第二篇必考的重點專題

專題17函數的圖像與性質

1.(2022上海)已知反比例函數產乙(后0),且在各自象限內，y隨x的增大而增大，則下列點可能在這

x

個函數圖象上的為()

A.(2,3)B.(-2,3)C.(3,0)I).(-3,0)

【答案】B

【解析】根據反比例函數性質求出K0,再根據后“，逐項判定即可.

???反比例函數尸七(七0),且在各自象限內，1y隨工的增大而增大，，

x

A=x><0,

A、???2x3>0,???點(2,3)不可能在這個函數圖象上，故此選項不符合題意：

B、???-2X3V0,???點(2,3)可能在這個函數圖象上，故此選項符合題意；

C、???3x0=(),.?.點(2,3)不可能在這個函數圖象上，故此選項不符合題意；

D、???-3x0=0,???點(2,3)不可能在這個函數圖象上，故此選項不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題考查反比例函數的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，熟練掌握反比例函數的性質是解

題的關鍵.

2.(2022陜西)己知二次函數產爐-*3的自變量xi,xi,后對應的函數值分別為yi,”,>,3.S-l<xi<0,

1<V2<2,其>3時，yi,”，第三者之間的大小關系是()

A.另<》2V%B.必<>?i<丹C./<X<%D.為<<%

【答案】B

【解析】先求得拋物線的對稱軸為直線x=l,拋物線與x軸的交點坐標，畫出草圖，利用數形結合，即可求

解.

)=f-2x-3=(x-1)2-4,

，對稱軸為直線下1,

令尸0,則(X-1)2-4=0,

解得Xl=-1,X2=3,

???拋物線與入軸的交點坐標為(-1,0),(3,0),

二次函數y=x2-2A-3的圖象如圖：

由圖象知％<y<%?

【點睛】本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征：二次函數圖象上點的坐標滿足其解析式.利用數形結

合解題是關鍵.

3.（2022黑龍江綏化）已知二次函數），=62+汝+。的部分函數圖象如圖所示，則一次函數

），=6+6與反比例函數），=*上至上在同一平面直角坐標系中的圖象大致是（）

x

ABCD

【答案】B

【解析］根據卜=如？+公+C的函數圖象可知，4>0,即可確定一次函數圖象，根據x=2

時，y=4aA-2b+c>0,即可判斷反比例函數圖象，即可求解.

???二次函數丁二"2+歷:+c的圖象開II向上，則4>0,與X軸存在2個交點，則/22—4ac>0,

???一次函數y=〃x+6-4。。圖象經過一、二、三象限，

???二次函數），+/?x+c的圖象，當x=2時，y=4tz+2/?+c>0,

???反比例函數3=4"'圖象經過一、三象限

x

結合選項，一次函數），二水十。2-4以^與反比例函數），=4"+2"+'在同一平|虹直角坐標示中的圖象大致

x

是B選項

故選B

【點睛】本題考查了一次函數，二次函數，反比例函數的圖象與性質，掌握二次函數的圖象與系數的關系

是解題的關鍵.

4.（2022北京）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從4地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間大

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間代

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x,其中，變量y與變量x之間的函數關系可以

利用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②@D.①②③

【答案】A

【解析】由圖象可知：當y最大的，x為0,當k最大時，y為零，即「隨x的增大而減小，再結合題意即可

判定.

①汽車從A地勻速行駛到8地，汽車的剩余路程,，隨行駛時間x的增大而減小，故①可以利用該圖象表示;

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y隨放水時間工的增大而減小，故②可以利用該圖

象表示；

③設繩子的長為心一邊長x,則另一邊長為

2

(1\I

則矩形的面枳為：y——x,x=-x2+—Lx,

故③不可以利用該圖象表示：

故可以利用該圖象表示的有：①②，

故選：A.

【點睛】本題考查了函數圖象與函數的關系，采用數形結合的思想是解決本題的關鍵.

5.（2022貴州貴陽）在同?平面直角坐標系中，?次函數），=+6與），=儂+〃（。＜加＜0）的圖象如圖

y-ax=b[x=-3

②方程組｛的解為｛C

y-mx=nIj=2

③方程"iv+〃=0的解為x=2；

④當x=0時，cix+b=-\.

其中結論正確的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由函數圖象經過的象限可判斷①，由兩個一次函數的交點坐標可判斷②，由一次函數與坐標軸的

交點坐標可判斷③④，從而可得答案.

