的對稱點E,連接8E,交CD于點P,點P的位置就是修建水廠

的位置

B

/

/

A/

E\

(2)如圖，過點E,作的垂線EF,交8。的延長線于點F

世

/

/

A/

坪------叩

AP+PB-FP+PB-FB/EF?+BF。=^32+42-5

20000x5=100000元

答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費用為100000元

【點睛】本題考查“將軍飲馬”類型題的作圖，以及勾股定理.，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵

9.(1)見解析

(2)PE+PC的最小值為6.

【分析】(1)作點A關(guān)于直線I的對稱點A.連接A'8交直線1于點P,則點P即為所求點；

(2)作E關(guān)于BD的對稱點E',連接C￡,則PE+PC的最小值即為C￡的長；由已知可求

aEBE'是等邊三角形;過點E'作￡G工BC,再利用含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定

理即可求解.

【詳解】（1）解：如圖所示，點P即為所求點；

B

A/

*/

:/

Izz:

--------1------￡------------------

M：/PN

A'

（2）解：作E關(guān)于BD的對稱點E',連接

則PE+PC的最小值即為C￡的長；

vAB=CD=4,BC=45/3?

.?.BD="+卜&）=8,

.-.BD=2CD,E為BC的中點，

.-.ZDBC=3O°,

：.乙EBE=600,

???▲反￡是等邊三角形，且EB=8￡=EE=26，

過點￡'作￡G?LBC,

.,.BG=GE=>/3,

在RtaEBG中,￡G=J（2>/5）2_（J5）2=3,

在RtsCEG中，CG=46?75=3G，

:CE=43百）+32=6；

.?.PE+PC的最小值為6.

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對稱求最短距高，含30度的直角三角形的性質(zhì)以及勾股

定理；通過軸對稱將PE+PC轉(zhuǎn)化為線段CE，的長是解（2）題的關(guān)鍵.

10.（1）見解析;

⑵1000米.

【分析】（1）根據(jù)題意作點A關(guān)于直線8的對稱點A，連接4明交CO于點￡,所以在點E

所在的位置飲水，所走的路程最短

（2）最短路程可構(gòu)建直角「角形求得

【詳解】（1）如圖所示：作點A關(guān)于直線。。的對稱點4,連接人田交C。于點七，

二?牧童.從A處放牛牽到河邊飲水后再I可家，在點￡處飲水，所走路程最短，最短路程是

AE+BE=AiE+BE=AyB

在。。上任取一點〃（不與點E重合），連接AE,AF,A產(chǎn)，BF,

如果在點產(chǎn)處飲水，則走的路程為+B/=AF+8產(chǎn)

小

下面證明在點E處飲水，所走路程最短

VAE=AiE,AF^A{F

：.AE+BE=A,E+BE=AiB,AF+BF=A^F+BF

在△A18尸中，AyF+BF>A]B,

二.在點E所在的位置飲水，所走的路程最短

（2）如圖：過點。作4。的延長線力4,使得。&=CA=200米，則-A%是直角三角形,

，區(qū)

*/J

..........而…

vAA,=CD=600,BA2=BD+DA.=600+200=800

AE+BE=A,B=+=V6002+8002=1000

??.所走最短路程是1000米

【點睛】本題考查了最短路徑問題，這類問題的解答依據(jù)是：兩點之間線段最短，可以利用

對稱性的特點，通過等線代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點之間的距離

11.⑴CB：CB：A9

（2）連結(jié)84并延長，交直線1于點P,點P即為所求；證明見解析

（3）6或至；（6,0）或（0,5）

【分析】(1)根據(jù)點B,9關(guān)于直線1對稱，可得CB=CB「CB=CB,從而得到

AC+CB=AC+CB,=ABf,在△AC2中，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；

(2)連結(jié)胡并延長，交直線I于點P,點P即為所求，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可；

(3)分兩種情況討論：當(dāng)時點P在x軸上時，作點N關(guān)于x軸的對稱點N',連接

延長MAT交x軸于點P,則點P即為所求；此時的最大值為W；當(dāng)點P在y軸

上時，連接MN,延長NM交y軸于點〃，則點P'即為所求，此時歸例-吶|的最大值為

MN=J萬，即可求解.

