如皋高中數學競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(3\pi\)D.\(4\pi\)2.若\(a=2\)，\(b=3\)，則\(a+b\)的值為（）A.4B.5C.6D.73.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.1B.2C.3D.44.方程\(x^2-4=0\)的解是（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=\pm2\)D.\(x=4\)5.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，集合\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{3,4\}\)D.\(\{1,4\}\)6.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則公差\(d\)為（）A.1B.2C.3D.47.函數\(y=x^2\)在點\((1,1)\)處的切線斜率是（）A.1B.2C.3D.48.\(\cos60^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)D.19.不等式\(2x-3\gt0\)的解集是（）A.\(x\gt\frac{3}{2}\)B.\(x\lt\frac{3}{2}\)C.\(x\gt-\frac{3}{2}\)D.\(x\lt-\frac{3}{2}\)10.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的長半軸長為（）A.3B.2C.\(\sqrt{5}\)D.\(\sqrt{13}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是基本初等函數（）A.冪函數B.指數函數C.對數函數D.三角函數2.下列說法正確的是（）A.空集是任何集合的子集B.若\(A\subseteqB\)，\(B\subseteqA\)，則\(A=B\)C.集合中的元素具有確定性、互異性、無序性D.有限集的子集個數是有限的3.直線\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的性質有（）A.\(k\gt0\)時，函數單調遞增B.\(k\lt0\)時，函數單調遞減C.\(b\)決定直線與\(y\)軸的交點D.直線一定經過原點4.關于\(y=\cosx\)的說法正確的是（）A.是偶函數B.值域是\([-1,1]\)C.最小正周期是\(2\pi\)D.在\([0,\pi]\)上單調遞增5.以下哪些是等比數列的性質（）A.\(a_n^2=a_{n-1}a_{n+1}\)（\(n\gt1\)）B.若\(m+n=p+q\)，則\(a_ma_n=a_pa_q\)C.公比\(q\)可以為\(0\)D.等比數列所有項都不能為\(0\)6.下列函數中，在定義域內單調遞增的有（）A.\(y=2^x\)B.\(y=\log_2x\)（\(x\gt0\)）C.\(y=x^3\)D.\(y=-x\)7.關于一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)），說法正確的是（）A.判別式\(\Delta=b^2-4ac\)B.當\(\Delta\gt0\)時，方程有兩個不同實根C.當\(\Delta=0\)時，方程有兩個相同實根D.當\(\Delta\lt0\)時，方程無實根8.空間中兩直線的位置關系有（）A.平行B.相交C.異面D.重合9.已知向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，則（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)D.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(x_1y_2-x_2y_1=0\)10.以下哪些是雙曲線的性質（）A.有兩條漸近線B.離心率\(e\gt1\)C.實軸和虛軸長度一定相等D.焦點在\(x\)軸或\(y\)軸上三、判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\frac{1}{x}\)是奇函數。（）2.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）3.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）4.數列\(1,2,4,8,16\)是等比數列。（）5.函數\(y=\sin^2x+\cos^2x=1\)恒成立。（）6.兩個向量的夾角范圍是\([0,\pi]\)。（）7.拋物線\(y=x^2\)的焦點坐標是\((0,\frac{1}{4})\)。（）8.若\(A\cupB=A\)，則\(B\subseteqA\)。（）9.指數函數\(y=a^x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）恒過點\((0,1)\)。（）10.異面直線所成角的范圍是\((0,\frac{\pi}{2}]\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=3x-1\)在\(x=2\)處的函數值。答：將\(x=2\)代入\(y=3x-1\)，得\(y=3×2-1=5\)。2.求等差數列\(\{a_n\}\)的通項公式，已知\(a_1=1\)，\(d=2\)。答：根據等差數列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=1\)，\(d=2\)代入，得\(a_n=1+2(n-1)=2n-1\)。3.求函數\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸。答：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸公式為\(x=-\frac{b}{2a}\)，此函數\(a=1\)，\(b=-4\)，則對稱軸為\(x=-\frac{-4}{2×1}=2\)。4.已知\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(3,4)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。答：根據向量點積公式\(\vec{a}\cdot\vec{b}=x_1x_2+y_1y_2\)，這里\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，\(y_1=2\)，\(y_2=4\)，則\(\vec{a}\cdot\vec{b}=1×3+2×4=11\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\log_ax\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）的單調性與\(a\)的關系。答：當\(a\gt1\)時，函數\(y=\log_ax\)在\((0,+\infty)\)上單調遞增；當\(0\lta\lt1\)時，函數\(y=\log_ax\)在\((0,+\infty)\)上單調遞減。2.討論直線與圓的位置關系有哪些判定方法。答：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\ltr\)時相交，\(d=r\)時相切，\(d\gtr\)時相離；二是代數法，聯立直線與圓的方程，根據判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\gt0\)相交，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\lt0\)相離。3.討論等比數列求和公式的推導方法。答：推導等比數列\(\{a_n\}\)求和公式\(S_n\)常用錯位相減法。設\(S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^{n-1}\)，兩邊同乘公比\(q\)得\(qS_n=a_1q+a_1q^2+\cdots+a_1q^n\)，兩式相減可消去中間項，進而求出\(S_n\)。4.討論如何根據函數的性質來繪制函數圖象。答：先確定函數定義域，判斷奇偶性知對稱性，求單調性找增減區間，求極值點確定函數最值位置，再求出一些特殊點坐標，如與坐標軸交點，綜合這些性質用平滑曲線連接各點繪制圖象。答案一、單項選擇題1.B2.B3.