【詳解】解：由一次函數的圖象過一，二，四象限，y的值隨著X值的增大而減?。?/p>

故①不符合題意；

y=ax-\-bY=—3y-ax=bx=-3

由圖象可得方程組的解為，c,即方程組《的解為，

y-nvc+ny=2y-nix-n)'=2

故②符合題意;

由一次函數），=〃a+〃的圖象過（2,0）,則方程〃a+〃=0的解為x=2；故③符合題意；

由一次函數y=+〃的圖象過（0,-2）,則當x=0時，cix+b=-2.故④不符合題意；

綜上：符合題意有②③，故選B

【點睛】本題考查的是一次函數的性質，一次函數的圖象的交點坐標與二元一次方程組的解，一次函數與

坐標軸的交點問題，熟練的運用數形結合的方法解題是關鍵.

6.（2022浙江臺州）吳老師家、公園、學校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學校的距離分別為400加,

600〃?.他從家出發勻速步行8min到公園后，停留4min,然后勻速步行6min到學校，設吳老師離公園的距

離為y（單位：〃?），所用時間為單位：min）,則下列表示y與x之間函數關系的圖象中，正選的是（）

【答案】C

【解析】根據吳老師離公園的距離以及所用時間可判斷.

吳老師家出發勻速步行8min到公園，表示從（0,400）運動到（8,0）；

在公園，停留4min,然后勻速步吁6min到學校，表示從（12,0）運動到（18,600）；故選:C.

【點睛】考查函數的圖象，解題的關鍵是正確理解函數圖象表示的意義，明白各個過程對應的函數圖象.

7.（2022安徽）在同一平面直角坐標系中，一次函數〉=公+/與），=的圖像可能是（）

【答案】D

【解析】分為4>0和兩種情況，利用一次函數圖像的性質進行判斷即可.

當上=1時，兩個函數的函數值：y=a+a2,即兩個圖像都過點（1,4+。），故選項A、C不符合題意;

當4>0時，a2>0>一次函數）-av+a?經過一、二、三象限，一次函數y-+4經過一、二、三象

限，都與）'軸正半軸有交點，故選項B不符合題意;

當。<0時，〃2>0,一次函數》=依+42經過一、二、四象限，與），軸正半軸有交點，一次函數），=。2工+〃

經過一、三、四象限，與》軸負半軸有交點，故選項D符合題意.故選：D.

【點睛】本題主要考查了?次函數的圖像性質.理解和掌握它的性質是解題的關鍵.

一次函數y=依+/，的圖像有四種情況：

①當上>0,。時，函數）,=辰"）的圖像經過第?、二、三象限；

②當%>0,〃<（）時，函數），=履+人的圖像經過第一、三、四象限；

③當攵<0,>0時，函數），=去+〃的圖像經過第一、二、四象限；

④當Z<0,。<。時，函數），="+》的圖像經過第二、三、四象限.

8.（2022湖南株洲）已知二次函數），=?/+"一式。/0）,其中〃>0、c>0,則該函數的圖象可能

【解析】【分析】利用排除法，由-c<0得出拋物線與1y軸交點應該在y軸的負半軸上，排除A選項和

D選項，根據B選項和C選項中對稱軸x=W>0,得出avO,拋物線開口向下，排除B選項，即可得出

2a

C為正確答案.

對于二次函數）=公2+/zr-c（awO）,

令“0,則尸一。，

???拋物線與y軸的交點坐標為（0,-。）

Vc>0.

-c<0?

???拋物線與y軸的交點應該在y軸的負半軸上,

???可以排除A選項和D選項；

B選項和C選項中，拋物線的對稱軸x=—>0,

2a

???/?>O,

a<0,

???拋物線開口向下，可以排除B選項.

【點睛】本題考查二次函數的圖象的性質，熟練掌握二次函數圖象與三個系數之間的關系是解題的關健.

9.（2022遼寧盤錦）點八（不）。做/，％）在一次函數）'=（。-2?+1的圖像上，當天>超時，）、<為，

則”的取值范圍是_______.

【答案】"V2

【解析】根據一次函數的性質，建立不等式計算即可.

???當司>“2時，必<>2，

"2<0,

：.a<2,

故答案為：?<2.

【點睛4本題考查了一次函數的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵.

10.（2022天津）若一次函數），=x+b（h是常數）的圖象經過第一、二、三象限，則人的值可以是

（寫出一個即可）.

??

【答案】1（答案不唯一，滿足力>0即可）

【解析】根據一次函數經過第一、二、三象限，可得人>0,進而即可求解.

???一次函數y=8是常數）的圖象經過第一、二、三象限，

Ah>0

故答案為：1答案不唯一，滿足〃>0即可）

【點睛】本題考查了已知一次函數經過的象限求參數的值，掌握一次函數圖象的性質是解題的關鍵.