【詳解】(1)解：證明：如圖4,在直線1上另取任一點C',連結(jié)Acici/rc,

???點B,8'關(guān)于直線1對稱，點C,C在1上，

:.CB=CB',CB=CB\

..AC+CB=AC+CB>=AB'.

在△AC7T中，???WvAC+C9,

..AC+CB<AC+CB,,即4C+CB最小.

故答案為；CB\CB\AB,

(2)解：連結(jié)班并延長，交直線1于點P,點P即為所求.

證明：如圖，在直線1上任取任一點〃，連結(jié)AP'IP',

在△A3a中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得：BP-APvAB,

而當(dāng)點B,A,P共線時，BP-AP=AB，

所以此時叱—AP最大；

(3)解：如圖，當(dāng)時點P在x軸上時，作點N關(guān)于x軸的對稱點N',連接MN，,

延長交x軸于點P,則點P即為所求；此時伊河-取|的最大值為MN、

.??點M（4,l）,

???wjr+z?=5

設(shè)直線MN'的解析式為y=H+b,

把點M(2,2),M(4,l)代入得:

2k+b=2右,A」

必解得：2,

b=3

直線仞V,的解析式為y=《x+3,

當(dāng))，=()時，工=6,

此時點P的坐標(biāo)為(6,0)；

當(dāng)點P在y軸上時，連接MN,延長NM交y軸于點P,則點P即為所求，此時

的最大值為MN=>/萬,

設(shè)直線MN的解析式為ax+m,

把點M(2,2),N(4,—1)代入得:

3

2a+tn=2a=——

-1,解得：2,

m=5

3

??.直線MN的解析式為y=-；x+5,

當(dāng)x=0時，y=5,

此時點P'的坐標(biāo)為(0,5),

綜上所述，的最大值為石或相，此時P點坐標(biāo)為(6,0)或(0,5).

故答案為:逐或如；(6,0)或(0,5)

【點睛】本題主要考查了?次函數(shù)的實際，最短距離問題，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系,

熟練掌握一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，勾股定理，三角形的三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

12.(l)Vio

(2)圖見解析,G

【分析】(1)作點A關(guān)于的對稱點A,連接WE交AC于P,此時PA+依的值最小.連

接雨，先根據(jù)勾股定理求出府的長，再判斷出乙4'84=9()。，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；

(2)作點C關(guān)于直線A8的對稱點C,作C'N_LAC于N交A8于M,連接AC,此時

CM+M0最小為CW的長，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和含30。角的直角三角形的性質(zhì)解答即

可.

【詳解】(1)解：如圖2所示，作點A關(guān)于BC的對稱點4,連接A上交BC于P,此時小+0￡

的值最小.連接歷V,

由勾股定理得，BA，=BA=dBC?+AC?=62+方=2公，

???￡是A3的中點，

：.BE=-BA=4I,

2

???ZC=90\AC=BC=2,

.-.Z4zBC=ZABC=45°,

，Z47M=90。

，PA+夕￡的最小值為A!E=+BE?=小互=M.

故答案為：Vio；

(2)解：如圖3,作點C關(guān)于直線A8的對?稱點C,作C7V_LAC于N交A8FM,連接47,

則C4=C4=2,NCNB=NC48=30°,

.“CAC為等邊三角形，

：S=30。,

.-.AN=-CA=\

2f

:CM+MN的最小值為CN=V22-]2=6.

【點睛】本題考查的是軸對稱--最短路線問題、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、含30。

角的直角三角形的性質(zhì)、垂線段最短，解這類問題的關(guān)鍵是將所給問題抽象或轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模

型，把兩條線段的和轉(zhuǎn)化為一條線段.

13.D

【分析】要求絲線的長，需將圓柱的側(cè)面展開，進(jìn)而根據(jù)“兩點之間線段最短”得出結(jié)果，在

求線段長時，根據(jù)勾股定理計算即可.

【詳解】解：如圖，把圓柱的側(cè)面展開，得到矩形，則這圈金屬絲的周長最小為2AC的長

度.

.圓柱底面的周長為6,圓柱高為3,

/.AB=3,BC=BC'=3,

/.AC2=32+32=18,

AC=342，

，這圈金屬絲的周長最小為2AC=6夜.

故選：D.

【點睛】本題考杳了平面展開-最短路徑問題，圓柱的側(cè)面展開圖是一個矩形，此矩形的長

等于圓柱底面周長，高等于圓柱的高，本題就是把圓柱的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，

用勾股定理解決.

14.C

【分析】把曲面展開變?yōu)槠矫妫脙牲c間線段最短，再根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：如圖，線段A3即為所需彩帶最短，

由圖可知AC=3x4=12,BC=16,

???由勾股定理得，

AB=^AC2+BC2=V122+162=20?

故選c.

【點睛】本題考查兩點間線段最短和勾股定理在生活中的應(yīng)用.將曲面問題變?yōu)槠矫鎲栴}是

解答本題的關(guān)鍵.

15.D

【分析】根據(jù)題意，將立體幾何展開，可知最短路徑A8,根據(jù)勾股定理即可求解.

【詳解】解：根據(jù)題意，圓柱的側(cè)面展開圖如圖所示，

EB八

ApC

???從點A爬到點B處吃食，爬行的最短路程是AB的長，

?：AC=DE=\2,BF=8,點艮/分別是O￡AC的中點，

??.在Rt.AB/中，AB7A盧+8=依+8?=10,

???最短路程是10cm,

故選：D.

【點睛】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，立體幾何圖形的展開圖，勾股定理的綜合運用，掌握

以上知識的是解題的關(guān)鍵.

16.C

【分析】滑行的距離最短，即是沿著AE的線段滑行，我們可將半圓展開為矩形來研究，展

開后，A、。、七三點構(gòu)成直角三角形，AE為斜邊，4）和OE為直角邊，寫出AO和OE

的長，根據(jù)題意，由勾股定理即可得出AE的距離.

【詳解】解：將半圓面展開可得：

AO=12米，力石=。。一。石二44一。石=16米，

在RlAADE中，

AE=A/122+162=20（米）.

即滑行的最短距離為20米.

故選；C.

【點睛】本題考查了平面展開-最短路徑問題，U型池的側(cè)面展開圖是?個矩形，此矩形的

寬是半圓的弧長，矩形的長等于AB=a）=20m.本題就是把U型池的側(cè)面展開成矩形，“化

曲面為平面”，用勾股定理解決.

17.C

【分析】將容器側(cè)面展開，建立A關(guān)于上邊沿的對稱點N,根據(jù)兩點之間線段最短可知44

的長度為最短路徑15cm,構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理可以求出底面周長的一半，乘以

2即為所求.

【詳解】解：如下圖，

將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點4,連接A8,則48即為最短距離,

根據(jù)題意，可知A'8=15cm,Z?D=12-1.5+AE=12cm.

???AD=JAE-BD2=V152-122=9?

所以底面圓的周長為9x2=18cm.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了平面展開一一最短路徑問題以及勾股定理等知識，將圖形展開，利

用軸對稱的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

18.C

【分析】將容器側(cè)面展開.建立A關(guān)于上邊沿的對稱點A，，根據(jù)兩點之間線段最短可知AB

的長度為最短路徑15,構(gòu)造直角三角形，依據(jù)勾股定理可以求出底面周長的一半，乘以2

即為所求.

【詳解】解：如圖，

將容器側(cè)面展開，作A關(guān)于EF的對稱點4,連接?3：則48即為最短距離,

根據(jù)題意：48=15。〃，BO=12-4+A石=12。〃，

A'D=ylAB1-BD1=7152-122=9-

所以底面圓的周長為9x2=18cm.

故選：C.

【點睛】本題考查了平面展開一一最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質(zhì)和勾股定

理進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵.