11.（2022湖北孝感）如圖1,在△ABC中，NK=36°,動點P從點A出發，沿折線B-C勻速運動至

點C停止.若點P的運動速度為lcm/s,設點P的運動時間為，（s）,AP的長度為y（cm）,y與/的函數

圖象如圖2所示.當AP恰好平分NB4C時，，的值為

【答案】2年+2

【解析】【分析】根據函數圖像可得AB=4=BC,作NRAC的平分線A。，N4=36°可得/8=NDAC=36°,

進而得到△ADCABAC,由用似求出8。的長即可.

【詳解】根據函數圖像可得A8=4,AB+BC=S,

/.BC=AB=4t

??N6=36°,

工ZBC4=ZBAC=72°，

作N84C的平分線AD,

：,ZBAD=ZDAC=360=NB,

：,AD=BD,ZBCA=ZDAC=7T，

：.AD=BD=CD,

設AO=6￡）=C￡>=x,

VZDAC=Z?=36°,

???AADCABAC,

?AC_DC

'6C-AC'

.x_4-x

??二x'

解得：%=—2+2石，馬二一2—2石（舍去），

:.AD=BD=CD=2加一2,

AB+BD

此時f==2>/5+2(s),

故答案為：2石+2.

【點睛】此題考查了圖形與函數圖象間關系、相似三角形的判定與性質、解一元二次方程，關鍵是證明

/\ADCABAC.

12.(2022山東濱州)若點A(l,y),B(—2,3，2),C(—3,%)都在反比例函數>的圖象上，則)),必，%的

x

大小關系為.

【答案】yi<yz<y\

【解析】將點A(1,y\),B(-2,>,2),C(-3,戶)分別代入反比例函數y=一,并求得yi、”、a的值,

x

然后再來比較它們的大小.

詳解】根據題意，得

當x=\時，yi=Y=6,

當x=-2時，>'2=—=-3,

當x=-3時，y3=—=-2：

—3

V-3<-2<6,

.*.><2<3J3<>'l；

故答案是"Vy3Vy\.

【點睛】本題考查了反比例函數圖象與性質，此題比較簡單，解答此題的關健是熟知反比例函數的性質及

平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，屬較簡單題目.

13.(2022四川成都)隨著“公園城市”建設的不斷推進，成都繞城綠道化身成為這座城市的一個超大型

“體育場”，綠道騎行成為市民的一種低碳生活新風尚.甲、乙兩人相約同時從綠道某地出發同向騎行，

甲騎行的速度是18km/h，乙騎行的路程s(km)與騎行的時間/(h)之間的關系如圖所示.

（1）直接寫出當0KfK0.2和，>0.2時，$與，之間的函數表達式:

（2）何時乙騎行在甲的前面？

【答案】（1）當0WZW0.2時，s=i5t；當f>0.2時，s=20t-\（2）0.5小時后

【解析】【分析】（1）根據函數圖象，待定系數法求解析式即可求解;

（2）根據乙的路程大于甲的路程即可求解.

【詳解】（1）由函數圖像可知.設0<f<0.2時,s=打，將（0.2,3）代入，得上=；=言=15,則$二15人

當/>0.2時，設s=〃+b,將(023),(0.5,9)代入得

02+b=3

0.5t+b=9

t=20

解得《

b=-\

二s—20z—1

（2）由（1）可知0W/W0.2時，乙騎行的速度為15km/h,而甲的速度為18km/h,則甲在乙前面，

當1>0.2時，乙騎行的速度為20km/h,甲的速度為18km/h,

設J小時后，乙騎行在甲的前面

WiJ18x<20x-l

解得/>0.5

答：0.5小時后乙騎行在甲的前面

【點睛】本題考查了一次函數的應用，??元?次不等式的應用，立即題意是解題的關鍵.

14.（2022湖北孝感）為增強民眾生活幸福感，市政府大力推在老舊小區改造工程.和諧小區新建一小型

活動廣場，計劃在360m2的綠化帶上種植甲乙兩種花卉.市場調查發現：甲種花卉種植費用），（元/n?）與

（1）當XW100時，求），與x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（2）當甲種花卉種植面積不少于30m2,且乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍時.

①如何分配甲乙兩種花卉的種植面積才能使種植的總費用W(元)最少？最少是多少元？

②受投入資金的限制，種植總費用不超過6000元，請直接寫出甲種花卉種植面枳x的取值范闈.

\y=30(0<x<40)

【答案】(1)|1.、；

y=--X+40(40<A<100)

(2)①甲種花卉種植90"R乙種花卉種植270m2時，種植的總費用卬最少，最少為5625元；

②XW40或60WxW360.

【解析】【分析】(1)根據函數圖像分兩種情況，xW40時)，為常數，40WxW100時)，為一次函數，設

出函數解析式，將兩端點值代入求出解析式，將兩種情況匯總即可；

(2)①設甲種花卉種植面積為〃L則乙種花卉種植面積為360-/〃，根據乙的面積不低于甲的3倍可求出

30W/〃W90,利用總費用等于兩種花卉費用之和，將加分不同范圍進行討論列出總費用代數式，根據〃？

的范圍解出最小值進行比較即可；

②將x按圖像分3種范圍分別計算總費用的取值范圍即可.

【詳解】⑴

由圖像可知，當甲種花卉種植面積x近40加時，費用)，保持不變，為30(元加2),

所以此區間的函數關系式為：y=30(0<x<40),

當甲種花卉種植面積40這x這100〃尸時，函數圖像為直線，

設函數關系式：)，=丘+"40WxWl()0),

*.*當A-40時，)，=30,當x=100時,)=15,代入函數關系式得：

(30=40k+b

[15=100k+Z/

解得：A=-1,/7=40,

4

???y=-3+40(40WxWl()0)

???當xWlOO時，y與x的函數美系式應為：

y=30(0<x<40)

：

“y=-lx+40(40<x<100)

(2)①設甲種花卉種植面積為〃力"N30),則乙種花卉種植面積為360-/〃,

???乙種花卉種植面積不低于甲種花卉種植面積的3倍，

360-ni23/7/，

解得：加W90,

，加的范圍為：30W"?W90

當30於，〃W40時，w=3()m+15(36()-m)=15〃?+54(X),

此時當m最小時，卬最小，

即當加=30時，w有最小值15x30+5400=5850(元)，

當40v，〃W90時，w=+40)+15(360-m)=--(/?-50)2+6025,

44

此時當上90時,離對稱軸〃『50最遠，卬最小，

即當〃?二90時，w有最小值-4(90-50)2+6025=5625(元)

4

V5625<5850,

工當〃?=90時種植的總費用w最少，為5625元，此時乙種花卉種植面積為360-〃?=270,

故甲種花卉種植90〃汽乙種花卉種植270"尸時，種植的總費用卬最少，最少為5625元.

②由以上解析可知：

(1)當xV40時，總費用=15x-5400W15x40+5400=60001元)，

(2)當40<xWl00時，總費用=」。-50)2+6025,

4

令-4-5O)2+6025W6000,

4

解得：或x，60,

XV40<x^l00,

/.60W3W100

(3)當l(X)<xW360時，總費用=360x15=5400(元),

綜上，在xV40、60WxW100印100<xW360時種植總費用不會超過6000元，

所以甲種花卉種植面積x的取值范圍為：工440或60W不忘360.

【點睛4本題考查一次函數的實際應用，解題關鍵是根據函數圖像獲取自變量的取值范圍，仔細分情況討

論，掌握二次函數在自變量取值范圍內求最小值的方法.

15.如圖二次函數y=辦？+/?x+c(aH0)的圖象如圖，給出下列四個結論：①4ac-Z?2<0；②勸+2。<0；

③〃2(的+/?)?〃；④(a+c)2</.其中正確結論的個數有()個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】利用二次函數圖象的相美知識與函數系數的聯系，需要根據圖形，逐一判斷.

???拋物線和x軸有兩個交點，

/.b2-4ac>0,

.?Jac-bVO,???①正確；

:把x=l代入拋物線得：y=a+b+c<0,

A2a+2b+2c<0,

b

?------=—1,

2a

.*.b=2a,

，3b+2cVO,???②正確;

???拋物線的對稱軸是直線x=-l,

/.y=a-b+c的值最大，

即把x=m代入得：y=am'+bm+cWa-b+c,

:.am2+bm^a-b,

即m(am+b)Wa-b,

Vb=2a,

Air(am+b)

，③不正確；

Va+b+c<0,a-b+c>0,

:.(a+c+b)(a+c-b)<0>

則(a+c)2-b2<0,

即(a+c)2Vb2,故④正確；故選：C

【點睛】此題主要考查了二次函數圖象與系數的關系，在解題歸要注意二次函數的系數與其圖象的形狀,

對稱軸，特殊點的關系，也要掌握在圖象上表示?元二次方程a/+bx+c=O的解的方法，同時注意特殊點的

運用.

16.二次函數丁=加與一次函數）=ar+a在同一坐標系中的大致圖象可能是（）

【答案】D

【解析】由一次函數y=or+。可知，一次函數的圖象與x軸交于點（-1,0）,排除A、B；

當a>0時，二次函數開口向上，一次函數經過一、三、四象限，當。<0時，二次函數開口問下，一次函

數經過二、三、四象限，排除C；故選：D.

17.二次函數〉=〃》+以+c（〃也仃是常數，。工0）的自變量x與函數值y的部分對應值如下表:

X???