19.B

【分析】根據(jù)圓錐的底面圓周長求得半徑為10,根據(jù)母線長求得展開后的扇形的圓心理為

120°,進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：?.?這個圓錐的底面圓周長為20兀cm,

:.27tr=20n

解得：r=10

/nrx30“

v-----=20兀

180

解得：77=120

???側(cè)面展開圖的圓心角為120。

如圖所示，AC即為所求，過點8作8O_LAC,

vZABC=120o,BA=BC,則NR4c=30°

vAB=30,則80=15

???AO=15G，AC=2AD=30y/3,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)，勾股定理解直角三角形，求得側(cè)面展

開圖的圓心角為120。解題的關(guān)鍵.

20.4&

【分析】先把圓錐的側(cè)面展開圖，再根據(jù)兩點之間，線段最短確定最短路線，求出展開圖扇

形圓心角，最后根據(jù)勾股定理求解線段長即可.

【詳解】解：由題意知，底面圓的直徑為2,

故底面周長等于24，

設(shè)圓錐的側(cè)面展開后的扇形圓心角為〃。，

根據(jù)底面周長等于展開后扇形的弧長得，2乃=黑，

解得“=90。，

所以展開圖中圓心角為90°,

根據(jù)勾股定理求得到點A的最短的路線長是：曲了=4及.

故答案為：4加

【點睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開圖，最短路問題，弧長公式和勾股定理等知識點，擁有

良好的空間想象能力是解題的關(guān)鍵.

21.6拒an

【分析】根據(jù)題意可得圓錐的底面周長是肺即可得圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120。,

展開圓錐的側(cè)面，構(gòu)造直角三角形即可得.

【詳解】解：圓錐的底面周長是：2%x4=8/r(a”)，

H7Tx12

則8萬=

180

〃=120。，

即圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是120。,

如圖所示，

?:PA=PB,

??../A8是等邊三角形,

???C是P8的中點，

：.AC上PB,

AZACB=90°,

,?,在圓錐側(cè)面展開圖中AP=\2cni,PC=6cm,

.?.在圓錐側(cè)面展開圖中：AC=dAP2-PC?=>/122-62=6后卜7〃）,

???螞蟻在圓錐側(cè)面上從A爬到C的最短距離是：6辰m,

故答案為：6y/3cm.

【點睛】本題考查了最短距離問題，解題的關(guān)鍵是掌握圓錐的計算，勾股定理，將最短距離

轉(zhuǎn)化為平面上兩點間的距離并正確計算.

22.90°##90度20人

【分析】（1）由于圓錐的底面圓周長就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式即可求出

側(cè)面展開圖的圓心角；

（2）根據(jù)兩點之間線段最短，把圓錐的側(cè)面展開成平面圖形，構(gòu)造直角三角形根據(jù)勾股定

理即可求得.

【詳解】解（1）圓錐的底面周長=2兀乂5=1071,

6/71x20

=10幾，

180

解得。-90。；

故答案為90。.

（2）圓錐的側(cè)面展開圖如圖所示，構(gòu)造RJAOA',根據(jù)兩點之間線段最短得最短路程為:

7202+202=20>/2.

故答案為20夜.

【點睛】本題考查/最短路徑問題，根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之

間的最短路徑，在平面圖形上構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

23.D

【分析】正方體側(cè)面展開為長方形，確定螞蟻的起點和終點，根據(jù)兩點之間線段最短，利用

勾股定理求解即可得.

【詳解】解：如圖，由題意可知，AC=2x2=4（cm）,?C=lx2=l（cm）,

則螞蟻爬行的最短路程為A8=V42+l2=V17（cm）,

故選：D.

【點睛】本題考查了平面展開最短路徑問題、勾股定理，掌握兩點之間線段最短，找到起點

和終點是解題的關(guān)鍵.

24.A

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，將圖②展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：如圖，正方體上表面的對角線為CD，將圖②展開，連接交C。于點E,

線段A8的長度即為螞蟻爬行的最短路程，

由題意可知：AACD為等邊三角形,△C3Q為等腰直角三角形，

vAC=AD,BC=BD,AB=AB,

....AC的ADB（SSS）,

:2CBE=/DBE,

.-.ABICD,

???正方體的校長為4cm,

：?BC—BD—4cm，AC=AD=CD=+4'=4\/2，

在中，BE=CE=gcD=2O,

在RtACEA中，AE=yjAC2-CE2=25/6?

.?.A8=A￡+CE=2拉+2石=2（0+標(biāo)）；

故選A.

【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵，是將立體圖像展開，根據(jù)兩點之間線段最

短，確定最短路徑.

25.4x/5

【分析】把此正方體的一面展開，然后在平面內(nèi)，利用勾股定理求點A和點B間的線段長，

即可得到螞蟻爬行的最短距離.在直角三角形中，一條直角邊長等于棱長，另一條直角邊長

等于兩條楂長，利用勾股定理可求得.

【詳解】解：?.?展開后如下圖所示，則有AC=8cm,8c=4cm,

由勾股定理得：Alf=BC2+AC2=42+82=80（cm2）,

???AB=4>/5cm.

故答案為46

B

1

力匕---------------------------c

【點睛】本題考杳了平面展開-最短路徑問題，將平面展開利用勾股定理求解是解決“怎樣爬

行最近”這類問題的關(guān)鍵.

26.國

【分析】根據(jù)兩點之間線段最短，用勾股定理求解.

【詳解】解：如圖，連接co,則線段CO的長就是螞蟻需爬行的最短路程,

、

、、

X、、

、、

、

、、

、、

、、

、、

、、

、、

、、

?.?正方體的棱長為2石，。為人石的中點,

.?.NQ=9。。，。。=26，CQ=30

由勾股定理得CO=JQC2+*="3可+(2可二屈，

答：螞蟻需爬行的最短路程為國，

故答案為：＞/39.

【點睛】本題考查兩點之間線段最短，靈活運用所學(xué)知識是關(guān)鍵.

27.3屈

【分析】把正方體展開在平面上，應(yīng)用勾股定理即可求解.

【詳解】解：把正方體展開在平面上，如圖所示，此時AB最短，

」.4B=3屈，

故答案為：3ji6.

【點睛】本題考查路徑最短問題，解題的關(guān)鍵是把正方體展開在平面上,應(yīng)用勾股定理求解.

28.4石cm.

【分析】求出兩種展開圖叢的值，比較即可判斷;

【詳解】解：如圖，有兩種展開方法：

方法一：P4="(5+3)2+(3+1/=456cm,

故需要爬行的最短距離是46cm.

故答案為：4\/5cm.

【點睛】本題考查平面展開-最短問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中

考常考題型.

29.B

【分析】將長方形的盒子按不同方式展開，得到不同的矩形，求出不同矩形的對角線，最短

者即為正確答案.

【詳解】解：①只要把長方體的右側(cè)表面剪開與前面這個側(cè)面所在的平面形成個長方形，

如圖I：

長方體的寬為10cm,高為20cm點4離點C的距離是5cm,

.?.4O=CO+8C=10+5=15cm,AZ)=20cm,

二?在直角三角形AH/)中，根據(jù)勾股定理得：

AB=>JBD'+AD2=V152+202=25;

②只要把長方體的右側(cè)表面剪開與上面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖2：

A

圖2

長方體的寬為10cm,高為20cm點8離點C的距離是5cm,

/.=CD+=20+5=25cm,AD=\Ocm,

???在直角三角形A8Q中，根據(jù)勾股定理得：

AI3=yll3D2+AD2=A/252+102=55/29cm；

③只要把長方體的上表面剪開與后面這個側(cè)面所在的平面形成一個長方形，如圖3：

長方體的寬為10cm,高為20cm點B離點。的距離是5cm,

AC=CD+AD=20+10=30cm,

在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理得：

AB=yjAC2+BC2=>/302+52=5>/37cm，

25<5>/29<5x/37.

.-?螞蟻爬行的最短距離是25cm.

故選：B.

【點睛】本題考查的是平面展開-最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長方體的側(cè)面展開圖，解答

時要進(jìn)行分類討論，利用勾股定理是解題的關(guān)鍵.

30.C

【分析】將長方體按不同方式展開，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求出A4長即可得到答

案.

【詳解】解：如圖1所示將長方體展開，則48=1(2+4)2+82=